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微积分基础初步及其在中学物理竞赛中的应用


微积分初步及其在中学物理竞赛中的应用
一、 极 限 二、 导 数 三、 微 分 四、 定积分

一、极 限
1. 极限的概念
引例1. 观察下列数列的极限: n 1 un = un = n (1) (2) n +1 2
解 观察数列在 n → ∞ 时的发展趋势,得

n n 1 2 3 (1)对于数

列 u ,即 , , ,..., ,...即 un 的极限为 1; n = : n +1 n +1 2 3 4 1 1 1 1 1 (2)对于数列 un = n ,即 , 2 , 3 ,..., n ,...即 un 的极限为 0; 2 2 2 2 2

引例2:观察下列函数在x→1时的极限 3x 2 ? x ? 2 y = f (x) = x ?1
解:在 x =1时,f(x)无意义,但可以知道在x无论怎样接近1时 f(x)的值. x 0.99 0.999 0.9999
1.0001 1.001 1.01

3x2-x+2
-0.0497 -0.004997 -0.00049997 0.00050003 0.005003 0.0503

X-1
-0.01 -0.001 -0.0001 0.0001 0.001 0.01

3x 2 ? x + 2 x ?1
4.97 4.997 4.9997 5.0003 5.003 5.03

极限的定义:
———如果当自变量x无限接近某一数值x0 ( 记作 x → x0 ) 时,函数f(x)的数值无限接近某一确定的数值a,则a叫作 x→x0时函数f(x)的极限值。记作:
x→x0

lim f (x) = a

——函数的变化趋势

3x 2 ? x ? 2 (3x + 2)( x ? 1) lim = lim = lim(3x + 2) = 5 x →1 x →1 x →1 x ?1 x ?1

2. 极限运算法则
设 limf ( x) 及 lim g ( x) 都存在(假定 x 在同一变化过程中) , 则有下列运算法则:

法则 1

x→x 0

lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) .
x→x0 x→x0

法则2

x→x0

lim [f (x) ? g (x)] = lim f (x) ? lim g (x) .
x→x0 x→x0

lim f (x) f ( x) x →x0 lim = lim g (x) 法则3 x→x 0 g (x) x →x
0

( lim g (x) ≠ 0).
x→x0

3. 两个重要极限
(1)
lim sin x =1 x→0 x

口→0

lim

sin口


=1

当x很小时: sin x ≈ x

tan x ≈ x

1? ? lim 1 =e + (2) ? ? x →∞ ? x?

x

口→∞

口 lim 1+ ) =e (

1



1 型



1
口→0 口 lim 1 +口) =e (

sin 3 x 例 1.求 lim . x→0 sin 4 x
解:
sin 3 x sin 3 x 4 x 3 x = lim( ? ? ) lim x →0 sin 4 x x →0 3 x sin 4 x 4 x 3 sin 3 x 4x 3 = lim ? lim = . 4 3 x→0 3 x 4 x→0 sin 4 x 4

口→0

lim

sin口


=1

1 ? cos x 例 2.求 lim . 2 x →0 x
x? ? 2 x sin ? 2 sin ? 1 1 1 ? cos x 2 2 = lim = ? lim ? = . 解: lim 2 2 x →0 x →0 x x 2 2 ? x →0 x ? ? 2 ?
2

3? ? 例 3.求 lim?1 + ? x →∞ ? x?
x 解:令 = u ,则 x = 3u 3

x

口→∞

口 lim 1 + ( )=e

1



?? 1 ? ? 3? ? 1? lim ?1 + ? = lim ? 1 + ? = lim ?? 1 + ? x →∞ u →∞ ? x ? u→∞ ? u ? ? ?? u ?
x 3u

u

? 3 e = . ? ? ?

3

二、导
1. 导数的概念



引例1. 变速直线运动的瞬时速度
0 平均速度
Δs s(t 0 + Δt ) ? s(t 0 ) = v= Δt Δt
S(t0) S(t0+Δt)

S

当 Δt 很小时,v 可作为物体在 t0 时刻的瞬时速度的近似值. 且

Δt 越小, v 就越接近物体在 t0 时刻的瞬时速度,即

s(t 0 + Δt ) ? s(t 0 ) Δs v( t 0 ) = lim v = lim . = lim Δt → 0 Δt → 0 Δt Δt → 0 Δt

物体运动的瞬时速度是路程函数的增量和时间的增量之比当 时间增量趋于零时的极限.

引例2. 平面曲线的切线斜率
在曲线 L 上点 M 0 附近, 再取一 点 M ,作割线 M 0 M ,当点 M 沿曲 线 L 移 动 而 趋 向 于 M 0 时 ,割线
M 0 M 的极限位置 M 0T 就定义为曲
L M0
α ?

y

y = f (x) M N B T

o

线 L 在点 M 0 处的切线. 斜率为

A

x

f ( x0 + x ) ? f ( x0 ) Δy = lim tan α = lim tan ? = lim Δx → 0 Δx → 0 Δ x Δx → 0 x ? x0
曲线 y = f ( x) 在点 M 0 处的纵坐标 y 的增量 Δy 与横坐标 x 的增量 Δx 之比, 当 Δx → 0 时的极限即为曲线在 M 0 点处 的切线斜率.

