当前位置:首页 >> 数学 >> 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率



[键入文字]





直线的倾斜角与斜率

教学目标

掌握倾斜角和斜率的概念,掌握倾斜角和斜率的关系。

教学内容

一、目标认知
1.了解直线倾斜角的概念,掌握直线倾斜角的范围; 2.理解直线斜率的概念,理解各倾斜角是 时的直线没有斜率;

3.已知直线的倾斜角(或斜率),会求直线的斜率(或倾斜角);

4.掌握经过两点



的直线的斜率公式:

(

);

5.熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.

二、知识要点梳理 知识点一:直线的倾斜角
平面直角坐标系中,对于一条与 轴相交的直线,如果把 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最 小正角记为 ,则 叫做直线的倾斜角. 规定:当直线和 轴平行或重合时,直线倾斜角为 要点诠释: 1.要清楚定义中含有的三个条件 ①直线向上方向;② 轴正向;③小于 的角. ,所以,倾斜角的范围是 .

2.从运动变化观点来看,直线的倾斜角是由 轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 3.倾斜角 的范围是 .当 时,直线与轴平行或与轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度,每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应. 5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置,但是,直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线 的位置.

知识点二:直线的斜率
倾斜角不是 要点诠释: 1.当直线 与 x 轴平行或重合时, 2.直线 与 x 轴垂直时, =0°,k=tan0°=0; 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 表示,即 .

=90°,k 不存在. 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.

由此可知,一条直线 的倾斜角

知识点三:斜率公式

1

[键入文字]

已知点



,且

与 轴不垂直,过两点



的直线的斜率公式

.

要点诠释: 1.对于上面的斜率公式要注意下面五点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 =90°,直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关,即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4)当 y1=y2 时,斜率 k=0,直线的倾斜角 =0°,直线与 x 轴平行或重合; (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 2.斜率公式的用途:由公式可解决下列类型的问题: (1)由 、 点的坐标求 的值; 中的三个量可求第四个量; 、 的横坐标(或纵坐标)可求 ;

(2)已知 及 (3)已知 及

(4)证明三点共线.

知识点四:两直线平行
设两条不重合的直线 ,即 要点诠释: 1.公式 成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为 的倾斜角都是 ,则 . ;② 不重合; 的斜率分别为 .因此,若 .若 ,则 ,则 与 的倾斜角 ,则 与 . 相等 . 由 ,可得

.反之,若

2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时,

知识点五:两直线垂直
设两条直线 的斜率分别为 .若
?

,则

.

例 1.如图,直线 l1 的倾斜角 ?1 ? 30 ,直线 l1 ? l2 ,求 l1 、 l 2 的斜率。

解: l1 的斜率 k1 ? tan 30 ?
?
? ?

3 , 3
?

l2

l1

∵ l 2 的倾斜角 ? 2 ? 90 ? 30 ? 120 , ∴ l 2 的斜率 k2 ? tan ? 2 ? tan120 ? ? 3 .
?

例 2. (1)已知直线 l 的倾斜角的变化范围为 ? ? [

? ?

, ) ,求该直线斜率的变化范围; 6 3

(2)已知直线 l 的斜率 k ? [?1, 3) ,求该直线的倾斜角的范围. 解: (1)∵ ? ? [

? ?

3 , ) ,∴ tan ? ? [ , 3) . 3 6 3
2

[键入文字]

(2)∵ k ? tan ? ? [?1, 3) , ∴ ? ?[

3? ? , ? ) ? [0, ) . 4 3
3 3 3 ; (2) cos ? ? ; (3) cos ? ? ? 时,分别求直 5 5 5

例 3.已知 ? 和 k 分别是 l 的倾斜角和斜率,当(1) sin ? ? 线 l 的斜率 k . 解:当 sin ? ?

3 3 时,∵ 0? ? ? ? 180? ,∴ k ? tan ? ? ? . 5 4 3 4 ? ? ? ? 当 cos ? ? 时,∵ 0 ? ? ? 180 ,∴ 0 ? ? ? 90 ,∴ k ? tan ? ? . 5 3
当 cos ? ? ?

