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广东省湛江一中2013届高三上学期期中数学文试题


湛江一中 2013 届高三第一学期期中考试

数学(文科)试题
参考公式:

1 1.锥体的体积公式 V ? Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高 3 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1.函数 f ( x) ? ln

x ?1 的定义域为 A.(e,+∞) B.[e,+∞) C. (O,e] D.(-∞,e] ( D. ?1 ) ( )

2. i 为虚数单位,则复数 i ? ?1 ? i ? 的虚部为 A. i B. ?i C.1

3.右图是底面半径为 1,母线长均为 2 的圆锥和圆柱的组合体, 则该组合体的侧视图的面积为 A. 8? B. 6? C. 4 ? 3 D. 2 ? 3 ( ) ( )

4.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , 集合 A ? ?1,3,5? , B ? ?1, 2? , 则A ? (CU B ) ? A. ? B. ?5? C. ?3? D. ?3,5? ,则常数 a =

5.等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 2n ? a ? 2 A. -2 B.2
?

(

) 开始

C.0

D.不确定
?

6.已知平面向量 a ? (1,3), b ? (?3, x) ,且 a// b ,则 a ? b ? A. -30 B. 20 C. 15 D.0 7.如图所示的流程图中,输出的结果是 A.5 B.20 C.60 D.120

?

?

? ?

( (

) a=5,s=1 ) s=s×a a=a-1

8. a ? R , “ a ? 1 ” “ a ? 1 ” ( 若 则 是 的 A.充分而不必要
2

) 条件 C.充要

( D.既不充分也不必要 )



a≥2 否 输出 s 结束
(第 7 题图)



B.必要而不充分

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 9.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 6 2
A.-2 B.2 C.-4 D.4

1

10.若定义在 R 上的偶函数 f ( x)在( ??,0] 上单调递减,且 f (?1) ? 0 ,则不等式

f ( x) ? f (? x) ? 0 的解集是 x
A. ??,?1) ? (1,??) ( B. (??,?1) ? (0,1) C. ?1,0) ? (0,1) (





D. ?1,0) ? (1,??) (

二.填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 必做题(11~13 题) 11.设 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? 15 ,则这个数列的前 5 项和 S5 ? ___________ 12.某校高中部有三个年级,其中高三有学生 1000 人,现采用分层抽样法抽取一个容量为 185 的样本,已知在高一年级抽取了 75 人,高二年级抽取了 60 人,则高中部共有学生 __________人.

?x ? y ? 3 ? 13.设 x 、 y 满足条件 ? y ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?y ? 0 ?
选做题(14、15 题只能做其中一个,两题全答只计前一题得分) 14. (坐标系与参数方程)圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos? ? 2 3 sin ? (0 ? ? ? 2? ) ,则圆心 的极坐标为_______________ 15.(几何证明选讲)如图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ,已 知 AD ? 2 3 ,AC ? 6 , O 的半径为 3 , 圆 则圆心 O 到 AC 的距离为 .
A B C

O

第 15 题图

D

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ?1 . (1)求 f ( x ) 的周期和单调递增区间; (2)说明 f ( x ) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样变化得到.

2

17. (本小题满分 12 分) 甲、乙二名射击运动员参加今年深圳举行的第二十六届世界大学生夏季运动会的预选赛,他 们分别射击了 4 次,成绩如下表(单位:环) : 甲 乙 5 6 6 7 9 8
高╗考≧试;题じ库

10 9

(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率; (2)现要从中选派一人参加决赛,你认为选派哪位运动员参加比较合适?请说明理由.

18.(本小题满分 14 分) 已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是否存在直线 l : y ? kx ? 1(k ? 0) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且
N
A M

x

uur uuu u r 满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理
由.

o

F ?1,0 ?

x ? ?1

19. (本小题满分 14 分) 如图,在四面体 PABC 中,PA=PB,CA=CB, D、E、F、G 分别是 PA,AC、CB、BP 的中点. (1)求证:D、E、F、G 四点共面; (2)求证:PC⊥AB; (3)若△ABC 和△PAB 都是等腰直角三角形,且 AB=2,

P G

D

A E C F

B

PC ? 2 ,求四面体 PABC 的体积.