导数的定义
设函数 y = f ( x) 在点 x0 的某一邻近区间内有定义,当自 变量 x 在 x0 处有增量 Δx(Δx ≠ 0, x0 + Δx 仍在该邻域内)时,相 应地函数有增量 Δy = f ( x0 + Δx) ? f ( x0 ) ,如果 Δy 与 Δy Δx 之比 当 Δx → 0 时,极限 Δx

f ( x0 + Δx) ? f ( x0 ) Δy = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx lim
存在,那么这个极限值称为函数 y = f ( x) 在点 x0 的导数. 并且说,函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导。

导数---增量比的极限,反映了函数的变化率(快慢)

记为 f ′( x 0 ),

y'

x=x0

df ( x) dy , 或 dx x= x0 dx x= x0

f ( x0 + Δx) ? f ( x0 ) Δy = lim 即 f ′( x0 ) = lim Δx→0 Δx Δx→0 Δx
(1)如果 f ( x) 在 (a, b) 内可导,那么对应于 (a, b) 中的每一个确定的 x 值,对应着一个确定的导数值 f ′( x) ------ y = f ( x) 的导函数(导数)
(2)高阶导数:函数 y = f ( x) 的导函数 f ′( x) 再对 x 求导,可得二阶导数,
′ ′ ′ ′ [ ] = f ( x ) f ( x ) 0 即:
x =x0

依次类推,可得三阶、四阶导数等.

导数的几何意义与物理意义
z导数的几何意义:
函数

y

y = f (x) M L M0
α ?

T N

y = f ( x) 在点x0处的导数等于函数所

表示的曲线L在相应点(x0,y0)处的切线斜率.

o

A

B

x

z导数的物理意义:

变速直线运动的速率

2. 导数的运算法则
设函数 u = u(x) 与 v = v(x) 在点 x 处可导,则: (1) (2)

[u(x) ± v(x) ]′ = u′(x) + v′(x) ;
[u ( x)v( x)]′ = u ′( x)v( x) + u ( x)v′( x) ,

]′ = Cu′(x) ( C 为常数); 特别地[Cu(x)

′ u ( x ) ? u(x)υ′(x) ? = u′(x)υ(x) ? ( v ( x ) ≠ 0) , (3) ? 2 ? υ(x) ? ? υ(x)
? C ? = ? Cv′(x) = C ( C 为常数)时,有 ? 特别地,当 u(x) 2 ? v( x) ? v(x) ? ′

基本初等函数的导数公式

( C )′ = 0 (sin x )′ = cos x (tan x )′ = sec 2 x (sec x )′ = sec x tan x
(a x )′ = a x ln a 1 (log a x )′ = x ln a

( x μ )′ = μx μ ?1 (cos x )′ = ? sin x (cot x )′ = ? csc 2 x (csc x )′ = ? csc x cot x
(e x )′ = e x 1 ′ (ln x ) = x

3. 复合函数的求导法则
问题:
y = sin x
2

dy =? dx

定理 2. 如果函数 u = ? ( x) 在点 x 处可导,而函数 y = f (u ) 对应的 点 u 处可导,那么复合函数 y = f [? ( x)] 也在点 x 处可导,且有 ′ dy dy du = 或 f? ? ( x )? = f ′ ( u )? ′ ( x ) . ? ? dx du dx

{

}

2 y = sin x 的导数. 例如: 求

y=u

2

u = sinx

dy = y′(u )u ′( x ) = 2u cos x = 2 sin x cos x dx

例 8. 求 y = sin x 的导数.

解:函数 y = sin x 可以看作由函数 y = sin u 与 u = x 复合而成.
y ′ = (sin u)′( x )′ = cos u 1 2 x = cos x 2 x .

因此:

x 例 9.求函数 y = ln tan 的导数. 2

解:

′ x x? 1 ? y ′ = (ln tan )′ = ? tan ? x 2 2? tan ? 2 x x 1 sec 2 ( )( )′ = x 2 2 tan 2 x cos 2 . 1 .1 = x x 2 sin cos 2 2 2 1 = sin x = csc x.

4. 导数的应用
4.1 判断极值条件
定理 (极值的必要条件)

设 f (x) 在点 x0 处具有导数,且在点 x0 取得极值 ,那么 f ′( x0 ) = 0 .

y

O

x0

x

例. 一质点自倾角为 α 的斜面的上方 O 点, 沿一光滑斜槽 OA 下降, 如欲使质点到达斜面上所需的时间为最短,问斜槽 OA 与竖直 线所成之角 θ 应为何值?

解I: 在△OAB中,∠OBA= ? α ,由正弦定理得:
OB OA = sin[π ? θ ? (π 2 ? α)] sin (π 2 ? α )
_____ _____

π 2

即:

OB OA = cos(α ? θ) cos α

_____

_____

cos α _____ OA = OB cos(α ? θ)
_____



1 OA = g cos θt 2 2
_____
_____

2 cos α t = ? ? OB g cos θ cos(α ? θ)
2

因为 α 、 OB 为定值, θ 为变量,要使 t 最小,只要分母最大,即分 母对 θ 的一阶导数为零,即

d [cosθ cos(α ?θ )] = ?sinθ cos(α ?θ ) + [? cosθ sin(α ?θ )? (?1)] dθ = ?sinθ cos(α ?θ ) + cosθ sin(α ?θ ) =0
sin θ sin (α ? θ) = cos θ cos(α ? θ)

θ = α?θ

θ=α/2

即 θ = α 2 时,t 最小。

解法Ⅱ:
模型:质点从O点沿不同倾角的光滑斜面到 达A、C点,所需时间相同。

在OB上取一点O’为圆心,作过O并与 斜面相切的圆,切点为A,则质点沿 OA斜面下滑到斜面时所需时间最短。 此时:

θ=α/2

光学费马原理
光在均匀介质中总是沿直线传播的,光在非均匀介质中又是怎 样传播的? 费马原理: 光在空间两定点A、B间传播时,实际光程为一特定 的极值。 极小值



B

A

n ? ds =极值

极大值 恒定值

i.用费马原理证明直线传播定律
在均匀介质中:

n = const
B A



B

A

n ? ds = n ? ∫ ds

几何公理:两点之间直线距离最短



B

A

ds 的极小值为直线 AB .

