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泉州五中2013届高考模拟试卷(理科)


泉州五中 2013 届高考模拟试卷(理科数学) (2013.5.11)
命题者:黄寒凝、李晖 审题者:许华军 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题 为必考题.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的

四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 已知向量 a ? (?1,1) , b ? (3, m) , a //(a ? b) ,则 m ? ( A. 2 B. ?2 C. ?3
S4 a3
? ? ? ? ?

) D. 3 的值为(
7 2

2. 设等比数列 { a n } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则
15 4 15 2 7 4



A.

B.

C.

D.

3. 已知复数 z1 ? co s 2 3 ? ? i sin 2 3 ? 和复数 z 2 ? co s 3 7 ? ? i sin 3 7 ? ,则 z 1 ? z 2 为(
3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 1 2



A.

?

i

B.

?

i

C.

?

i

D.

?

i

4. 设 0 ? b ? a ? 1 ,则下列不等式恒成立的是( A. a b ? b ? 1
2


a

B. 2 ? 2 ? 1
b
1 2

C. log

1 2

a ? log

b ? 0

D. log

a

2 ? log

b

2 ? 0

5. 设 m , n 是空间两条直线,? ,? 是空间两个平面, 则下列四个命题中正确的是 ( A. m 垂直于 ? 内无数条直线”是“ m ? ? ”的充要条件; “ B. “存在一条直线 m , m // ? , m // ? ”是“ ? // ? ”的一个充分不必要条件; C.当 ? ? ? 时, m // ? ”是“ m ? ? ”的必要不充分条件; “ D.当 m ? ? 时, m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件。 “



1

6. 执行如图所示的程序框图,若输出的 k ? 5 ,则输入的整数 p 的最小值为( . A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
开始 输入 p



? x ? s in x , x ? 0 2 7.已知函数 f ( x ) ? ? x ,若 f (2 ? a ) ? f ( a ) ,则 ? e ? 1,   x ? 0

k ? 1, S ? 0

S ? p

否 输出k 开始

实数 a 的取值范围是( A. ( ? ? , ? 1) ? ( 2, ? ? ) C. ( ? 1, 2 )

) B. ( ? 2 ,1) D. ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )


S ? S ?2
k ?1

k ? k ?1

8. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“中优数” ,现在 从1、2、3、4、5、6这六个数字中任取三个数,组成无重复数字的三位数,其中“中优数” 的个数为( A. 1 2 0 ) B. 8 0 C. 4 0 D. 2 0
y ? f ?( x )

( ? ) 9 . 函 数 f ( x ) ? s i n ? x ? ? ) (? ? 0 , 0? ? ? 2 的 导 函 数 y ? f ? ( x ) 的部分图像如图所示,其中 P 为图像与 y 轴的交点,

A , C 为图像与 x 轴的两个交点,且 AC ?

?
3

, B 为图像的最低

点,点 P 的坐标为 ( 0 ,

3 3 2

) ,若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的

区域内随机取一点,记该点落在 ? ABC 内的概率为 a ,则 ? 与 a 的值分别为( A.
?
6





?
8

B.

2? 3



?
8

C.

2? 3



?
4

D.

?
6



?
4

10.定义全集 U 的子集的 P 特征函数为 f P ( x ) ? ?

?1, x ? P ? 0, x ? CU P

,这里 C U P 表示集合 P 在全

集 U 的补集,已知 P ? U , Q ? U ,给出以下结论: ① 若 P ? Q ,则对于任意 x ? U ,都有 f P ( x ) ? f Q ( x ) ; ② 对于任意 x ? U 都有 f C P ( x ) ? 1 ? f P ( x ) ;
u

2

③ 对于任意 x ? U ,都有 f P ? Q ( x ) ? f P ( x ) ? f Q ( x ) ; ④ 对于任意 x ? U ,都有 f P ? Q ( x ) ? f P ( x ) ? f Q ( x ) 。 则结论正确的是( A.①②③ ) B.①②④ C.①③④ D.②③④