3 4 ? ? ? ? 时,∵ 0 ? ? ? 180 ,∴ 90 ? ? ? 180 ,∴ k ? tan ? ? ? . 5 3

要点诠释: 1.公式 成立的 前提条件是两条直线的斜率都存在;

2.当一条垂直直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 0 时,两条直线也垂直.

三、规律方法指导
1.由斜率的定义可知,当 直线的斜率小于零;当 率与直线的倾斜角( 在 范围内时,直线的斜率大于零;当 在 范围内时,

时,直线的斜率为零;当 除外)为一一对应关系,且在 和

时,直线的斜率不存在.直线的斜 范围内分别与倾斜角的变 或 范围内比较倾斜角的大小只

化方向一致,即倾斜角越大则斜率越大,反之亦然.因此若需在

需比较斜率的大小即可,反之亦然. 2.直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断,直线倾斜角的范围、大小的判断、求解及直线方 程的求解等. 3.我们在判断两直线的平行与垂直时,往往先判断直线的斜率是否存在,然后再根据具体情况进行判断; 4.判断两直线平行时,易忽略两直线重合的情况,需特别注意; 5.平行、垂直的判断中,斜率不存在的情况易忽略致错,需特别注意.

三:经典例题透析 类型一:倾斜角与斜率的关系
已知直线 的倾斜角的变化范围为 ,求该直线斜率的变化范围;

类型二:斜率定义
已知△ABC 为正三角形,顶点 A 在 x 轴上,A 在边 BC 的右侧,∠BAC 的平分线在 x 轴上,求边 AB 与 AC 所在 直线的斜率

类型三:斜率公式的应用
求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角.

3

[键入文字]

直线与方程:
一、知识要点: 1. 倾斜角与斜率 2. 直线方程式的 5 种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式(注意用前四种方程的条件及一般式与其它 形式转化的条件) 3.两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系) 4.距离公式:两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式

练习 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则直线 AB 的斜率为( A.3 B.-2 C. 2 D. 不存在 )

2.过点 (?1,3) 且平行于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( ) A. x ? 2 y ? 7 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

3. 在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

y

y

y

y

O

x

O

x

O

x
D )

O

x

A B C 4.若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a=(

2 A. ? 3

2 B. 3

3 C. ? 2
)

3 D. 2

5.过(x1,y1)和(x2,y2)两点的直线的方程是(

A. B.

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x1 ? x2

C.( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? 0 D.( x2 ? x1 )( x ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y ? y1 ) ? 0
6、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 K1、K2、K3 则( ) L3 A、K1﹤K2﹤K3 L2 B、K2﹤K1﹤K3 C、K3﹤K2﹤K1 x o D、K1﹤K3﹤K2 L1
4

[键入文字]

7、直线 2x+3y-5=0 关于直线 y=x 对称的直线方程为( A、3x+2y-5=0 B、2x-3y-5=0 C、3x+2y+5=0 D、3x-2y-5=0 8、与直线 2x+3y-6=0 关于点(1,-1)对称的直线是( A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0





9、直线 5x-2y-10=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则( ) A.a=2,b=5; B.a=2,b= ? 5 ; C.a= ? 2 ,b=5; D.a= ? 2 ,b= ? 5 . 10、直线 2x-y=7 与直线 3x+2y-7=0 的交点是( ) A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 11、过点 P(4,-1)且与直线 3x-4y+6=0 垂直的直线方程是( A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 二填空题(共 20 分,每题 5 分) 12. 过点(1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 13 两直线 2x+3y-k=0 和 x-ky+12=0 的交点在 y 轴上,则 k 的值是 14、两平行直线 x ? 3 y ? 4 ? 0与2 x ? 6 y ? 9 ? 0 的距离是 )

_ __________;



课后作业
一、选择题 1. 设直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,则 a, b 满足( A. C. 2. A. C. 3. A. 4. )

a ? b ?1 a?b ? 0

B. D.

a ?b ?1 a ?b ? 0


过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为(

2x ? y ? 1 ? 0 x ? 2y ? 5 ? 0

B. D.

2x ? y ? 5 ? 0 x ? 2y ? 7 ? 0


已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为(

0

B.