光在均匀介质中沿直线传播

ii. 用费马原理证明折射定律
证: 通过空间两点A、B可以作无数个
平面,其中必有一个平面垂直于两 种介质 n1和n2 之间的界面,OO’是 它们的交线。通过A点折射到B点的 入射线交界面于C点,求C点的位置。

(a) C点必在OO'上
如果有另一点C'位于线外,则对应于C’,必可在OO’线上找 到它的垂足C''

因为

AC ' > AC ' ' C ' B > C ' ' B AC '+C ' B > AC ' '+C ' ' B

而非极小值.

(b) 确定C (x, 0 )点在OO’上的位置
通过A(x1, y1)和B(x2, y2)两点的入射和折射的光程

Δ = n1 AC + n2CB
2 2 = n1 ( x ? x1 )2 + y1 + n2 ( x2 ? x)2 + y2

使 Δ 为极值的条件为
dΔ n1 ( x ? x1 ) n2 ( x2 ? x) ? = 2 dx ( x ? x1 ) 2 + y12 ( x2 ? x ) 2 + y 2

n1 A' C n2 CB' = ? = n1 sin i1 ? n2 sin i2 = 0 AC CB



n1 sin i1 = n2 sin i2

5.2 求曲线的曲率半径
曲线: y = f ( x)

2 32 ′ [1 + y ( x 0 )] R= y′′( x 0 )



x2 一飞机沿抛物线路径 y = 做俯冲飞行,在原点 O 处的速度为 4000 v = 400 m/s 飞行员体重 70 kg,求此时飞行员对座椅的压力.
y

解: 设支持力为 N,于是

mv 2 N ? mg = R
( R 为原点 o 处的曲率半径)

N
1 y′′ = 2000

x y′ = 2000

O mg

x =0

=0

x

[1 + y′2 ]3 2 R= = 2000 y′′
mv 2 N= + mg = 6300N R



5.3 已知运动学方程(位移-时间关系) 求速率
s(t0 + Δt ) ? s(t0 ) Δs v(t0 ) = lim v = lim = lim . Δ t →0 Δt →0 Δt Δ t →0 Δt
v(t 0 + Δt ) ? v(t 0 ) Δv a ( t 0 ) = lim a = lim = lim . Δt → 0 Δt →0 Δt Δt →0 Δt

ds v= dt dv a= dt

例如:

1 2 s = s 0 + V0 t + a 0 t 2
ds v= = V0 + a 0 t dt

dv a= = a0 dt

例如:

匀加速直线运动
1 2 s = s 0 + V0 t + a 0 t 2
ds v= = V0 + a 0 t dt

dv a= = a0 dt

例如: 圆周运动的角量描述 (1) 运动方程 ?=? t (2) 角位移、角速度、角加速度 角位移

()

Δ?
Δ? d? = Δt dt

lim 角速度 ω = Δ t →0

Δω dω lim = 角加速度 β = Δ t →0 Δt dt

(匀速圆周运动角加速度β为零)


(3) 角量与线量的关系

AB = RΔ?



ΔL RΔ? v = lim = lim = Rω Δt →0 Δt Δt →0 Δt
RΔω Δv a τ = lim = lim = Rβ Δt →0 Δt Δt →0 Δt

v = Rω
a τ = Rβ a n = v 2 R = ω2 R

例如: 简谐振动的速度, 加速度表达式
x = A cos(ωt + ?0 ) dx v= = ? Aω sin(ωt + ?0 ) dt dv a= = ? Aω2 cos(ωt + ?0 ) = ?ω2 x dt

( F = ?kx

k a=? x m

)

例.如图所示,人在竖直岸上通过绳子拉小船,岸高为h,人 以速率V0匀速运动,求绳子与水平面夹角为θ时小船的速 率V. 解一:由于绳子不可伸长,故小船沿绳的分速 度应等于人的速度,即将船的速度沿绳方 向和垂直于绳方向分解,如图所示,可得
V

V0 = V cos θ

V = V0 cos θ
说明:小船绕绳子的转动速度为

V′ = V sin θ = V0 tan θ

解法二
s =h +x
2 2 2

ds dx 2s = 2x dt dt
?sv0 = ?xv
v0 v0 v= = = v0 secθ x s cosθ

dv0 dx ds dv v0 + s = v+ x dt dt dt dt
2 ?v0 = ?v2 + xa

2 2 2 2 (v2 ? v0 ) v0 (sec2 θ ?1) v0 tan2 θ v0 tan3 θ a= = = = x x x h

2 v0 tan3 θ a= h

例. (2007复赛)图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连 成的平面连杆结构图。AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于 纸面的固定轴转动,A、D两点位于同一水平线上。BC杆的 两端分别与AB杆和CD杆相连,可绕连接处转动(类似铰链). 当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时,AB 杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角,已知 AB杆的长度为L,BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点 加速度ac的大小和方向(用与CD杆之间的夹角表示)

