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四川成都石室中学07-08下学期高一数学期末考试


下学期高一数学期末考试
说明:本试卷分第 I 卷第 II 卷两部分。第 I 卷 60 分,第 II 卷 90 分,共 150 分,答题时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的, 请把正确选项填在题后的括号内) 1.函数 y ? sin

( 2 x ? A. x ? ?

?
2

5 ? ) 的一条对称轴方程是 2
B. x ? ?





?

4

C. x ? ?

?
8

D. x ?

5? 4
( )

2.若向量 a ? (1,1), b ? (1,?1), c ? (?1,2),则c 等于 A. ?

1 3 a? b 2 2

B.

1 3 a? b 2 2

C.

3 1 a? b 2 2

D. ?

3 1 a? b 2 2
( )

3.已知 sin ? ? cos ? ? A.

3 4

1 , ? ? (0, ? ), 则 cot ? 等于 5 3 3 B.— C. ? 4 4

D.—

4 3

4.△ABC 中,∠A,∠B 的对边分 a,b,且 ?A ? 60? , a ? 6, b ? 4 ,那么满足条件的△ ABC A.有一个解 ( B.有两个解 C.不能确定 D.无解 ( ) )

5.已知非零向量 a 与 b 不共线,则 (a ? b) ? (a ? b)是 | a |?| b | 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

6.化简

sin 2002? sin 2008? ? cos6 ? 的结果是 sin 2002? cos 2008? ? sin 6 ?
?





A. tan 28

B.— tan 28

?

C. ? cot 28

?

D. cot 28

?

7. 已知向量 a ? (cos? , sin ? ),向量b ? ( 3,?1)则 | 2a ? b | 的最大值, 最小值分别是 (



A. 4 2 ,0

B. 4,4 2

C.16,0

D.4,0

8. 为了得到 y ? f (?2x)的图象 , 可以把函数 y ? f (1 ? 2x)的图象按向量 a进行平移 , 则a 等于 A. (1,0) B. (—1,0) C. ( ,0) ( )

1 2

D. ( ?

1 ,0 ) 2
( )

9.如图,在 ?ABC 中, BD ?

1 1 a? b 2 4 1 1 C. a ? b 3 3
A.

1 DC , AE ? 3ED , 若 AB ? a, AC ? b, 则BE = 2 1 1 B. ? a ? b 2 4 1 1 D. ? a ? b 3 3

? ?( x ? 1) 2 ( x ? 1) ? 10.设函数 f ( x) ? ?2 x ? 2(?1 ? x ? 1),已知f (a) ? 1, 则a 的取值范围是 ?1 ? ? 1( x ? 1) ?x
1 ,?? ) 2 1 C. (?? ,?2) ? (? ,1) 2
A. (?? ,?2) ? (?

( 2 0 0 8 0 8 0 4



1 1 , ) 2 2 1 D. ( ?2,? ) ? (1,?? ) 2
B. ( ?

11.函数 y ? sin(?x ? ? )(x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ?





? ?
2

6 5? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 4 4 4

,? ?

? ?
4

B. ? ?

?

?

3

,? ?

?

12. 已知函数 f ( x) ? ?4 sin x ? 4 cos x ? 1 ? a, 若关于 x的方程 f ( x) ? 0在区间[?
2

? 2?
4 , 3

]

上有解,则 a 的取值范围是 A.[—8,0] B.[—4,5] C.[—3,5]

( D.[ ? 3,2 2 ? 1 ]



第Ⅱ卷(选择题,共 60 分)

2 二、 填空题: (每小题 4 分, 共 16 分, 把正确答案填写在题中的横线上, 或按题目要求作答) 。 0 1 2 13.已知 0 ? 2a ? 1, 若A ? 1 ? a , B ? 0 ,则 A 与 B 的大小关系是 。 18 ?a 0 14.已知函数 f ( x)是R上的减函数 , A(0 ,?3), B(?2,3) 是其图象上的两点,那么不等式 8 0 | f ( x ? 2) |? 3 的解集是 。 4 15. 在 ?ABC中,已知AB ? m, (m为定值)?C ? 55? , 当∠B= 时, BC 的开取得最大值。

