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数学竞赛单元训练题高中 直线与圆


中学数学教学参考    2004 年第 11 期 数学竞赛单元训练题 ( 高中)

 

竞赛园地

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直  线  与  圆
  陕西省西安中学   赵国团   焦  宇 
   一、 选择题 1 . 已知 P1 ( x 1 , y 1 )

、 P2 ( x 2 , y 2 ) 分别是直线 l 上和 l 外 的 点. 若 直 线 l 的 方 程 是 f ( x , y ) = 0 , 则 方 程 ). f ( x , y ) - f ( x 1 , y 1 ) - f ( x 2 , y 2 ) = 0 表示 (    A . 与 l 重合的直线 B . 过 P1 且与 l 垂直的直线 C. 过 P2 且与 l 平行的直线 D . 不过 P2 但与 l 平行的直线 2 . 已知三点 A ( - 2 , 1) 、 B ( - 3 , - 2) 、 C ( - 1 , - 3) 和动直线 l : y = kx , 当点 A 、 B、 C 到直线 l 的距离的 ). 平方和最小时 , 下列结论中 , 正确的是 (    A . 点 A 在 l 上    B. 点 B 在 l 上 C. 点 C 在 l 上    D. 点 A 、 B、 C 均不在 l 上 3 . 与圆 ( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = 4 ( a2 + b2 ) 和圆 ( x + a) 2 + ( y + b) 2 = 4 ( a2 + b2 ) 都 相 切 , 且 半 径 为
2 2 ). a + b 的圆有 (    A . 5 个    B . 4 个    C. 3 个    D. 2 个 4 . 已知直线 l : x + y - 9 = 0 和圆 M : 2 x 2 + 2 y 2 - 8 x - 8 y - 1 = 0 , A 为直线 l 上一点 , B 、 C 为圆 M 上 两点 , 在 △A B C 中 , ∠BA C = 45° , 边 A B 过圆心 M , 则 ). 点 A 的横坐标的取值范围为 (    A. [ - 3 , 3 ]   B. [3 , 6 ]   C. [ - 6 , 6 ]   D. [ 6 , 9 ] 5 . 设直线 x + y = 2 a - 1 与圆 x 2 + y 2 = a2 + 2 a - 3的交点为 ( x 0 , y0 ) , 当 x 0 y0 取最小值时 , 实数 a 的 ). 值为 (   

是   . 10 . 与圆 x 2 + y 2 - 4 x - 8 y + 15 = 0 切于点 A ( 3 , 6) , 且过点 B ( 5 , 6) 的圆的方程是    . 11 . 已知 a 、 b∈ R , 圆 C1 : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y - b2 + 5 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 - 2 ( a - 6 ) x - 2 ay + 2 a2 - 12 a + 27 = 0 交于不同的两点 A ( x 1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y2 ) , 且 x1 - x2 y 1 + y2 = , 则实数 a、 b 的取值的集合分别 y 2 - y1 x1 + x2 是   .
12 . 在坐标平面上画出 63 条直线 : y = b , y = 3 x + 2 b , y = - 3 x + 2 b , 其中 b = - 10 , - 9 , - 8 , …, 8 , 9 , 10 . 这些直线将平面切成若干个等边三角形 , 其中边 2 长为 的等边三角形有    个. 3 三、 解答题 13 . 过点 P ( 6 , 8) 作两条互相垂直的直线 PA 、 PB , 分别交 x 轴正半轴 、 y 轴正半轴于点 A 、 B. ( 1) 求线段 A B 中点的轨迹 ; ( 2) 若 S △A OB = S △A PB , 求 PA 与 PB 所在直线的 方程 . 14 . 已知圆的方程为 x 2 + y 2 = 4 , 试在坐标平面内 求两点 A ( s , t) 、 B ( m , n) , 使之满足下列两个条件 : (i) 圆上任意一点到 A 点的距离与到 B 点的距离 之比为定值 k ( k > 1) ; ( ii) s > m , t > n 且 m 、 n 均为正整数 . 15 . 在平面直角坐标系中 , 横 、 纵坐标均为有理数 的点称为有理点 . 求证 : 点 P ( x 0 , y 0 ) 到所有的有理点 的距离均不相等的充要条件是点 P 不在任何直线 l : ax + by + c = 0 ( a 、 b、 c ∈Q ) 上 .