解:用导数方法求解

AB = l
CD = 2 2l

BC = 2l

AD = 3l

建立图示坐标系,任意时刻t,连杆 的位形如图所示,此时各杆的位置 分别用θ、φ和α表示。

dθ = ?ω dt

(设顺时针转)

C点坐标表示为

xC = l cos θ + 2l cos ?

yC = l sin θ + 2l sin ?
dxC dθ d? ? ? = ?l ? sin θ + 2 sin ? ? dt dt dt ? ?
d yC dθ d? ? ? = l ? cos θ + 2 cos ? ? dt dt dt ? ?

dxC dθ d? ? ? = ?l ? sin θ + 2 sin ? ? dt dt dt ? ?
d yC dθ d? ? ? = l ? cos θ + 2 cos ? ? dt d dt ? t ?

2 2 2 ? d 2 xC d d d d 2? ? θ θ ? ? ? ? ? = ?l ?cosθ ? ? + sin θ 2 + 2 cos ? ? ? + 2 sin ? 2 ? 2 dt dt dt ? ? dt ? ? dt ? ? ? ?





2 2 2 ? d 2 yC θ θ ? d d d d 2? ? ? ? ? ? = l ? ? sin θ ? ? + cosθ 2 ? 2 sin ? ? ? + 2 cos ? 2 ? 2 dt dt dt ? ? dt ? ? dt ? ? ? ?

又:

CD sin α = AB sin θ + BC sin ?
CD cos α + AB cos θ + BC cos ? = 3l



2 2 sin α = sin θ + 2 sin ?
2 2 cos α = 3 ? cos θ ? 2cos?

8 = sin2 θ + 2 2 sin θ sin ? + 2 sin2 ? + 9 ? 6 cosθ + cos2 θ ? 2(3 ? cosθ) 2 cos? + 2 cos2 ?

2 sin θ sin ? + 2 cosθ cos? ? 3cosθ ? 3 2 cos? + 2 = 0

2 sin θ sin ? + 2 cosθ cos? ? 3cosθ ? 3 2 cos? + 2 = 0 2 cos(θ ? ?) ? 3cosθ ? 3 2 cos? + 2 = 0
dθ = ?ω dt

dθ d? ? dθ d? ? 3 sin θ + 3sin ? = 0 ? sin(θ ? ?)? ? ? + dt dt ? dt dt ? 2 d? ? d? ? ?ω + ? ? 3ω + 3 = 0 dt ? dt ?

θ = 900

? = 450

d? 1 = ω dt 2
? d 2θ d 2? ? 3 3 d 2θ ? dθ ? ? dθ d? ? cos θ? ? + + ? cos(θ ? ?)? ? ? ? sin(θ ? ?)? ? 2? sin θ 2 2 ? ? dt ? dt 2 2 ? dt ? ? dt dt ? ? dt d 2? ? d? ? + 3 cos ?? ? + 3 sin ? 2 = 0 dt ? dt ?
2 2 2

? d 2θ d 2 ? ? 3 3 d 2θ ? dθ ? ? dθ d? ? cosθ? ? + sin θ 2 ? 2? + ? cos(θ ? ?)? ? ? ? sin(θ ? ?)? 2 ? ? dt 2 ? dt ? ? dt dt ? ? dt dt ? 2 d 2? ? d? ? + 3cos?? ? + 3sin ? 2 = 0 dt ? dt ?
2

2

2

又: θ = 90 0

? = 450
2 2

dθ = ?ω dt
2

d? 1 = ω dt 2

d 2θ =0 2 dt

π ? 3ω ? π d? π ? ω? π d 2? ? cos ? ? ? + sin ? 2 + 3cos ? ? ? + 3sin ? 2 = 0 4 ? 4? 4 dt 4 ?2? 4 dt
2 d 2? ? 3ω ? d ? ? ω ? ? ? ? + 2 + 3? ? + 3 2 = 0 dt ? 4 ? dt ?2? 2 2

d 2? 3ω2 ? +4 2 =0 2 dt d2? 3ω2 = 2 dt 8

0 将 θ = 90

? = 450

dθ = ?ω dt

d? 1 = ω dt 2

d2? 3ω2 = 2 dt 8

d 2θ =0 2 dt

代入前面得到的表达式
2 2 ? d 2 xC d 2θ d 2? ? ? dθ ? ? d? ? = ?l ?cosθ ? ? + sin θ 2 + 2 cos ? ? ? + 2 sin ? 2 ? 2 dt dt dt ? ? dt ? ? dt ? ? ? ?
2 2 ? d 2 yC d 2θ d 2? ? ? dθ ? ? d? ? = l ? ? sin θ ? ? + cosθ 2 ? 2 sin ? ? ? + 2 cos ? 2 ? 2 dt dt dt ? ? dt ? ? dt ? ? ? ?