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.泉州五中三个学生社团:文学社、合唱社、摄影社,其中文学社有 36 人,学校要对这 三个社团的活动情况进行抽样调查,按分层抽样的方法从这三个社团成员中抽取 30 人, 结果文学社被抽出 12 人,则这三个社团共有______________人。 12.在△ A B C 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 sin A ? 3 sin C , B ? 3 0 ? , b ? 2 , 则△ A B C 的面积是 13. C n ? 3C n ? 3 C n ? ? ? 3 若
1 2 2 3


n?2

Cn

n ?1

?3

n ?1

? 8 5 , (1 ? 2 x ) 的所有项的系数和为 则
n
n ?1



14.对于数列 { a n } ,定义 H n ?
{ a n } 的“优值” H n ? 2
*
n ?1

a1 ? 2 a 2 ? ? ? 2 n

an

为 { a n } 的“优值” ,现在已知某数列

{ ,记数列 a n ? kn }的前 n 项和为 S n ,若 S n ? S 5 对任意的

n ( n ? N ) 恒成立,则实数 k 的取值范围为
2 2



15. 已知点 A ( ? 3 , 0 ) 和圆 O :x ? y ? 9 ,AB 是圆 O 的直径,M 和 N 是 AB 的三等分点,
P (异于 A , B )是圆 O 上的动点, PD ? AB 于 D , PE ? ? ED

( ? ? 0 ) ,直线 PA 与 BE

交于 C ,则当 ? ?

时, | CM | ? | CN | 为定值。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。. 16. 盒中装有 6 个零件,其中 2 个是使用过的,另外 4 个未经使用, (1)从盒中随机一次抽取 3 个零件,求抽取到的 3 个零件中恰有 1 个是使用过的概率; (2)从盒中每次随机抽取 1 个零件,观察后都将零件放回盒中,记 3 次抽取中抽到使用 过的零件的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望。

3

17 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ⊥ 平 面 ABCD ,
AC ? BD 于 O , E 为线段 PC 上一点,且 AC ? BE ,

(1)求证: PA // 平面 BED ; (2) BC // AD ,BC ? 若
2 ,AD ? 2 2 ,PA ? 3 且 AB ? CD

求 PB 与面 PCD 所成角的正弦值。 18.已知抛物线 C : x ? 2 p y ( p ? 0 ) 上一点 P ( a , ) 到焦点距离
2

7 8

为 1, (1)求抛物线 C 的方程; (2)直线 y ? k x ? 2 交 C 于 M 、 N 两点, Q 是线段 MN 的 中点,过 Q 作 x 轴的垂线交 C 于点 T , ① 证明:抛物线 C 在点 T 处的切线与 MN 平行;
?? ??

y 2
N O T Q

M

x

② 是否存在实数 k 使 TM ? TN ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 19.一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分之 一圆弧,AB、DC 分别与圆弧 BC 相切于 B、C 两点, EF//AB,GH//CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是 1m , (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 MN 分别在外 壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁圆弧相切于点 P,设
? C M N ? ? (rad),试用 ? 表示木棒 MN 的长度 f (? ) ;

(2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值。 20.已知函数 f ( x ) ? e , g ( x ) ? a x ? 1 ( a 是 不为零的常数,且 a ? R ) 。[来源:学。网]
x

(1)当 a ? 0 时,求函数 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 的单调区间;[来源:Zxxk.Com] (2)当 a ? ? 1 时,方程 f ( x ) ? g ( x ) ? t 在区间 [ ? 1,1] 上有两个解,求实数 t 的取值范围。 (3)是否存在正整数 N ,使得当 n ? N 且 n ? N 时,不等式
*

4

f ( ? 1) ? f ( ?

1 2

) ? f (?

1 3

) ? ? ? f (?

1 n

) ? n ? 2 0 1 1 恒成立? 若存在,找出一个满足条件的 N



并证明;若不存在,说明理由。 21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 、 、 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ? ? ?2
?3 a? ? 的两个特征值为 6 和 1, ? b?

(1)求 a , b 的值,并求每个特征值所对应的一个特征向量; (2)求矩阵 A
?1



(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 ? r cos ? ?x ? ? ? 2 在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数, r ? 0 ) , 2 ?y ? ? ? r sin ? ? 2 ?
x 以 O 为极点, 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin( ? ?

?
4

) ? 1,

(1)写出圆 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程; (2)若圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,求 r 的值。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 若 a, b, c 为正实数且满足 a ? 2 b ? 3 c ? 6 , (1)求 abc 的最大值; (2)求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值.

泉州五中 2013 届高考模拟试卷(理科)答案
一、选择题:CABDD 二、填空题:11.90 三、解答题: BBCDA 12. 3 13.1 14. [ ,
3 7 12 5 ] 1 8

15.

5

16. (1)记事件 A 为“抽取到 3 个零件中恰有一个是使用过的” ,则 P ( A ) ?
1

C 2C 4 C6
3

1

2

?

3 5

(2)依题有 X ~ B (3, )
3

8 ?2? 1 1 P ( X ? 0) ? ? ? ? , P ( X ? 1) ? C 3 ? 27 3 ?3?
2

3

4 ?2? ?? ? ? 9 ?3?
3

2

2 1 ?1? 2 ?1? P ( X ? 2 ) ? C 3 ? ? ? ? ? , P ( X ? 3) ? ? ? ? 9 27 ?3? 3 ?3?
2

所以 X 的分布列如下 X P 0
8 27

1
4 9
1 3

2
2 9
?1

3
1 27

所以 X 的期望是 E X ? 3 ?

