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随机变量的分布列(1)


离散型随机变量的分布列(1)

一、基本知识概要:
1.随机变量:随机试验的结果可以用一个变 量来表示,这样的变量叫做随机变量,记 作 ? ,? ;

说明:若 ? 是随机变量,?

中 a, b 是常数,则? 也是随机变量。

? a? ? b,其

一、基本知识概

要:
2. 离散型随机变量:随机变量可能取的值,

可以按一定顺序一一列出
连续型随机变量:随机变量可以取某一区 间内的一切值。

说明:①分类依据:按离散取值还是连续取
值。

②离散型随机变量的研究内容:随机变量取
什么值、取这些值的多与少、所取值的平均 值、稳定性等。

写出下列各随机变量可能的取值.
(1)从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张,被 · · 取出的卡片的号数 ? . (? =1、2、3、·、10) 离 散 型
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个, 其中所含白球数 ? . ( ? =0、1、2、3) (3)抛掷两个骰子,所得点数之和 ? . (? =2、3、4、·、12) · ·

(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数 ? . ( ? =1、2、3、·、n、·) · · · ·

连 续 型

(5)某一自动装置无故障运转的时间 ? ( ? 取 ?0,?? ? 内的一切值)



(6)某林场树木最高达50米,此林场树木的高度 ? . ( ? 取 ?0,50? 内的一切值)

3. 离散型随机变量的分布列:

? 可能取的值 为 x1 , x2 ,? ? ?, xi ,? ? ?, 且 P(? ? xi ) ? pi ,则
设离散型随机变量

?
P

x1

x2
p2




xi pi




p1

称为随机变量

?的分布列。

离散型随机变量的分布列的两个性质:


p1 ? p2 ? ? ? ? ? 1



P(? ? xi ) ? pi ? 0

求解离散型随机变量的分布列的两个步骤:

①确定该随机变量所有可能的取值; ②分别计算相应的概率。

4. 常见离散型随机变量的分布列:
(1) 两点分布:若随机变量X的分布列是

X P

0 1—p

1 p

则称这样的分布列为两点分布列。如果随机变量X的 分布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称 p=P(X=1)为成功概率。

0-1分布、两点分布:

每次试验只有两种可能结果

X ? 0 ? 1分布、X ? 两点分布(“ ? ”表示“服从”)
常见例子: ★男女性别
★射击时只考虑“命中”与 “不命中” ★产品检验只关心“合格” 与“不合格” ★种子只关心“发芽”与“不发芽”

1? p

(2)超几何分布
一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n 件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率 为 k n?k

CM ? CN ?M P( X ? k ) ? (k ? 0,1, 2,? , m) , n CN

其中m ? min{ M , n}, 且n ? N , M ? N , n, M , N ? N
称分布列为超 几何分布

*

X P

0

1

… …

m
m n CM CN?m ?M n CN

1 n 0 n CM CN?0 CM CN?1M ? ?M n n CN CN

则称随机变量 X 服从超几何分布. 记为:x ? H(n,M,N),

(3)二项分布:在n次独立重复试验中,事件 A发生的次数 ? 是一个随机变量,其所有可能

取的值为0,1,2,3,…,n,并且
P(? ? k ) ? C p q (其中=0,1,2,…,n,

p+q=1),称这样的随机变量 ? 服从参数为n和p
的二项分布,记作: ~ B(n, p)。 ? 注意:要理解二项分布的实质,善于在实际问

k n

k

n ?k

题中看出随机变量服从二项分布。

(4)几何分布:
? 在独立重复试验中,某事件A在每一次试验 中发生的概率为p,那么事件A恰在第k次发 生即终止的概率分布:

p(? =k)=(1-p) p,k ??1,2,3,??
k-1

练习:
1、在射击的随机试验中,令X=

?

0,射中, 如 1,未射中

果射击击中的概率为0.8,求随机变量X的分布列。 2、设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变 量 ? 去描述1次试验的成功次数,则失败率p等于 (C) A.0 B.

1 2

C.

1 D. 3

2 3

心得

(1)性质: p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1
(2)求某区间内的随机变量的概率,就是在此 区间内的每一个可能值的概率之和

3、
1 a= 15

12 15
6 2 = 15 5

4、

1 3
1 1 [- , ] 3 3 变形:该等差数列公差d的取值范围为______

二、例题:
例1:在10件产品中有2件次品,连续抽3次,
每次抽1件,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数 ? 的分布列; (2)放回抽样时,抽到次品数 ? 的分布列。

? 剖析:随机变量 ? 可以取0,1,2, 也可以
取0,1,2,3,放回抽样和不放回抽样对随 机变量的取值和相应的概率都产生了变化, 要具体问题具体分析。

说明:放回抽样时,抽到的次品数为独立重复
试验事件,即 ?

~ B(3,0.2)。

例2

一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5, 表示取出的三只球中 ?

在袋中同时取3只,以

的最小号码,写出随机变量

的分布列。 ?

剖析:因为在编号为1,2,3,4,5的球中, 同时取3只,所以小号码可能是1或2或3,即 ? 可以取1,2,3。

说明:求随机变量的分布列,重要的基础是概 率的计算,如古典概率,互斥事件的概率,相 互独立事件同时发生的概率、n 次独立重复试

验有 k 次发生的概率等。本题中基本事件总数,



n

3 ,取每一个球的概率都属古典概率 ?C 5

(等可能性事件的概率)。

作业布置:

《优化设计》 限时作业61 ---热身训练


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