2 2    D. 2 + 2 2 6 . 对任意的正整数 n , 连结原点 O 与点 A n ( n , n + 3) , 用 f ( n ) 表示线段 OA n 上除端点外的所有整 点的个数 , 则 f ( 1) + f ( 2 ) + f ( 3 ) + … + f ( 2005 ) 的值 ). 等于 (    A . 668    B . 1336    C. 2004    D . 2005 二、 填空题 7 . 在直角坐标系中 , 一直角三角形的两条直角边 分别平行于两坐标 , 且两直角边上的中线所在直线方 程分别是 y = 3 x + 1 和 y = m x + 2 , 则实数 m 的值 是   . A . 1    B . - 3    C. 2 8 . 已知当且仅当 k 满足 a ≤k ≤b 时 , 两圆 x 2 + y 2 = 4 + 12 x + 6 y 与 x 2 + y 2 = k + 4 x + 12 y 有公共点 , 则 b - a 的值为    . ( x′ ) 满足 x′ 9 . 设动点 P ( x , y ) 、 P′ , y′ = 3x + 2y + 1 , y′= x + 4 y + 3 , 则 过 P 、 P′ 两点的直线方程

   参考答案 一、 选择题 1 . C. 因为 f ( x 1 , y 1 ) = 0 , f ( x 2 , y 2 ) ≠ 0 , 所以方程 f ( x , y) - f ( x 1 , y 1 ) - f ( x 2 , y 2 ) = 0 与直线 l 平行 , 且 过点 P2 . 2 . D. 点 A 、 B、 C 到直线 l 的距离的平方和为 ( - 2 k - 1) 2 + ( - 3 k + 2 ) 2 + ( - k + 3 ) 2 d= = …= 14 2 k +1 14 k . 要 使 d 最 小 , 显 然 k > 0 . 这 时 d ≥ 14 2 k +1 14 k = 7 , 当且仅当 k 2 = 1 , 即 k = 1 时等号成立 . 所 2k

 

 

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竞赛园地
B= - A, 或 C =4A

中学数学教学参考    2004 年第 11 期   
B =2A , C= -

以 , 当 k = 1 时 , d 取最小值. 此时点 A 、 B、 C 均不在直线 l : y = x 上. 3 . A. 两 圆 的 圆 心 距 d
2 2 =2 a + b 与两已知圆的半 径 都 相等 , 且等于所求圆的直径 , 由图知 , 这样的圆有 5 个 . 4 . B . 设 A ( a , 9 - a ) , 则圆心 M 到直线 A C 的距离 d = | A M | sin45°

代入得直线 PP′ 的方程为 5 A. 4 x - y + 4 = 0 或 4 x + 8 y - 5 = 0. 10 . x 2 + y 2 - 8 x - 16 y + 75 = 0 . 视点 A 为 “点 圆” , 设所求圆的方程为 ( x - 3 ) 2 + ( y - 6 ) 2 + λ( x 2 + y 2 - 4 x - 8 y + 15 ) = 0 , 把 点 B 的 坐 标 代 入 , 得 λ= - 1 , 代回即可 . 2
11 . a = 4 , b ∈( - 3 5 - 3 , - 3 5 + 3) ∪( 3 5 - 3 , 3 5 + 3 ) . ⊙C1 的圆心为 C1 ( 1 , - 2 ) , 半径为 | b | ; x1 - x2 ⊙C2 的 圆 心 为 C2 ( a - 6 , a ) , 半 径 为 3 . 由 y2 - y 1 y1 + y2 2 2 2 2 = , 得 x 1 + y1 = x 2 + y2 , 则 A 、 B 两点与原点 x1 + x2
O 等 距 离 , 从 而 直 线 C1 C2 过 原 点 , 有 a a- 6 = , - 2 1 5. 又 由 两 圆 相 交 , 得

=

2 | A M | . 由直线 A C 与圆相交 , 得 2

34 2 34 ( a - 2) 2 + [ ( 9 - a) - 2 ]2 ≤ ,即 ,解 2 2 2 得 3 ≤a ≤ 6. 2 2 5 . C. 由 ( x 0 + y0 ) 2 ≤2 ( x 2 0 + y0 ) , 得 ( 2 a - 1 )
d≤

2 2 ≤ a ≤2 + . 又 x 0 y0 2 2 1 1 2 2 2 ( 3 a2 - 6 a + 4 ) = [ ( x 0 + y0 ) - ( x 0 + y0 ) ] = 2 2

≤ 2 ( a2 + 2 a - 3) , 解得 2 -

即 a = 4 . 所 以 | C1 C2 | = 3
3 5 - 3 < | b| < 5 3 + 3 .