17.? A C ? B D , A C ? B E , B D ? B E ? B ,? A C ? 平 面 B D E ,连接 O E , 所以 A C ? O E ,又 P A ? 平 面 A B C D ,? A C ? P A ,又 O E , P A 都是平面 P A C 中的直 线,? O E ∥ P A ,且 O E ? 平 面 B D E , P A ? 平 面 B D E ,? P A ∥ 平 面 B D E (2)? BC // AD , BC ?
2 , AD ? 2 2 且 AB ? CD

所以在等腰梯形中 O B ? O C ? 1, O A ? O D ? 2 由(1)知 O E ? 平 面 A B C D ,分别以 O B , O C , O E 为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系
O ? x y z ,则 B (1, 0, 0 ), C (0,1, 0 ), D ( ? 2, 0, 0 ), P (0, ? 2, 3)
? ???? ? ?n ?CD ? 0 ??2 x ? y ? 0 ? 设平面 P C D 的法向量为 n ? ( x , y , z ) 则 ? ? ???? ,所以 ? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? PC ? 0 ?

取 x ? 1 ,则 y ? z ? ? 2 , n ? (1, ? 2 , ? 2 ) , P B ? (1, 2, ? 3) ,设 PB 与平面 PCD 所成角为 ?
??? ? ? PB ? n 14 14 则 s in ? ? ??? ? ? ,所以 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 ? 14 14 PB n

?

??? ?

6

18. (1)依据抛物线的定义知:P 到抛物线焦点 F 的距离为 P F ? 抛物线的方程为 x ?
2

7 8

?

p 2

? 1 ,所以 p ?

1 4



1 2

y,
2

? y ? 2x 2 (2)①设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), Q ( x 0 , y 0 ) ,联立 ? 的 2 x ? kx ? 2 ? 0 ? y ? kx ? 2

所以 x1 ? x 2 ?

k 2

, x1 ? x 2 ? ? 1 ,? x 0 ?
2

x1 ? x 2 2

?

k 4

,? y ? 2 x ,所以 y '
2

x ? x0

? k

所以抛物线 y ? 2 x 在 T 点处的切线与 MN 平行。
k 4 k
2 2 ???? ??? ? k k k k ) ,则 T M ? T N ? ( x1 ? )( x 2 ? ) ? ( y 1 ? )( y 2 ? ) 8 4 4 8 8 2

②由①可得 T (

,

? ( k ? 1) x1 x 2 ? (
2

7 4

k ?

k

3

8

)( x1 ? x 2 ) ?

k

2

? (2 ?

k

2

) ? ?
2

3 64

( k ? 4 )( k ? 1 6 ) ? 0
2 2

16

8

解得 k ? ? 2 ,所以存在 k ? ? 2 满足 T M ? T N ? 0 19. (1)如图, 设圆弧 F G 所在的圆的圆心为 Q , Q 点作 C D 垂线, 过 垂足为点 T , 且交 M N 或其延长线与于 S ,并连接 P Q ,再过 N 点作 T Q 的垂线,垂足为 W . 在 R t ? N W S 中,因为 N W ? 2 , ? S N W ? ? ,所以 N S ?
2 cos ?

???? ??? ?



因 为 M N 与 圆 弧 F G 切 于 点 P , 所 以 P Q ? M N , 在 R t△ Q P S , 因 为 P Q ? 1 ,
? P Q S ? ? ,所以 Q S ?

1 cos ?

,Q T ? Q S ? 2 ?

1 cos ?



①若 S 在线段 T G 上,则 T S ? Q T ? Q S , 在 R t ? S T M 中, M S ?
TS s in ? ? QT ? QS s in ?

,因此 M N ? N S ? M S ? N S ?

QT ? QS s in ?

.

②若 S 在线段 G T 的延长线上,则 T S ? Q S ? Q T , 在 R t ? S T M 中, M S ?
TS s in ? ? QS ? QT s in ? s in ?
? 2 cos ? ?(


QT ? QS s in ?
1 s in ? c o s ?

因此 M N ? N S ? M S ? N S ?
f (? ) ? M N ? N S ?
QT ? QS s in ?

QS ? QT

? NS ?
2 s in ? ?

.
2 (s in ? ? c o s ? ) ? 1 s in ? c o s ? (0 ? ? ? ? 2 )

) ?