3

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b 在 x ? 1 处有极小值 2 。 (1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ?

m f '( x) ? 2 x ? 3 在 [0, 2] 只有一个零点,求 m 的取值范围。 3

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中的各项均为正数,且满足 a1 ? 2,
an ?1 ? 1 2an 2 ? ? n ? N ? ? .记 bn ? an ? an ,数列 an ? 1 an ?1

?bn ? 的前 n 项和为 x n ,且 f ( xn ) ?
(1)证明 ?bn ?是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)求证:

1 xn . 2

f ? xn ? n n ? 1 f ? x1 ? f ? x2 ? ? ? ?L ? ? ?n ? N? ? . 2 f ? x2 ? f ? x3 ? f ? xn ?1 ? 2

2013 届高三第一学期期中考试参考答案
一、选择题(每小题 5 分,满分 50 分) 1 B 2 C 3 C 4 D 5 A 6 A 7 D 8 A 9 D 10 D

二、填空题(每小题 5 分,满分 20 分) 11、25 12、3700 13、1 14、 ( 2,

5? ) 3

15、 5

4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16、(本题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? cos 2x ? 3sin 2x ????????2 分

= 2(

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin(2 x ? ) , ????????5 分 2 2 6
??????6 分

f ( x) 最小正周期为 π
由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

可得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z ) ,

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z ). ????9 分

(2)将 y ? sin x 的图象纵坐标不变, 横坐标缩短为原来

1 ? 倍, 将所得图象向左平移 个单 2 12

位, 再将所得的图象横坐标不变, 纵坐标伸长到原来的 2 倍得 f ( x ) 的图象. ????12 分 或:把图像左移 图像。 17、 (本小题满分 12 分) 解: (1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到成绩为 y ,用数对 ? x, y ? 表示基本事件 从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,则共有 (5, 6), (5, 7), (5,8), (5,9), (6, 6), (6, 7),

? 1 个单位,横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标伸长到原来的 2 倍得 f ? x ? 的 6 2

(6,8),(6,9),(9,6),(9,7),(9,8),(9,9),(10, 6),(10,7),(10,8),(10,9) 。16 种结果…2 分
记 A ? {甲的成绩比乙高} 则 A 包含 (9,6),(9,7),(9,8),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9) 共 7 种结果 …………4 分 ∴ P ? A? ?

7 16

…………………………………………6 分

(2) 甲的成绩平均数 x1 ? 乙的成绩平均数 x2 ? 甲的成绩方差 S1 ?
2

5 ? 6 ? 9 ? 10 ? 7.5 4

6?7?8?9 ? 7.5 4

(5 ? 7.5)2 ? (6 ? 7.5)2 ? (9 ? 7.5)2 ? (10 ? 7.5)2 ? 4.25 4

5

(6 ? 7.5)2 ? (7 ? 7.5)2 ? (8 ? 7.5)2 ? (9 ? 7.5)2 ? 1.25 ………10 分 乙的成绩方差 S ? 4
2 2
2 ∵ x1 ? x2 , S12 ? S2

∴选派乙运动员参加决赛比较合适 18、 (本小题满分 14 分)

…………………………………………12 分

解: (1)如图,设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线垂足为 N , 由题意知: MF ? MN ??????3 分

即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1,0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴动圆圆心的轨迹方程为 y ? 4 x
2

????6 分

(2)直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 由?

(k ? 0)
???8 分

? y ? kx ? 1 ? y ? 4x
2

得 ky ? 4 y ? 4 ? 0
2

? ? 16 ? 16k ? 0 , ? k ? 1 且 k ? 0 ???9 分 ??? ? ??? ? 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) , OP ? ? x1, y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ?
y2 y2 1 4 , x1 x2 ? 1 2 ? 2 ?11 分 k 16 k ??? ???? ? 由 OP ? OQ ? 0 ,有 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,?12 分
则 y1 y2 ? 即

4 1 1 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? ? 1 ????13 分 k k 4 y?? 1 x ? 1 ????14 分 4

所以存在合乎题意的直线且直线方程为

19、 (本小题满分 14 分) (1)依题意 DG//AB??1 分,EF∥AB?2 分, 所以 DG//EF??3 分, DG、EF 共面,从而 D、E、F、G 四点共面??4 分。 (2)取 AB 中点为 O,连接 PO、CO??5 分 因为 PA=PB,CA=CB,所以 PO⊥AB,CO⊥AB??7 分, 因为 PO∩CO=D,所以 AB⊥面 POC??8 分 PC ? 面 POC,所以 AB⊥PC??9 分 (3)因为△ABC 和 PAB 是等腰直角三角形,所以 PO ? CO ? 因为 PC ?

