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高二数学选修2-1


曲线与方程及 求方程的曲线

1

引入
两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线 的方程是 x ? y ? 0 . 这就是说:
y

如果点M(x0 ,y0)是这条直线上的任意 一点,它到两坐标轴的距离一定相等, 即 x0 = y0,那么它的坐标(x0 ,y0)就 是方程 x-y=0 的解; 反过

来,如果(x0 ,y0)是方程 x-y=0 的解,即x0 = y0,那么以这个解为坐标 的点到两轴的距离相等,它一定在这条 平分线上。 这样,我们就说 x-y=0是这条直线的方程, 这条直线叫做方程 x-y=0的直线。

x? y ?0

o

x

2

新课

曲线与方程的关系
一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建 立了如下关系:
1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; 2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做 方程的曲线。
3

说明
(1)“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是说 曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外 纯粹性

(2)“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上” 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏 完备性

由曲线与方程的定义可知,如果曲线C的 方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0)在 曲线C 上的 充要条件是 f(x0,y0)=0 .
4

认识概念
例1 判断下列结论的正误并说明理由 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线为x=3 对 (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=2 错 (3)到两坐标轴距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1 错 变式训练:写出下列半圆的方程
y 5 5 y y 5 -5 -5 x -5 5 5x y

-5

0

5 x -5

0

5 x

5

条件甲:“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0 的解”, 条 件 乙 : “ 曲 线 C 是 方 程 f (x , y)=0 的 曲 线 ” , 则 甲 是B 的 乙 ( ) (A)充分非必要条件 (C)充要条件 (B)必要条件 (D)非充分也非必要条件

若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0 ”是正确的, 则下列命题中正确的是( D ) (A)方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C (B)坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 (C)方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C

(D)曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部
6

问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?
法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求.

1 7 ? (?1) 解:∵ k AB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 又∵线段 AB 的中点坐标是 ( , ) 即(1,3) 2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0
──需要掌握一般性的方法
7

问题 1.设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7),求线段 AB 的垂直平分线的方程. 我们的目标就是要找x与y的关系式
解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
则 |MA|=|MB|
2 2

需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件
2 2

坐标化 ∴ ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴ x2 ? 2 x ? 1 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? 6 x ? 9 ? y 2 ? 14 y ? 49 化简
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点 的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解;

∴ x ? 2 y ? 7 ? 0 (Ⅰ)

证明

⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 ∵上面变形过程步步可逆,∴ ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? ( x1 ? 3)2 ? ( y1 ? 7) 2 M 1 A ? M 1B

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 8 . 0 1 方法小结

求曲线方程的基本步骤:
1.建立适当的直角坐标系,并用坐标表示点;
2.设出曲线上任意一点M的坐标;

3.写出适合条件p的点M的集合P={M/p(M)};
4.用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0

5.化方程f(x,y)=0为最简形式;
6.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线 上。

9

第一种方法运用现成的结论当然快,但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性. 求曲线的方程可以这样一般地尝试,注意其中的步骤:
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y ) ;

√ √ 2.写出适合条件 P 的几何点集: P ? √ √ √

?M

P ( M )? ;

3.用坐标表示条件 P( M ) ,列出方程 f ( x, y ) ? 0 ; 4.化简方程 f ( x, y ) ? 0 为最简形式; 5.证明(查漏除杂).

以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ... . .. . .
课本例
10

例 1 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方 ,它上面的 每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系 ,求这条曲线的方程 .

y
(0,2) F.
0

.M
B

( x, y)

l

x
11

例2、动点M与距离为2a的两个定点A,B的连线 的斜率之积等于-1/2,求动点M的轨迹方程。
解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线

为y轴,建立平面直角坐标系,则A(-a,0),B(a,0)。
M .

.

.
B

A

设M(x,y)是轨迹上的任意一点,则 y y kMA ? ,k M B ? , ? ?a) (x x?a x?a 1 y y 1 ?kMA ? kMB ? ? , ? ? ?? . 2 x?a x?a 2 化 简 , 得:x2 ? 2y2 ? a2 (x ? ?a)

(1)

由上可知,动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程 (1);容易证明,以方程(1)的解为坐标的点都在轨 迹上。所以,方程(1)就是动点M的轨迹方程。 12

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

建立坐标系 设点的坐标

限(找几何条件) 代(把条件坐标化

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

化简

13

思考:( P

活用几何性质来找关系

37 如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y

练习第 3 题)

B

思维漂亮!

M
0

( x, y ) C
A

?

x
14

x 2 ? y 2 ? 1. 例3、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O:
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数

? (? ? 0),

求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
y

M

N 0 Q

x

15

例3、求抛物线 y ? x 2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? 1(m ? R) 的顶 点的轨迹方程。

16


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