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2[1].2.2对数函数及其性质导学案


高一数学必修 1 导学案

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2

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《2.2.2 对数函数及其性质(1)》预习学案

/>【学习目标】
理解对数函数的概念;掌握对数函数的图象.

例 2.若函数 y ? ( a ? 3 a ? 3 ) ? log

a

x 是对数函数,则 a 的值为多少?

【预习目标】
知道对数函数的概念;了解对数函数的图象.

【预习指导】
探究: 有一种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,· 1 个这样的细胞分裂 x · · 次会得到 y 个细胞?则 y 与 x 函数关系为: y ? 2 那么如果知道了细胞的个数 y 如何确定分裂的次数 x? x ? l o g2 y 由对数式与指数式的互化可知: 上式可以看作以 y 自变量的函数表达,但习惯上仍用 x 表示自变量,y 表示它的函数:即
x

例 3.已知 y=f(x)是对数函数,且 f(4)=2,求函数 y=f(x)的解析式.

y ? log

2

x

新知: 1.对数函数的概念. 一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 域是(0,+∞). 2.对数函数的图象. 用描点法做出 y ? log 2 x 和 y ? log

叫做对数函数,自变量是 x;函数的定义

《2.2.2 对数函数及其性质(1)》达标检测
1 2

x 的图像,总结 y ? log

a

x ( a ? 0 且 a ? 1) 的图像.

1.下列函数哪个是对数函数( A. y ? log 2 ( x ? 1) C. y ? log
4

) . B. y ? log
( a ?1 )

x ( a ? 1且 a ? 4 )

x

3

D. y ? 2 log
5 25 ) ? ? 3 2

5

x ?1

2.已知 y=f(x)是对数函数,且 f (

,求 f ( 2 ) .

反思: 1.对数函数有哪些特征?怎样判断一个函数是对数函数? 2.为什么定义域为(0,+∞)?为什么规定底数 a>0 且 a≠1? 3.函数的值域是 . 4.图象具有怎样的分布规律?

3.在同一坐标系中用画出 y ? log

3

x 和 y ? log

1 3

x 的图像.

【知识链接】
学习了指数函数后,学生知道了研究一个函数的方法,对数函数的学习应类比指数函数的 研究方法.

【典型例题】
例 1.指出下列函数那些是对数函数.
(1) y ? log 2 ( x ? 1)
( 4 ) y ? log
2

《2.2.2 对数函数及其性质(2)》预习学案
( 3 ) y ? log
( 6 ) y ? log
4

( 2 ) y ? 2 l o g1 x
2

x ?1
x(a ? 1 2 且 a ? 1)

【学习目标】
掌握对数函数的性质以及性质的应用.

4

x

( 5 ) y ? log

x

x

( 2 a ?1 )

【预习目标】
类比研究指数函数的性质总结对数函数的性质.

【预习指导】
复习: 1.一般地,当 a>0 且 a≠1 时,函数 定义域是 值域是 叫做对数函数,自变量是 x;函数的 .

高一数学必修 1 导学案

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2.画出对数函数 y ? log

a

x ( a ? 0 且 a ? 1) 的草图.

例 3.比较下列实数的大小. log (1) 2 0 . 5 , log 2 0 . 6 ; 探究: 由对数函数 y ? log 新知: 1.对数函数的性质. a>1 定义域 值域 过定点 单调性 奇偶性 最值 2. 性质的 应用. (1)求对数型函数定义域和值域. (2)比较实数的大小. (3)解不等式. 反思:
x 1.指数函数 y ? a 与 y ? ( ) 的图象与关于
x

(2) g 0 .3 2 .8, lo (5) log
a

lo g 0 .3 2 .7
a



log (3)

0 .4

0 . 7 , log

1 .1

0 .8 ;

(4) log
a

x ( a ? 0 且 a ? 1) 的图象可以看出对数函数具有哪些性质?

2

3 , log

3

2;

5 . 1, log

5 . 9 ( a ? 0 且 a ? 1) .



0<a<1 例 4.求 x 的范围. (1) log 2 x ? 2 ; (2)log
x ? 2;

性 质

1 2

(3)log

a

x ? ( a ? 0 且 a ? 1) 1 .

《2.2.2 对数函数及其性质(2)》达标检测
1. 不等式的 lo g 4 A. (2, ? ? )
x ? 1 2

解集是( C.