可得

d2 xc 5ω2L a cx = 2 = ? dt 8 d2 yc 7ω2L a cy = 2 = ? dt 8

? d x c ? ? d yc ? 84ω2 L a= ? ? dt 2 ? ? +? ? dt 2 ? ? = 7 ? ? ? ?
2 2

2

2

β = arctan

a cy a cx

= 54.46D

θ = 135 ? 54.46 = 85.54D

导数的其他应用:

q = q( t )

dq i= dt

Φ = Φ(t )

dΦ ε= dt

三、微



自变量 x 的微分:趋向于零的变化量 Δx ,记为 dx 函数 y = f ( x) 在点 x 处的微分:自变量由 x→x+dx 时函数 y 的变化量 dy 或 df ( x)

y

y = f (x) M L M0
α ?

dy = f ′(x)dx
dy = f ′(x) dx
o

T N

A

B

x

例如:

y = x3

dy = 3x 2dx
dy = ? sin 2xd(2x) = ?2 sin 2x dx

y = cos 2x

微分的应用:微元法

例.0.1mol单原子理想气体,经历图所示ABCA的循环过程, 求: (1)此过程中,气体所能达到的最高温度状态在何处? (2)从B到C过程中,气体从外界吸收的热量是多少?(不包 括放出的)

解: (1)可以求出直线方程
P = kV + β
k = ?5 ×107

β = 2 × 105 Pa
PV = γRT
Δ=0

kV 2 + βV ? γRT = 0
? β2 TH = T = = 240.7 K 4γkR

β 2 + 4γkRT = 0

β 2 ( VH + ) = 0 2k
β VH = ? = 2 × 10 ?3 m 3 2k

PH = kVH + β = 1 × 10 5 Pa
即最高温度点为BC中点。

(2) 根据热一定律,每一元过程 (P, V, T) → (P + dP, V + dV, T + dT) 中 dQ > 0 : 吸热 dE = dQ + dW = dQ ? PdV dQ < 0 : 放热

dQ = dE + PdV

3 3 3 dE = γ RdT = γ R [(T + dT ) ? T ] = [(P + dP )(V + dV ) ? PV ] 2 2 2
3 = ( PdV + VdP ) 2

对本过程

P = kV + β

(略去二阶小量)

dP = kdV

P + dP = k (V + dV ) + β

3 3 3 dE = (PdV + VkdV ) = [(kV + β )dV + VkdV ] = (β + 2kV )dV 2 2 2

3 ?5 ? dQ = dE + pdv = (β + 2kV )dV + (kV + β )dV = ? β + 4kV ?dV 2 ?2 ?

?5β 2 + 4kV > 0 ? ?5β 2 + 4kV < 0
k<0
?5β 2 > 4 k V ? ?5β 2 < 4 k V
5β ? ?3 3 V 2 . 5 10 m < = × ? 8k ? ? 5β ?V > = 2.5 × 10 ?3 m 3 8k ? ?

吸热 放热

吸热 放热 吸热 放热

V = VM = 2.5 × 10 ?3 m 3 是吸热与放热的转折点,M点压强为:

PM = kVM + β = 0.75 × 10 5 Pa

四、定 积 分
引例1:变速直线运动的路程: v = v( t )
t ∈ [ t1 , t 2 ]

s = ∑ v (t i )Δt
i =1

n

s = lim ∑ v (t i )Δt
Δt → 0 n → ∞ i =1

n

(面积)

引例2:变力的功

F = F(s)

s ∈ [s a , s b ]

W = ∑ F(s i )Δs
i =1

n

W = lim ∑ F(s i )Δs
Δt → 0 n → ∞ i =1

n

(面积)

4.1 定积分的概念
定 义 设 函 数 y = f ( x ) 在 [ a, b ] 上 有 定 义 , 任 取 分 点
a = x1 < x2 < x3 < " < xn?1 < xn = b ,分[ a, b] 为 n 个小区间
[ x i , x i +1 ] (i

= 1,2," , n) .记

Δx = x i +1 ? x i (i = 1,2, ", n),



∑ f (x
i =1

n

i

) Δ x 在 n → ∞ , Δ x → 0 的极限称为

f ( x ) 在 [ a , b ]上的定积分,记为:



b

a

f ( x )dx = lim ∑ f ( x i )Δx
Δx →0 i =1

n

(a, b称为积分下限和上限)

于是:

S = ∫ v( t )dt =========== V ? ( t b ? t a )
ta

tb

V是常量 ( 匀速直线运动)

W = ∫ F(s)ds ========= F ? (s b ? s a )
sa
外界对气体做功:

sb

F是常量 ( 恒力做功)

W = ∫ ? P(V )dV ========= ? P ? (V2 ? V1 )
V1

V2

P是常量 ( 等压过程)

定理(牛顿-莱布尼茨公式) 设函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续定义,若存在原函数 Φ (x) ,

dΦ ( x ) = f ( x) dx
则有

∫ f (x)dx = Φ(b) ? Φ(a) .
a

b

(1) f(x)称为被积函数 (2) 求定积分,先找原函数,然后求原函数在上、下 限之间的增量 (3) 求原函数的过程是求导数的逆过程 (4) 若
Φ ( x)

是f(x)的原函数,则Φ(x) + C也是f(x)的原函数

4.2 常见被积函数f(x)的原函数列表
被积函数f(x) c(常数) xn (n≠-1) 原函数 cx

x n +1 n +1

cosx sinx 1/x ex

sin x

? cos x
lnx

ex

4.3 定积分的性质
(1) (2)

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫
a

b

b

a

f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
a

b

∫ kf ( x)dx = k ∫
a

b

b

a

f ( x)dx ( k 为常数)

(3) 若 a < c < b ,则



b

a

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
a c

c

b



求定积分:



