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【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测12 函数模型及其应用]


课时限时检测(十二)
(时间:60 分钟 考查知识点及角度 函数模型的增长差异 一(二)次函数模型 指(对)数函数模型 分段函数模型 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

函数模型及其应用
题号及难度

满分:80 分)命题报告

基础 1 4 2,8 3,7

中档

稍难

9,10

11 5,6 12

1.(2014· 阜阳模拟)某电视新产品投放市场后第一个月销售 100 台,第二个 月销售 200 台,第三个月销售 400 台,第四个月销售 790 台,则下列函数模型 中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数 x 之间关系的是( A.y=100x C.y=50×2x 【解析】 B.y=50x2-50x+100 D.y=100log2x+100 )

根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函

数模型,代入数据验证即可得,应选 C. 【答案】 C

2.一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年,剩余的物质为原来 4 64 的5,当剩余的物质为原来的125时,需要经过( A.5 年 C .3 年 【解析】 【答案】 B.4 年 D.2 年 64 ?4? 由指数函数模型知,?5?x=125,解得 x=3. ? ? C )

3.(2014· 长沙模拟)某企业制定奖励条例,对企业产品的销售取得优异成绩 的员工实行奖励,奖励金额 ( 元 )f(n) = k(n)(n - 500)(n 为年销售额 ),而 k(n) =

?0.3?500≤n≤1 000? ?0.4?1 000<n<2 000?, ?0.5?n≥2 000?
售额为( A.800 C.1 200 【解析】 )

若一员工获得 400 元的奖励,那么该员工一年的销

B.1 000 D.1 500 根据题意,奖励金额 f(n)可以看成年销售额 n 的函数,那么该

问题就是已知函数值为 400 时,求自变量 n 的值的问题.据题中所给的函数关 系式可算得 n=1 500,故选 D. 【答案】 D

图 2-9-6 4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节 流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图 2-9-6 中阴影部分)备用,当截 取的矩形面积最大时,矩形两边长 x、y 应为( A.x=15,y=12 C.x=14,y=10 【解析】 )

B.x=12,y=15 D.x=10,y=14

24-y x 5 由三角形相似得 =20,得 x=4(24-y), 24-8

5 ∴S=xy=-4(y-12)2+180,∴当 y=12 时,S 有最大值,此时 x=15. 【答案】 A

5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图 2- 9-7 甲、乙所示.某天 0 点到 6 点,该水池的蓄水量如图 2-9-7 丙所示(至少 打开一个水口).

图 2-9-7 给出以下 3 个论断:①0 点到 3 点只进水不出水;②3 点到 4 点不进水只出 水;③4 点到 6 点不进水也不出水.则一定正确的是( A.① C.①③ 【解析】 水,故①正确. 由丙图知 3 点到 4 点间 1 小时蓄水量少 1 个单位,故 1 个进水 1 个出水, 故②错误. 由丙图知 4 点到 6 点蓄水量不变,故可能不进水也不出水或两个进水一个 出水,故③错误. 【答案】 A B.①② D.①②③ 由丙图知 0 点到 3 点蓄水量为 6,故应两个进水口进水,不出 )

6.(2014· 福州模拟)下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中 以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象表示该容器中水面的高 度 h 和时间 t 之间的关系,其中不正确的有( )

A.1 个 【解析】

B.2 个

C.3 个

D.4 个

将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面

的高度 h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应 该是匀速的,故对应的图象不正确.②中的变化率应该是越来越慢的,图象正 确;③中的变化规律是先慢后快,图象正确;④中的变化规律是先快后慢,图 象正确,故只有①是错误的.故选 A. 【答案】 A

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价.该地区 的电网销售电价表如下:

高峰时间段用电价格表 高峰月用电量(单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 高峰电价(单位:元/千瓦时) 0.568 0.598 0.668

低谷时间段用电价格表 低谷月用电量(单位:千瓦时) 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部分 超过 200 的部分 低谷电价(单位:元/千瓦 时) 0.288 0.318 0.388

若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作 答). 【解析】 高峰时间段 200 千瓦时的用电电费为:50×0.568+150×0.598

=118.1(元);低谷时间段 100 千瓦时的用电电费为:50×0.288+50×0.318= 30.3(元),合计:148.4 元. 【答案】 148.4

8.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过 0.1%,若初时含 1 杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 ,至少应过滤________次才能达到市 3 场要求.(已知 lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 【解析】
n

1? ? ?2? 设过滤 n 次才能达到市场要求,则 2%?1-3?n≤0.1%,即?3? ? ? ? ?