).
( 1 2 , ?? )

B. (0, 2 )

D. ( 0 , )
2
0 .7
lo g 0 .5 0 .8 ;

1

1 a

对称,那么对数函数 y ? log 对称.

a

x

2. 比较大小. (1) lo g 1 0 7 (3)log 67 3.(1) y
?

log 10 12

; (2) lo g

y ? log

0 .5

1 a

x 的图象是否也有对称关系?若有,则关于

log 7 6 ;
2

(4)log 31.5

log 2 0.8. 值域是 值域是
2

2.如何求指数型函数的定义域和值域? 3.如何利用指数函数的性质比较实数间的大小?

lo g 2 (3 x ? 5)

的定义域是

. .

(2) y ? log 2 ( x ? 2 x ) 的定义域是 4.已知 y ? f ( x ) 的定义域为 (1, 2 ] ,求函数 y ? f (log

【知识链接】
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于 1 还是大于 0 小于 1. 当已知条件未指明时, 需要对底数 a 进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.

x ) 的定义域.

【典型例题】
例 1.求下列函数的定义域. (1)y ? lo g a x 2 ;(2)y
? lo g a (3 ? x )

; (3)y

?

lo g 2 (3 ? x )

; (4)y ? log

1 2

(4 x ? x ) .
2

《2.2.2 对数函数及其性质(3)》预习学案
【学习目标】
掌握对数函数图象的变换;理解反函数的概念.

【预习目标】
例 2.求下列函数的值域 (1) y ? 2 ? log
2

类比指数函数图象的变换探究对数函数图象的变换;知道反函数的概念.

【预习指导】
(2) y ? log
2

x ;

x ?1 ;
2

(3) y ? log

1 2

(4 x ? x ) .
2

复习:1.对数函数 y ? log a x ( a ? 0, 且 a 2.指数函数图象的变换.

? 1) 图象和性质.

高一数学必修 1 导学案

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探究:如何画 y ? log 2 ( x ? 1) 的图象?
y ? l o g2 ( x ? 1) 的图象可以由对数函数图象经过变换而得到:

(1) y ? 3 x ? 1( x ? R ) ;
? y ? log 2 ( x ? 1)

(2) y= 4 (x∈R);

x

(3) y ? lg x ( x ? 0 ) .

y ? log

2

x ?

新知:1.对数函数图象的变换( a ? 0 且 a ? 1, c 为常数). ① 左右平移变换.
y ? log y ? log
a

x x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? log
( )

a

( x ? c) . x?c.

例 3. 函数 y ? log a ( x ? 1) ( a ? 0 且 a ? 1) 的反函数的图象经过点(1,4) ,求 a 的值.

② 上下平移变换.
a a a a

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? y ? log
( )

a

③ y ? log
y ? log y ? log

x 与 y ? log a ( ? x ) 的图象关于 x 与 y ? ? log
a

对称. 对称. 对称.
)

x 的图象关于

x 与 y ? ? log a ( ? x ) 的图象关于
(

例 4.讨论方程 log 2 ( x ? 1) ? a ( a 为常数 ) 根的情况.
a

④ y ? log ⑤ y ? log

a

? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? log ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y ? log
( )

x .
x .

a

a

2.反函数 求一个函数的反函数的步骤: “反解—互换—定义域” 例如:求函数 y ? 3 x ? 1( x ? R ) 的反函数 解:由 y ? 3 x ? 1 解得 x ?
y ?1 3

,互换 x , y 得 y ?
x ?1 3

x ?1 3



∴函数 y ? 3 x ? 1( x ? R ) 的反函数是 y ?

(x ? R) .

注:①不是所有函数都有反函数. ②互为反函数的二个函数的定义域与值域互换,在各自定义域上的单调性相同. ③互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称. 反思: 1.对数函数图象的变换与指数函数图象的变换有何联系? 2.怎样才能直接写出对数型函数的单调区间.

【知识链接】
对数函数图象的变换应类比指数函数图象的变换来探究.

【典型例题】
例 1.直接写出下列函数的单调区间. (1) y ? log (4) y ? log
( x ?1) 2



(2) y ? log (5) y ? log

(? x) 2

; ;

(3) y ? log

(? x?2) 2



1 2

x?2;

x 1 3

(6) y ? log

2

x .

例 2.求下列函数的反函数.


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