2

1

1 ( x + x ) dx

2

解:



2

1

2 2 1 1 2 ( x + x ) dx = ∫1 ( x + 2 + x2 )dx

1 5 x = ( + 2x ? ) = 4 . x 1 3 6
例13 求定积分:

3

2



π

0

cos θdθ

解:



π

0

π cos θdθ = sin θ |0 = sin π ? sin 0 = 0

4.4 定积分的应用
能用定积分计算的量U满足:
1 ) U 与某个量(记为 x )的变化区间 [ a , b ]有关
2 ) 对[a , b]的分割, U有相应的分割,且 U对此 分割 有可加性 : U = ∑ ΔU i;
i =1 n

3 ) x → x + dx区间上的部分量: dU = f ( x )dx

则 U = ∫ f ( x ) dx。
a

b

(1) 变速运动的位移

S = ∫ v( t )dt
ta

tb

例. 质点由静止绕半径为R=1m的圆轨道运动,其速率v和时 间t满足v=πt的关系,求质点绕圆周运动一周回到出发点时 的加速度大小.

R

解:

dv =π aτ = dt
T T 0 0

2πR = ∫ vdt = ∫

1 2T 1 2 πtdt = πt = πT 0 2 2

R =1

T=2

(秒)

质点绕圆周运动一周回到出发点时的速度大小

v = 2π (m/s)

v2 an = = 4π 2 (m/s 2 ) R
2 2 a = a2 + a = π 1 + 16 π n τ

(m/s 2 )

an tan α = = 4π aτ

α = arctan 4π

(2) 变力的功

W = ∫ F(s)ds
sa

sb

例.一截面呈圆形的细管被弯成大圆环,并固定在竖直平面内,在 管内的环底处有一质量为m、直径比管径略小的小球,小球上连有 一根穿过顶处管口的轻绳。在外力F作用下小球以恒定速率V沿管壁 作半径为R的匀速圆周运动,如图54所示。已知小球与管内壁中位 于大环外侧部分的动摩擦因数为 A点运动到B点过程中F做的功WF

μ ,而大环内侧部分的管内壁则是

光滑的,忽略大环内、外侧半径的差别,认为均为R。试求小球从

解: 1. 判断摩擦力情况 (1) 当

mv 2 mg ≤ R

即 v>

gR



整个ACB段管内壁外侧部分对小球 有向心的弹力,因而有摩擦力。
mv 2 N= + mg cos θ R

θ ∈ [0, π]
< gR 时,设D位置,重力径向分力等于向心力,有
v2 β = arccos gR

f = μN
2 mv (2) 当 mg > R

即v

mv 2 mg cos β = R
mv 2 N= + mg cos θ R

ACD段管内壁外侧部分对小球有向心的弹力,因而有摩擦力,DB 段则没有。

θ ∈ [0, π ? β]

f = μN

2.求WF
(1) 当 v >

gR 时

mv 2 N= + mg cos θ R

θ ∈ [0, π]

? mv 2 ? f = μN = μ? ? mg cos θ + R ? ? ? ?

WF = 2mgR + Wf = 2mgR + ∫ f ? dL
0

π

= 2mgR + ∫ μmgR cos θdθ + ∫
0

π

π

0

μmv 2 Rdθ R

(dL = Rdθ)

= 2 mgR + μπ mv

2

(2) 当

v < gR

时,

v2 θ ∈ [0, π ? β] β = ar cos gr

mv 2 + mg cos θ N= R
? mv 2 ? f = μN = μ? ? ? mg cos θ + R ? ? ?

WF = 2mgR + Wf = 2mgR + ∫

π ?β

0

f ? dL
π?β

= 2mgR + ∫

π?β

0

μmgR cos θdθ + ∫

0

μmv 2 Rdθ R

2 v π ?β = 2mgR + μmgR sin θ 0 + μmv 2 ? (π ? arccos ) gR

= 2mgR+ μmv2 ? (π ? β) + μmgRsinβ
2 2 ? ? v v 2 = 2mgR+ μmv ? (π ? arccos ) + μmgRsin? arccos ? ? ? gR gR ? ?

? 2 ? v2 2 2 4? = 2mgR+ μm?v ? (arccos ) + g R ? V ? gR ? ?

(3) 外界对气体的功

W = ∫ ? P(V)dV
V1

V2

例.如图所示,在一大水银槽中竖直插有一根玻璃管,管上端封闭,下 端开口.已知槽中水银液面以上的那部分玻璃管的长度L=76cm,管 内封闭有
γ = 1 × 10 ?3 mol 的空气,保持水银槽与玻璃管都不动而设法使

玻璃管内空气的温度缓慢地降低10℃(T2-T1= -10 ℃ ),问在此过程 中管内空气放出的热量为多少?已知管外大气的压强为76cmHg, 每摩尔空气的内能U=CvT,其中T为绝对温度,常量
R = 8.31 J ? (mol ? K)-1
CV = 20.5 J ? (mol ? K)-1

解:设玻璃管内空气柱的长度为h,大气压强为P0,管内空气 的压强为P,水银密度为 ρ ,重力加速度为g,由图可知

P + (L ? h )ρg = P0

P0 = Lρg
P = ρgh
V = Sh
W = ? ∫ pdv = ? ∫
V1 V2 V2

V P = ρg S
非等温、等压、等容过程
V1

ρg ρg 2 vdv = ( v1 ? v 2 2) S 2s
2



PV = γRT

V ρg = γRT S

W=

γR (T1 ? T2 ) 2

ΔE = γC V (T2 ? T1 )
W= γR (T1 ? T2 ) 2

Q = ΔE ? W 1 ? ? = γ (T2 ? T1 )? C V + R ? = ?0.247 J 2 ? ?
(负号表示放出热量)