0.1 2 ≤ 2 ,∴nlg3≤-1-lg 2,∴n≥7.39,∴n=8. 【答案】 8

9.(2014· 晋江模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测 六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七 月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十 月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是________. 【解析】 七月份的销售额为 500(1+x%), 八月份的销售额为 500(1+x%)2, 则一月份到十月份的销售总额是 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2], 根 据题意有 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,即 25(1+x%)+

6 11 25(1+x%)2≥66,令 t=1+x%,则 25t2+25t-66≥0,解得 t≥5或者 t≤- 5 (舍 6 去),故 1+x%≥5,解得 x≥20. 【答案】 20

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元) 1 1 和 Q(亿元),它们与投资额 t(亿元)的关系有经验公式 P=4 2t,Q=8t,今该公 司将 5 亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资 x(亿元),投资这两个项目所获 得的总利润为 y(亿元).求: (1)y 关于 x 的函数表达式; (2)总利润的最大值. 【解】 1 1 (1)根据题意,得 y=4 2x+8(5-x),x∈[0,5].

t2 (2)令 t= 2x,t∈[0, 10],则 x= 2 . 1 1 5 1 7 y=-16t2+4t+8=-16(t-2)2+8. 因为 2∈[0, 10],所以当 2x=2 时,即 x=2 时,y 最大值=0.875. 答:总利润的最大值是 0.875 亿元. 11.(12 分)(2014· 威海模拟)新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评 估能获得 10~1 000 万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖 励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金 不低于 1 万元,同时不超过投资收益的 20%. (1)设奖励方案的函数模型为 f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函 数模型 f(x)的基本要求. (2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型: x ①f(x)=150+2;②f(x)=4lg x-2. 试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求. 【解】 (1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型 f(x)的基本要求是:

当 x∈[10,1 000]时,

x ①f(x)是增函数;②f(x)≥1 恒成立;③f(x)≤5恒成立. x (2)①对于函数模型 f(x)=150+2;当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,则 f(x)≥1 显然恒成立 x x 而若使函数 f(x)=150+2≤5在[10,1 000]上恒成立,整理即 29x≥300 恒成 立,而(29x)min=290, x ∴f(x)≤5不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. ②对于函数模型 f(x)=4lg x-2; 当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,则 f(x)min=f(10)=4lg 10-2=2>1. ∴f(x)≥1 恒成立. x 4lg e 1 设 g(x)=4lg x-2-5,则 g′(x)= x -5.
2 4lg e 1 2lg e-1 lg e -1 当 x≥10 时, g′(x)= x -5≤ 5 = 5 <0, 所以 g(x)在[10,1 000]

上是减函数, 从而 g(x)≤g(10)=4lg 10-2-2=0. x x x ∴4lg x-2-5≤0,即 4lg x-2≤5,∴f(x)≤5恒成立. 故该函数模型符合公司要求. 12.(13 分)(2014· 长沙模拟)如图 2-9-8,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面 积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度 为 v(v>0),雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c∈R).E 移动时单位时间内 的淋雨量包括两部分: ①P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量, 假设其值 与|v-c|×S 成正比,比例系数为

图 2-9-8 1 1 ②其他面的淋雨量之和, 其值为2.记 y 为 E 移动过程中的总淋雨量. 当 10;

3 移动距离 d=100,面积 S=2时, (1)写出 y 的表达式; (2)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使 总淋雨量 y 最少. 【解】 3 1 (1)由题意知,E 移动时,单位时间内的淋雨量为20|v-c|+2,

1? 5 100? 3 故 y= v ?20|v-c|+2?=v(3|v-c|+10). ? ? (2)由(1)知, 5?3c+10? 5 当 0<v≤c 时,y=v(3c-3v+10)= -15, v 5?10-3c? 5 当 c<v≤10 时,y=v(3v-3c+10)= +15, v 5?3c+10? ? ? v -15,0<v≤c, 故 y=? 5?10-3c? ? ? v +15,c<v≤10, 10 (ⅰ)当 0<c≤ 3 时,y 是关于 v 的减函数, 3c 故当 v=10 时,ymin=20- 2 ; 10 (ⅱ)当 3 <c≤5 时,在(0,c]上,y 是关于 v 的减函数;在(c,10]上,y 是关 于 v 的增函数. 50 故当 v=c 时,ymin= c ,总淋雨量最少.


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