16.在△ABC 中,A(—1,1) ,B(3,1) ,C(2,5) ,角 A 的内角平分线交对边于 D,则 向量 AD 的坐标等于 。

三、解答题: (共 74 分,要求写出必要的文字说明、重要演算步骤,有数值计算的要明确写 出数值和单位,只有最终结果的不得分) 17. (本题满分 12 分) 已知 a ? (1,0),b ? (2,1). (I)求 | a ? 3b | ; (II)当 k 为何实数时, k a ? b与a ? 3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

18. (本题满分 12 分)

1 ? x ? 0, sin x ? cos x ? . 2 5 (I)求 sin x ? cos x 的值; x x x x 3 sin 2 ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值。 (II)求 tan x ? cot x
已知 ?

?

19. (本题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? a ? b, 其中向量 a ? (2 cos x,1),b ? (cosx, 3 sin 2x), x ? R. (I)若 f ( x) ? 1 ? 3且x ? [?

? ?

, ], 求x ; 3 3

(II)若函数 y ? 2 sin 2 x的图象按向量 c ? (m, n)(| m |? 的图象,求实数 m、n 的值。

?
2

) 平移后得到函数 y ? f ( x)

20. (本题满分 12 分) 在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 为 ( 3 ? 1) 海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°方向距离 A 为 2 海里的 C 处有我方一艘辑私艇奉命以 10 3 海里/小 时的速度追截走私船, 此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向偏东 30°方向逃窜, 问辑私艇沿什么方向,才能最快追上走私船?需要多少时间?

21. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c,设 a、b、c 满足条件

b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 和

c 1 ? ? 3 , 求?A和 tan B 的值。 b 2

22. (本题满分 14 分) 某港口水深 y(米)是时间 t (0 ? t ? 24, 单位 : 小时)的函数, 记作y ? f (t ) ,下面 是某日水深的数据 t(小 时) 0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.1 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0

y(米) 10.0

经长期观察: y ? f (t )的曲线可近似看成函数 y ? A sin ?t ? b的图象( A ? 0,? ? 0) (I)试根据以上数据,求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (II) 一般情况下, 船舶航行时, 船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的 (船 舶停靠时,船底只需不碰海底即可) 。 某船吃水深度 (船底离水面的距离)为 6.5 米, 如果该船希望在同一天(0:00~24:00)内安全进出港,请问:它至多能在港内停 留多长时间(忽略进出港所需的时间)?

参考答案
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分。 1—5 ABBDC 6—10 CDCBC 11—12CB 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分

2 0 0 8 0 8

13.A<B

14. ?? ?,0? ? ?2,???

15.35°

16. (

32 16 , ) 9 9

三、解答题 17. (本题满分 12 分) 解: (I) a ? 3b ? (1,0) ? 3(2,1) ? (7,3),?| a ? 3b |? (II) k a ? b ? k (1,0) ? (2,1) ? (k ? 2,?1) 设 k a ? b ? ? (a ? 3b),即(k ? 2,?1) ? ?(7,3),

7 2 ? 3 2 ? 58 …………6 分

1 ? k?? ? k ? 2 ? 7 ? ? 1 ? 3 ?? ?? .故k ? ? 时,它们反向平行 …………12 分 3 ?? 1 ? 3? ?? ? ? 1 ? 3 ?
18. (本题满分 12 分) 解法一: (I)由 sin x ? cos x ?

1 1 , 平方得 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? cos 2 x ? , 5 25

即2 sin x cos x ? ? 又? ?

24 49 . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 25 25

?
2

? x ? 0,? s i n x ? 0, c o s x ? 0, s i n x?c o s x ? 0,

7 ………………6 分 5 x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (II) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x
故 sin x ? cos x ? ? .

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) ? (? 12 1 108 ) ? (2 ? ) ? ? . 25 5 125
………………12 分

1 ? ?sin x ? cos x ? , 解法二: (I)联立方程 ? 5 2 2 ?sin ? cos x ? 1. ?
由①得 sin x ?

① ②

1 ? cos x, 将其代入 ②,整理得 25cos2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0 , 5

3 ? sin x?? , ? 3 4 ? ? 5 ?c o s x ? ? 或c o s x ? . ? ? ? x ? 0,? ? 4 5 5 2 ?c o s x? . ? 5 ?
7 ………………6 分 5 x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 2 2 2 (II) tan x ? cot x x 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 ? sin x cos x ? cos x sin x
故 sin x ? cos x ? ? .