=

3 1 2 ( a - 1) 2 + , 所以当 a = 2 时 , x 0 y 0 取最小 2 2 2 6 . B . 线段 OA n 上的整点 ( x , y ) 满足 y =

值.
n+3 x (0 n k +1 < x < n ,且 n ∈ N 3 ) . 当 n = 3 k ( k ∈N 3 ) 时 , y = k ? x (0 < x < 3 k , x ∈ N 3 ) . 因为 k 与 k + 1 互素 , 所以当 且仅 当 x = k 或 2 k 时 , y ∈N 3 , 则 f ( 3 k ) = 2 ; 当

3k +4 x (0 < x < 3 k + 1 , 3k +1 x∈ N 3 ) , 由 3 k + 4 与 3 k + 1 互素 , 得 f ( 3 k + 1 ) = 0 ; 当 n = 3 k - 1 ( k ∈N 3 ) 时 , 同样有 f ( 3 k - 1 ) = 0 . 故 2005 f ( 1) + f ( 2) + f ( 3) + …+ f ( 2005) = 2 [ ] = 1336 . 3 二、 填空题 3 7 . 或 12 . 设直角三角形平行于 x 轴 、 y 轴的边 4 1 b b m= , 2 1 m= , a a 2 的长分别为 a 、 b ,则 或 b 1 3= b 1 2 a 3= . 2 a 3 解得 m = 或 m = 2 . 4 8 . 140 . 两 圆 圆 心 距 d = 5 . 由 两 圆 有 公 共 点 ,
3 n = 3 k + 1 ( k ∈N ) 时 , y =

得| 7 k + 40| ≤5 ≤| 7 + k + 40 | , 解得 - 36 ≤k ≤ 140 . 故 b - a = 140 . 9 . x - y + 4 = 0 或 4 x + 8 y - 5 = 0 . 设 PP′ : Ax + B y + C = 0 , 则 A ( 3 x + 2 y + 1) + B ( x + 4 y - 3) + C = 0 ,即 (3 A + B ) x + (2 A + 4 B ) y + A - 3 B + C = 0. 它 与 A x + By + C = 0 表 示 同 一 直 线 , 则 有 3A + B 2A + 4B A - 3B + C = = , 得
A B C

20 的正 3 六边形 , 穿过原点 O 的三条直线将这个六边形分成六 20 个边长为 的等边三角形 , 因为每个这样的大三角形 3 的边长是小三角形边长的 10 倍 , 且每个大三角形被分 成 102 个小三角形 . 所以正六边形的内部共有边长为 2 的小三角形为 6 × 102 = 600 ( 个) . 另外 , 与正六边形 3 2 每条边相邻的外部都有 10 个小三角形 . 故边长为 3 的等边三角形的个数为 6 × 102 + 6 × 10 = 660 . 三、 解答题 13 . ( 1 ) 设 线 段 A B 的 中 点 为 M ( x , y ) ( x > 0 , y > 0) ,则 A ( 2 x , 0 ) 、 B ( 0 , 2 y ) . 由 PA ⊥ PB , 得 k PA ? 8 8 - 2y k PB = - 1 , 即 ? = - 1 . 化简得 3 x + 4 y - 25 6- 2x 6 = 0 ( x > 0 , y > 0) . ( 2) 设 A ( a , 0) 、 B ( 0 , b) ( a > 0 , b > 0) , 则直线 A B 的方程为 bx + ay - ab = 0 . 由 S △A OB = S △A PB 知 , 点 | ab| O 、P 到 直 线 A B 的 距 离 相 等 , 即 2 2 a + b | 8 a + 6 b - ab| = . 化简得 ab = 4 a + 3 b. 又 PA ⊥ PB , 2 2 a + b 8 8- b 所以 ? = - 1 , 即 3 a + 4 b = 50 . 联 立 解 得 6- a 6 25 25 a=6,b=8或 a = ,b= . 故直线 PA 、 PB 的方程 3 4 分别为 x = 6 , y = 8 或 24 x + 7 y - 200 = 0 , 7 x - 24 y + 150 = 0 . 14 . 设 圆 上 任 一 点 为 ( x , y ) , 由 ( i ) 得 12 . 660 . 六条最外面的直线决定了边长为
( x - s) 2 + ( y - t ) 2 = k ( x - m ) 2 + ( y - n) 2 , 化 2 2 2 2 简得 ( k - 1) x + ( k - 1) y - 2 ( k 2 m - s) x - 2 ( k2 n

中学数学教学参考    2004 年第 11 期 数学竞赛单元训练题 ( 初中)

 

竞赛园地

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一元二次方程根的性质
安徽省枞阳县钱桥中学  陆克义 江 西 省 南 昌 一 中  陆英逢 湖北省武汉市第三初级中学   桂文通
   一、 选择题
1 . 已知实数 a 、 b 满足 a + b > 0 ,则 1
a

=

1
b

- b = 3,且 a

a b ). 3 3 的值是 (    b a

A . 21 5   B . 21

C. 33 5   D . 33 13  

13

B C , CE ⊥CD , 则以 A D 和 A E 的长为根的一元二次方 ). 程是 (    A . x 2 - 2 cx + b2 = 0     B . x 2 - cx + b2 = 0 2 C. x - 2 cx + b = 0 D . x 2 - cx + b = 0 二、 填空题