7

(2)设 sin ? ? co s ? ? t (1 ? t ≤ 因此 f (? ) ? g ( t ) ?
2

2 ) ,则 sin ? c o s ? ?

t ?1
2



2
4t ? 2 t ?1
2

. ,又1 ? t ≤
2 ,所以

因 为 g ?( t ) ? ?

4 ( t ? t ? 1) ( t ? 1)
2 2

g ? ( t ) ? 0恒成立,

因此函数 g ( t ) ?

4t ? 2 t ?1
2

在 t ? (1, 2 ] 是减函数,所以
2 ? 2 ,即 M N m in ? 4 2 ? 2 .
x

g ( t ) m in ? g ( 2 ) ? 4

20. (1)因为 F ( x ) ? ( a x ? 1) e 所以 F '( x ) ? a e ( x ? 1 ?
x

1 a

) ,所以 F '( x ) ? 0 ? x ? ? 1 ? 1 a
x

1 a 1 a

, F '( x ) ? 0 ? x ? ? 1 ?
)

1 a

所以 F ( x ) 的增区间为 ( ? 1 ?

, ? ? ) ,减区间为 ( ? ? , ? 1 ?

(2)当 a ? ? 1 时, F '( x ) ? ? x e ,所以 F ( x ) 的减区间为 (0, ? ? ) ,增区间为 ( ? ? , 0 )
0 所以当 x ? 0 时,取得极大值 F (0 ) ? 1 ,又 F ( ?1) ? , F(1) ? ,方程 f ( x ) ? g ( x ) ? t 在 e 2

区间 [ ? 1,1] 上有两个解,所以实数 t 的取值范围是 [ ,1)
e

2

(3)存在,如 N ? 2 所以: f ( ? 1) ? f ( ? 当n ? 2
1 2 ? 1 2 ? 1 3 ?( ?
4022

4022

,由(2)知道当 a ? ? 1 时, F ( ?
1 3 ) ? ? ? ? ? f (? 1 n )? n?( 1 2 ? 1 3

1 n

) ? 1 可得 f ( ? 1 4 ? ??? ? 1 n ?1

1 n )

) ? 1?

1 n ?1

1 2

) ? f (?

?

时,
1 n ?1 1 8
1 2

1 4

? ??? ? 1 4 )?(

? ?

1 2 1 8
1 3

?( ?

1 3

?

1 4

)?(

1 5

? 1

1 6

? ?

1 7

? 1

1 8

) ? ??? ? ( 2 1 2

1
4021

?1 1 2

? 2

1
4021

?2

? ??? ? 2

1
4022

)

1 4

?

?

1 8

1 8

) ? ??? ? ( 2
1 n

4022

2

4022

? ??? ?

4022

)?

? 4022 ? 2011

所以

f ( ? 1) ? f ( ?

) ? f (?

) ? ? ? f (?

) ? n ? 2011

21. (1) (Ⅰ) 依题 1, 是关于 ? 的方程,f ( ? ) ? ? 6 ? 2 的两个根,由韦达定理有 ?
?b ? 3 ? 7

?3 ? ?

? 2 ? ? ? ? (3 ? b ) ? ? 3 b ? 2 a ? 0 b??? a

?b ? 4 ,解 得 ? 。 ? 3b ? a ? 6 ?a ? 3
8

1 所对应的一个特征向量为 ? 1 ? ?

?

? ?3 ? ?1 ? , 6 所对应的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? , ? ??2? ?1 ?

(2)? d et A ? 6 ,所以 A ? 1

? 2 ? 3 ? ? ?? 1 ? 3 ?
2

?

1? 2? ? 1 ? 2 ? ?

(Ⅱ) (1)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 s in (? ? 直线 l 的直角坐标方程为: x ? y ?
2 2 2 2 2

?
4

)?1? r

2

? 0,

2 ?0

?

?

?

2 ? 2

(2)圆 C 的圆心 C 到 l 的距离 d ?

圆 C 上的点到 l 的距离的最大值为 d ? r ? 3 ,所以 r ? 1 (Ⅲ) (1)? 6 ? a ? 2 b ? 3 c ? 3 3 a ? 2 b ? 3 c 当且仅当 a ? 2 b ? 3 c 即 a ? 2 , b ? 1, c ? (2)?
a ?1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ?
2 3 ? abc ? 4 3 4 3

时等号成立。所以 a b c 的最大值为

( a ? 1 ? 2 b ? 1 ? 3 c ? 1)(1 ? 1 ? 1) ? 3 3
2 3

当且仅当 a ? 1 ? 2 b ? 1 ? 3 c ? 1 即 a ? 2 , b ? 1, c ? 所以 a ? 1 ?
2b ? 1 ?

时等号成立

3 c ? 1 的最大值为 3 3 。

9


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