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? . 5 5 5 5 125
19. (本题满分 12 分) 解: (I)依题设, f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ?
2

………………12 分

?
6

).

由1 ? 2 sin(2 x ? ??

?
6

) ? 1 ? 3 , 得 sin(2 x ?

?
6

)??

3 . 2

?
3

?x?

?
3

,? ?

?
2

? 2x ?

?
6

?

5? ? ? ,? 2 x ? ? ? , 6 6 3

即x ? ?

?
4

. ………………6 分

( II )函数 y ? 2 sin 2 x的图象按向量 c ? (m, n)平移后得到函数 y ? 2 sin 2( x ? m) ? n 的 图象,即函数 y ? f ( x) 的图象 由(I)得 f ( x) ? 2 sin 2( x ?

?
12

? 1). ?| m |?

?
2

,? m ? ?

?
12

, n ? 1. …………12 分

20. (本题满分 12 分) 解:如图,设需要 t 小时追上走私船。

? BC 2 ? AC 2 ? AB 2 ? 2 AC ? AB cos CAB ? 2 2 ? ( 3 ? 1) 2 ? 2 ? 2 ? ( 3 ? 1) cos 120 ? ? 6,

? BC ? 6 , ………………4 分
在?CBD中, ?CBD ? 120? cosCBD ? BC 2 ? BD 2 ? DC 2 6 ? 100t 2 ? 300t 2 ? 2 ? BC ? BD 2 6 ? 10t

整理, 得100t 2 ? 5 6t ? 3 ? 0,
解得 t ?

6 6 (舍去) 。 ………………8 分 或t ? 10 20

DC BD 10 3t 10t ? ,? ? . ? sin CBD sin DCB sin 120 sin DCB 解得?DCB ? 30?. 又? 答 : 沿北偏东60? 追击, 需
21. (本题满分 12 分) 解法一:由余弦定理 cos A ?
?

6 小时.?????12分 10
b2 ? c2 ? a2 1 ? , 2bc 2

因此, ?A ? 60 ………………4 分 在△ABC 中, ?C ? 180 ? ?A ? ?B ? 120 ? ?B.
? ?

由已知条件,应用正弦定理:

c sin 120? cos B ? cos120? sin B 3 1 1 ? ? cot B ? ? ? 3 …………8 分 b sin B 2 2 2
解得 cot B ? 2, 从而 tan B ? 解法二:由余弦定理 cos A ?

1 . 2

………………12 分

b2 ? c2 ? a2 1 ? ,因此, ?A ? 60? ,…………4 分 2bc 2

由b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 , a c c 1 1 15 得( ) 2 ? 1 ? ( ) 2 ? ? 1 ? ? 3 ? 3 ? ? 3 ? . b b b 4 2 4
所以

a 15 ? . b 2

① ………………8 分

由正弦定理 sin B ?

b 2 3 1 sin A ? ? ? . a 15 2 5
2

, 于是 cos B ? 1 ? sin B ? 由①式知 a ? b, 故?B ? ?A,因此?B为锐角
从而 tan B ?

2 15

,

sin B 1 ? . cos B 2

………………12 分

22. (本题满分 14 分) 解: (I)由已知数据,易知 y ? f (t )的周期为 T ? 12 ,

2? ? ? . T 6 ? A ? b ? 13, ? A ? 3, 由已知, 振幅? 得? ?? A ? b ? 7, ?b ? 10. ?? ?
? y ? 3 sin

?
6

t ? 10 . ………………7 分

(II)由题意,该船进出港时,水深应不小于 5+6.5=11.5(米) ,

? 3 sin

?
6

t ? 10 ? 11.5, 即sin

?t

1 ? . 6 2

5 t ? 2k? ? ? . 6 6 6 ?12k ? 1 ? t ? 12k ? 5(k ? z ). ? 2k? ? ? 在同一天内取 k ? 0或1,?1 ? t ? 5或13 ? t ? 17,
故该船可在当日凌晨 1 时进港,17 时出港,它在港内至多停留 16 小时 …………14 分。

?

?


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