1 AB ? 1 ?10 分, 2

2, OP2 ? OC2 ? PC2 , 所以 OP⊥OC??11 分,

又 PO⊥AB,且 AB∩OC=O,所以 PO⊥面 ABC??12 分
6

1 1 1 1 VP ? ABC ? ? PO ? S ?ABC ? ?1? 2 ?1? ? ??14 分(公式 1 分,其他 1 分) 3 3 2 3
20、 (本小题满分 14 分) 解: (1) f '( x) ? 3x 2 ? 3a …………………………………………………………………1 分 由?

? f ' (1) ? 0 ? f (1) ? 2

有?

? f '(1) ? 3 ? 3a ? 0 ,………………………………………………2 分 f (1) ? 1 ? 3a ? b ? 2 ?

解得 ?

?a ? 1 ,……………………………………………………………………3 分 ?b ? 4
2

此时 f '( x) ? 3x ? 3 ? 3? x ?1?? x ?1? ,

x ? ? ? 1 ,f ? ' x ? 0x ? 1, ? ,? ?
3

满足 1,? f , ? x' ? 0f, ? x ? 在 x ? 1 处取极小值??4 分 ?? ?

∴ f ( x) ? x ? 3x ? 4 ……………………………………………………………5 分 (2) f '( x) ? 3x ? 3
2

m ' m f ( x) ? 2 x ? 3 ? (3x 2 ? 3) ? 2 x ? 3 ? mx 2 ? 2 x ? m ? 3 …………6 分 3 3 3 当 m ? 0 时, g ( x) ? ?2 x ? 3 ,∴ g ( x) 在 [0, 2] 上有一个零点 x ? (符合)……8 分 2
∴ g ( x) ? 当 m ? 0 时, ①若方程 g ( x) ? 0 在 [0, 2] 上有 2 个相等实根,即函数 g ? x ? 在 [0, 2] 上有一个零点。

?? ? 4 ? 4m(?m ? 3) ? 0 3? 5 ? 则? ,得 m ? ……………………………………10 分 1 2 0? ?2 ? m ?
②若 g ( x) 有 2 个零点,1 个在 [0, 2] 内,另 1 个在 [0, 2] 外, 则 g (0) g (2) ? 0 ,即 (?m ? 3)(3m ? 1) ? 0 ,解得 m ? 经检验 m ? 3 有 2 个零点,不满足题意。 综上: m 的取值范围是 m ? 21、 (本小题满分 14 分) 解: (1)

1 ,或 m ? 3 ……12 分 3

1 3? 5 ,或 m ? ,或 m ? 3 ……………………14 分 3 2

an?1 ? 1 2an 2 2 ? ? an?1 ? an?1 ? 2(an ? an ) , an ? 1 an?1
7

??????2 分

2 ?bn ? an ? an , bn?1 ? 2bn

又 b1 ? a12 ? a1 ? 2 ? 0 得 bn ? 是公比和首项均为 2 的等比数列 ??3 分 (2) 由(1)得

?

bn ? 2n ,

????????????????4 分

即 an ? an ? 2 ? an ?
2 n

1 ? 1 ? 2 n?2 (? an ? 0). ????????????6 分 2
2(2 n ? 1) ? 2 n?1 ? 2, 2 ?1
??7 分

(3)证明:因为等比数列{ bn }的前 n 项和 x n ? 所以 f ( xn ) ? 2 n ? 1.

??????????????????????8 分



f ( xk ) 2k ? 1 ? k ?1 ? f ( x k ?1 ) 2 ? 1

2k ? 1 1 ? , k ? 1,2,3,?, n, 1 2 2(2 k ? ) 2

????????10 分

所以

f ( xn ) n f ( x1 ) f ( x2 ) ? ??? ? . f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2

????????????11 分

f ( xk ) 2k ? 1 1 1 另一方面 ? k ?1 ? ? , k ?1 f ( xk ?1 ) 2 ? 1 2 2(2 ? 1)
? 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? k ?1 , k ? 1,2,?, n. k ?1 2 2 ? 2k ? 2 2 2
????12 分

? ?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ? ??? f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( x n ?1 ) n 1 1 1 n 1 1 n ?1 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? ? (1 ? n ) ? . 2 2 2 2 2 2 2 2

?

f ( xn ) n n ? 1 f ( x1 ) f ( x2 ) ? ? ??? ? . 2 f ( x 2 ) f ( x3 ) f ( xn?1 ) 2

??????????14 分

8


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