ΔE = Q + W

(4) 转动惯量
单个质点绕某轴转动的转动惯量:

ρ

m

I = mρ 2
质点组绕某轴转动的转动惯量:

I = ∑ mi ρ
i =1

n

2 i

质量连续分布的刚体绕某轴转动的转动惯量:

I = ∫ ρ 2 dm

例. 均质细杆对过其一端的垂直轴Z的转动惯量 解:设均质细杆长 l,质量 为m,取微段 dx, 则
m dm = d x l

z O x l z1
l 2

dx

x

m 1 2 I z = ∫ x ? dx = mA 0 A 3
A 2

若垂直轴过中点,则
m 1 I z = ∫ x ? dx = mA 2 ?A 2 12 A
A2 2

C

x

dx

x

例.求均质薄圆环及薄圆盘对于中心轴的转动惯量
解:(1)设细圆环的质量为m,半径为R。则
I z = ∑ m i ρi2 = R 2 ∑ m i = mR 2

z
R

(2)设圆板的质量为m,半径为R,面密度为σ。将圆板分为无 数同心的薄圆环,对 r→r+dr处的一圆环,其转动惯量为
y
dI z = r 2 dm = r 2 ? σ2πrdr
dr

r

R

x
I z = ∫ r dm = 2πσ∫
2 0 R R 0

r4 R R 4 mR 2 = r dr = 2πσ |0 = πσ 4 2 2
3

例. 一根质量均匀分布的弹簧质量为m,长为L,劲度 系数为K,求该弹簧竖直悬挂时由于自重而引起的 伸长量。
解: 弹簧的线密度为:

mg λ= L
L k dx
λx mgx = dx 2 k ′ kL
L

x处dx段弹簧的劲度系数: k ′ =

x处dx段弹簧的伸长量为: dL′ =
ΔL = ∫

弹簧串并联

整个弹簧的伸长量为:

0

dL′ = ∫

L

0

mgx mg dx = 2 2 kL kL



L

0

mg xdx = 2k

例. (2005预赛)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为a,竖直 放置的金属细圆柱(其半径比a小得多)的端面与金属圆环的上表 面在同一水平面内,圆柱的细轴通过圆环的中心O,一质量为m、 电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑,棒的一端有小 孔套在细轴O上,另一端A可绕轴线沿圆环做圆周运动,棒与圆环 的动摩擦因数为μ,圆环处于磁感应强度大小为B=Kr、方向竖直 向上的恒定磁场中,式中K为大于零的常量,r为场点到细轴的距离。 金属细圆柱与圆环用导线ed连接,不计棒及轴与细圆柱端面间的摩 擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场。问 沿垂直于棒方向以多大的水平力作用于棒的A端才能使棒以角速度 ω匀速转动。
注:

(x + Δx )3 = x 3 + 3x 2 Δx + 3x (Δx ) 2 + (Δx )3

解I:将整个导体棒分割成n个小线元,小线元端点到轴线的距离 分别为r0(=0),r1,r2,……,ri-1,ri,……,rn-1,rn(= a),第i个 线元的长度为 Δri = ri ? ri ?1 ,当 Δri 很小时,可以认为该线元上各点 的速度都为 v i = ω ri ,该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

ΔE i = Bvi Δri = Kri ωri Δri = Kωri2 Δri

E = ∑ ΔE i = Kω∑ ri2 Δri
i =1 i =1

n

n

(r + Δr)

3

= r + 3r Δr + 3r(Δr) + (Δr)
3 2 2
2

3

1 r Δr = [(r + Δr ) 3 ? r 3 ] 3
n 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 E = Kω∑ (ri ? ri ?1 ) = Kω[(r1 ? r0 ) + (r2 ? r1 ) + "" + (rn ? rn ?1 )] = Kωa 3 3 3 3 i =1

Kωa 3 I= = R 3R

E

导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反.
第i个线元 Δri 受到的安培力为

Δf Ai = BIΔri = Kri IΔri

作用于该线元的安培力对轴线的力矩
n n 2 i

ΔM i = Δf Ai ? ri = KIri2 Δri

n 1 1 3 3 M = ∑ ΔM i = KI∑ r Δri = KI∑ (ri ? ri ?1 ) = KIa 3 3 i =1 3 i =1 i =1

K 2 ωa 6 M= 9R
因棒A端对导体圆环的正压力为mg/2,所以摩擦力为

1 M μ = μmga 2

μ mg ,对轴的摩擦力矩为 2

力矩平衡:

Fa = M + M μ

K 2 ωa 5 1 + μmg F= 9R 2

解II. 采用积分的办法求解

dε = Bvdr = Krωrdr = Kωr 2 dr
1 1 3 a ε = ∫ Kωr dr = Kωr = Kωa 3 0 0 3 3
a 2

ε Kωa 3 I= = R 3R

df A = BIdr = KrIdr = Kωrdr
dM = df A ? r = KIr 2 dr
1 M = ∫ KIr dr = KIa 3 0 3 μmga 力矩平衡: Fa = M + 2
a 2

K 2 ωa 6 M= 9R
K 2 ωa 5 1 + μmg F= 9R 2

例. 电量为+q的粒子,以角速度 ω 做半径为R的匀速 圆周运动,求在圆心处产生的磁场.