2 . 已知实数 a 是方程 x 2 - m x + m + 5 = 0 和 2 x - ( 8 m + 1) x + 15 m + 7 = 0 的公共根 , 则 m a 的值 ). 等于 (    A . 18    B . 9    C. 2    D. - 9 3. 设 a 、 b、 c 都是实数 , 且 a ≠ 0 , a + b = - 2c ,则 ). 方程 ax 2 + bx + c = 0 根的情况是 (    A . 只有一个正根      B . 有两个正根 C. 至少有一个正根     D . 无正根 4 . 设菱形的周长为 20 , 两条对角线的长是方程 x 2 - ( 2 m - 1) x + 4 m - 4 = 0 的 两 个 根 , 则 m 的 值 ). 为 (    7 13 A.         B. 2 2 7 13 7 13 C. 或    D. 或 2 2 2 2 5 . 已知关于 x 的方程 x 2 - 6 x + ( a - 2 ) | x - 3 | + 9 - 2 a = 0 有且仅有两个不相等的实根 , 则实数 m ). 的取值范围是 (    A . a = - 2       B. a > 0 C. a = - 2 或 a > 0 D . a ≤- 2 或 a > 0 6 . 如图 , 在 Rt △A B C 中 , ∠A CB = 90° , A C = b , AB = c. D 是 A B 边 上 一 点 , E 是 A B 延长线上 一 点 , 且 BD =

7. 如 果 m 为 实 数 , 且 方 程 x2 - 2 - m x ( m - 1) 2 + = 0 有实根 , 则 m 2004 + x 2005 的值为    . 4 2 8 . 方程 x + ( 2 m - 1 ) x + ( m - 6 ) = 0 有一根不 大于 - 1 , 另一根不小于 1 , 则该方程两根平方和的最 大值是    . 9 . 已知矩形的对角线长为
2 2

10 , 而它的两邻边长
2 2

a、 b 满足 m + a m - 12 a = 0 , m + b m - 12 b = 0 (m≠ 0) , 则矩形的周长是     .

10 . 已 知 3 ( a - b ) + 3 ( b - c ) + ( c - a ) = 0 ( c - a) ( c - b) (a≠ 0) , 则 的值为    . ( a - b) 2 三、 解答题 11 . 已知 a > b > c > 0 , 方程 x 2 - ( a + b + c ) x + ab + bc + ca = 0 . ( 1) 若该方程有实根 , 求证 : a 、 b、 c 不能成为一个 三角形的三边长 ; ( 2) 若 x 0 为方程的 一 个 实 根 , 求 证 : b + c < x 0 < a; ( 3) 若 6 和 9 是方程的两个根 , 求正整数 a 、 b、 c 的值 . 12 . 设 a 、 b、 c 为三个互不相等的实数 , 且 c ≠ 1. 已 知关于 x 的方程 x 2 + ax + 1 = 0 和 x 2 + bx + c = 0 有 一个公共根 , 方程 x 2 + x + a = 0 和 x 2 + cx + b = 0 也 有一个公共根 , 试求 a + b + c 的值 . + by0 + c = 0 , 其中 a = 2 ( x 1 - x 2 ) , b = 2 ( y 1 - y 2 ) ,
2 2 2 2 c = - [ ( x 1 + y 1 ) - ( x 2 + y 2 ) ]. 而 a 、 b 不同时为零 , 故

- t ) y = s2 + t 2 - k ( m 2 + n2 ) , 它与 x 2 + y 2 = 4 表示同 2 2 2 2 2 s + t - k (m + n ) 一个 圆 , 有 s = k 2 m , t = k 2 n , 2 k - 1 4 2 2 = 4 . 消去 s 、 t , 得 m + n = 2 < 4. 又 m 、 n 为正整
k

点 P 在直线 l 上 . 必要性   若点 P 在直线 l 上 , 不失一般性 , 设 a ≠
0,则 l 与 x 轴 的 交 点 为 M ( A(c , 0). 取 点 a

数 , 所以只有 m = n = 1 , 从而 k2 = 2 . 这种 s = t = 2 , 故 所求点 A ( 2 , 2) 、 B ( 1 , 1) . 15 . 充 分 性  若 点 P 到 有 理 点 P1 ( x 1 , y 1 ) 、 P2 ( x 2 , y2 ) 的距离相等 , 即 | PP1 | = | PP2 | , 亦即 ( x 0
- x 1 ) 2 + ( y 0 - y1 ) 2 = ( x 0 - x 2 ) 2 + ( y 0 - y2 ) 2 , 即 ax 0

c c - a , - b) 、 B( + a , b) , 则 M 为线段 A B a a 的中点 , 且 A B ⊥l , 故| PA | = | PB | . 综上知 , 点 P ( x 0 , y 0 ) 到所有的有理点距离均不相

等的充要条件是点 P 不在任何直线 l 上 .


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