?8

C.

2

D.

10


已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( B. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限

A. 第一、二、三象限 C. 第一、三、四象限

5

[键入文字]

5. A. C. 6.

直线 x ? 1 的倾斜角和斜率分别是(



450 ,1

B. D.

1350 , ?1

900 ,不存在
2

1800 ,不存在
2

若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足(

) A.

m?0

B.

m??
C.

3 2
D.

m ?1

3 m ? 1, m ? ? , m ? 0 2

课后检测:

一、选择题 1.若直线过点 (1, 2) , (4, 2 ? 3) ,则此直线的倾斜角是( A
300





450



600



900

2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 ? 3
2

D、 2
3

3.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( A 2 B 1
2



C 1

D

7 2

4. 点M(4,m)关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9) ,则( A C m=-3,n=10 m=-3,n=5 A C 3x-y-8=0 3x-y+6=0 ) B 2x-y-3=0 B D m=3,n=10 m=3,n=5



5.以A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0



6.过点M(2,1)的直线与 x 轴,y 轴分别交于P,Q两点,且|MP|=|MQ|, 则 l 的方程是( A C x-2y+3=0

2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 8. 直线 2 x ? y ? m ? 0和x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)不能确定 9. 如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3, 则必有 A. C. k1<k3<k2 k1<k2<k3 ) (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 B. D. k3<k1<k2 k3<k2<k1 边 AB 上的中线所
6

10.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则Δ ABC 的 在的直线方程为( ( A ) x+5y-15=0

[键入文字]

7


更多相关文档:

直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结

直线的倾斜角斜率及方程知识点总结一、倾斜角: 重点:取值范围:0≤a<180° 二、斜率 k: 1、当 a≠90°时,斜率 k=tana; 2、当 a=90°时,斜率 k 不...

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 教案

第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 教案_数学_高中教育_教育专区。人教版新课标普通高中◎数学 2 必修 (A 版) 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角...

高三复习第一讲直线的倾斜角与斜率、直线方程

第八章 平面解析几何 高三备课组 第八章第一讲 平面解析几何 直线的倾斜角与斜率、直线方程 【考纲速读吧】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线...

3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率 3、掌握过两点的直线的斜率公式。 目标解析: 1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以 X 轴为基准,直线与 X ...

直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)

【变式 1】如图,直线 A. B. C. D. 的斜率分别为 ,则( ) 1 类型三:斜率公式的应用 3.求经过点 , 直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角. 【变式 1...

直线的倾斜角与斜率的教学设计

两个概念:直线的倾斜角,直线的斜率;一个公式:过两点的直线的斜率公式 教学内容解析: 本节是人教 A 版数学必修 2 第三章第一节的内容, 是高中解析几何内容的...

直线的倾斜角.斜率知识点例题

( ②直线的斜率值为 t an ? ,则它的倾斜角为 ? ()))() ③因为所有直线都有倾斜角,故所以直线都有斜率( ④因为平行于 y 轴的直线的斜率不存在,所以...

直线的倾斜角与斜率教学设计

直线的倾斜角与斜率教学设计_高一数学_数学_高中教育_教育专区。本节课主要讲直线的倾斜角和斜率的概念以及斜率公式.普通高中课程标准实验教科书(北师大版) 普通高中...

直线的倾斜角与斜率课时案例

2、概念综述: 倾斜角是刻画直线倾斜程度的一个几何量,而斜率倾斜角代数化的一个概念, 也是刻画直线倾斜程度的代数表达。 在此应该注意的是由于斜率与倾斜角的...

直线的倾斜角与斜率经典例题(有答案精品)

思路点拨: 本题关键点是求出边 AB 与 AC 所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析: 如右图,由题意知∠BAO=∠OAC=30° ∴直线 AB 的倾斜角为 180...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com