解I.用运动电荷产生的磁场公式求解

π qV sin μ0 μ 0 qω 2 B= = 2 4π R 4π R
方向:垂直纸面向外

解II.用环行电流磁场公式求解

ω q 等效环行电流 I = = q T 2π
μ0I B= 2R

μ 0 qω B= 4πR

例. 一个半径R为的塑料薄圆盘,电量+q均匀分布其 上,圆盘以角速度ω绕通过盘心并与盘面垂直的轴 匀速转动。求圆盘中心处的磁感应强度。

+ + + + + +q + + +o + + + + + ω

解: 带电圆盘转动形成圆电流,取距盘心 r 处宽度为dr 的圆环
作圆电流,电流强度:

ω q ω qr d r dI = 2π r d r = 2 2π π R πR 2
μ0 d I dB = 2r

μ 0ω q B= 2 2 πR



R

0

μ 0ω q dr = 2 πR

++ + + + + + +o + + + + + ω

dI +

例.(2005复赛)一个用绝缘材料制成的扁平薄圆环,其内、外半径分别为 a1、a2,厚度可以忽略.两个表面都带有电荷,电荷面密度随离开环心距离
σ0 σ ( r ) = r变化的规律均为 r 2 ,σ0 为已知常量.薄圆环绕通过环心垂直环面的

轴以大小不变的角加速度β减速转动,t = 0时刻的角速度为ω0.将一半径 为a0 (a0<<a1)、电阻为R并与薄圆环共面的导线圆环与薄圆环同心放置.试 求在薄圆环减速运动过程中导线圆环中的张力F与时间t的关系. 提示:半径为r、通有电流I的圆线圈(环形电流),在圆心处产生的磁感应 I 强度为 B = k (k为已知常量) r

解I: 用半径分别为r1(>a1),r2,…,ri,…,rn–1(<a2)的n-1个同心圆把塑料 薄圆环分割成n个细圆环.第i个细圆环的宽度为 Δri = ri ? ri ?1 ,其环带面积

ΔSi = πri2 ? π(ri ? Δri ) = 2 πri Δr ? π(Δri )
2

2

≈ 2 πri Δri
该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为

Δq i = 2σΔS i =

2σ 0 ri2

4πσ 0 Δri 2 π ri Δri = ri

设某时刻,细圆环转动的角速度为ω, 环带中的环行电流

Δq i ω 2ωσ 0 Δri ΔI i = = Δq i = T 2π ri

Δω =β Δt

圆环的电流在环心产生的磁感应强度

ΔI i 2ωσ 0 Δri =k ΔBi = k ri ri2

Δri

是一个微小量,注意到 ri ri ?1 = ri (ri ? Δri ) ≈ ri ,有
2

Δri ri ? ri ?1 1 1 = = ? 2 ri ri ?1 ri ?1 ri ri
?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 Δri 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? B = ∑ ΔBi =2kωσ 0 ∑ 2 = 2kωσ 0 ?? ? ? + ? ? ? + " + ? ? ? ri ? rn ?1 a2 ?? ?? a1 r1 ? ? r1 r2 ?

2kωσ 0 (a 2 ? a1 ) B= a1 a 2
导线圆环所在小区域的磁场是匀强磁场,磁通量为

2kωσ 0 (a 2 ? a1 ) 2 Φ = BS = πa 0 a1 a 2

导线环产生的感应电动势的大小
2 2 β Δ ω 2 k σ 0 ( a 2 ? a 1 ) πa 0 Δ Φ 2 k σ 0 ( a 2 ? a 1 ) πa 0 = ε= = a 1a 2 Δt a 1a 2 Δt

导线环感应电流为

2 β ε 2kσ 0 (a 2 ? a 1 ) πa 0 I= = R a 1a 2 R

半圆环受到的安培力为: F = 2BIa 0
设张力为T,有

2T = F

2 2 ? 4k 2 σ 0 πa 3 ( a a ) 0 2 1 β (ω0 ? βt ) T = BIa 0 = 2 2 a1 a 2 R

解II:

设某一时刻角速度为ω

2σ 0 4πσ 0 dq = 2σ 2πrdr = 2 2πrdr = dr r r 2σ 0ω dq 4πσ 0 ω = ? dI = dr = dr 2π T r r kdI 2kσ 0ω dB = = dr 2 r r a2 a2 2kσ ω a2 dr 1 a2 2kσ 0ω (a2 ? a1 ) 0 = B = ∫ dB = ∫ dr = 2kσ 0ω ∫ 2 = ?2kσ 0ω 2 a1 a1 a1 r r r a1 a1a2
2kωσ 0 (a 2 ? a1 ) 2 Φ = BS = πa 0 a1 a 2
2 β dΦ 2kσ 0 (a2 ? a1 ) 2 dω 2kσ 0 (a2 ? a1 ) πa0 ε= = πa0 = dt a1a2 dt a1a2

2 β ε 2kσ 0 (a 2 ? a 1 ) πa 0 I= = R a 1a 2 R

F = 2BIa 0
2T = F

2 2 ? 4k 2 σ 0 πa 3 ( a a ) 0 2 1 β (ω0 ? βt ) T = BIa 0 = 2 2 a1 a 2 R


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