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《一般形式的柯西不等式》参考教案2


3.2 一般形式的柯西不等式
教学目的(要求) :使学生认识二维柯西不等式及其证明; 培养学生用维柯西不等式的技能,从而发展学生的思维能力。 教学重点(难点) :维柯西不等式的应用。 教学过程: 一、 温故
2

1、定理 1: (二维形式的柯西不等式)若 a, b, c, d ? R, 则 ? a 2 ? b2 ?? c 2 ? d 2

? ? ? ac ? bd ? ,当且仅 当 bc ? ad 时取等号 2、变式:若 a, b, c, d ? R, 则
a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ac ? bd

?a

2

? b2 ?? c2 ? d 2 ? ? ac ? bd

显然当 a2 ? b2 ? 1, c2 ? d 2 ? 1 时, ac ? bd ? 1 3、定理 2: (柯西不等式的向量形式)设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? 当且仅当 ? , ? 中有一个是零向量或存在实数 k 使得 ? ? k ? 时,等号成立。 4、定理 3、 (二维形式的三角形不等式)设 x1 , x2 , x3 , y1, y2 , y3 ? R ,那么
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ?

?x
?

1

? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2 2

2

? x1 ? x3 ? ? ? y1 ? y3 ?
2

2

? x2 ? x3 ? ? ? y2 ? y3 ?

2

?

?x

1

? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

5、配凑的思想 二、 新课:推广柯西不等式

1、由柯西不等式的向量形式:设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? 这里 ? , ? 是平面向量,若 ? , ? 为空间向量呢, 构造向量 ? ? ? a1 , a2 , a3 ? , ? ? ? b1 , b2 , b3 ? , 设 ? , ? 间的夹角为 ? , 则仍有 ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? ? 即 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ?

?a

2 1

? a32 ? a32 ??b12 ? b22 ? b32 ?
2

所以 ? a12 ? a32 ? a32 ?? b12 ? b2 2 ? b32 ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 当且仅当 ai ? kbi ?i ? 1,2,3? 时取等号
1/4

2、归纳推理: n 维上的柯西不等式:

?a

2 1

? a32 ?

? an 2 ?? b12 ? b2 2 ?

? bn 2 ? ? ? a1b1 ? a2b2 ?

anbn ?

2

证明:回顾前面的证法 视 A ? a12 ? a32 ?

? an2 , C ? b12 ? b22 ?

? bn2 , B ? a1b1 ? a2b2 ?

anbn

则不等式为 B 2 ? AC 构造二次函数 y ? Ax2 ? 2Bx ? C 即 f ? x ? ? ? a12 ? a2 2 ? 当 a1 ? a2 ? 当 a1 , a2 ,
? an 2 ? x 2 ? 2?a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn ?x + ? b12 ? b2 2 ? ? bn 2 ?

? an ? 0 或 b1 ? b2 ?

? bn ? 0 时不等式显然成立

, an 至少有一个不等于 0 时, a12 ? a22 ?
2 2 2

? an2 ? 0

而 f ? x ? ? ? a1 x ? b1 ? ? ? a2 x ? b2 ? ?

? ? an x ? bn ? ? 0 恒成立。
2

所以其 ? ? 4 ?a1b1 ? a2b2 ? ?? an bn ? -4 a1 ? a2 ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn
2 2 2 2 2

?

??

2

?? 0

得: a1 ? a2 ? ? ? an b1 ? b2 ? ? ? bn

?

2

2

2

??

2

2

2

? ? ?a b ? a b
1 1

2 2

? ?? an bn ?

2

当且仅当 f ? x ? 有唯一零点时, ? ? 0 以上不等式取等号。 此时有唯一的实数 x 使得 ai x ? bi ? 0 ?i ? 1, 2, 若 x ? 0 ,则 bi ? 0 ?i ? 1, 2,

, n?

, n? ,不等式成立
, n?

1 若 x ? 0 ,则 ai ? ? bi ? kbi ? i ? 1, 2, x

综上当且仅当 bi ? 0 ?i ? 1, 2, 推测正确

, n? 或 ai ? kbi ?i ? 1, 2,

, n? 时不等式取等号。

3、定理:一般形式的柯西不等式: 设 a1, a2 ,

an ; b1, b2 ,

, bn ? R
? bn 2 ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? anbn ?
2

则 ? a12 ? a32 ?
n 2 n 2

? an 2 ?? b12 ? b2 2 ?
2

? n ? 即 ? ak ? bk ? ? ? ak bk ? k ?1 k ?1 ? k ?1 ?
当且仅当 bi ? 0 ?i ? 1, 2,

, n? 或 ai ? kbi ?i ? 1, 2,

, n? 时不等式取等号。
2/4

4、思考:一般形式的三角形不等式及其证明
2 a12 ? a2 ? 2 2 ? an ? b12 ? b2 ? 2 ? bn ?

?a

1

? b1 ? ? ? a2 ? b2 ? ?
2 2

? ? an ? bn ?

2

4、柯西不等式的应用: 例 1、已知 a1 , a2 ,

an ? R ,求证:

1 ? a1 ? a2 ? n

? an ? ? a12 ? a2 2 ?
2

? an 2

证明:套用柯西不等式
? 2 2 ? 2 2 2 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? a1 ? a2 ? n个 ? ? ? an 2 ? ?1? a1 ? 1? a2 ?
? an ?
2

? 1? an ?

2

所以 n ? a12 ? a2 2 ? 即
1 ? a1 ? a2 ? n

? an 2 ? ? ? a1 ? a2 ?
2

? an ? ? a12 ? a2 2 ?

? an 2 原式得证。

例 2、若 a, b, c, d 是不全相等的正数,证明 a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cb ? da 证明:配凑柯西不等式

?a

2

? b 2 ? c 2 ? d 2 ?? b 2 ? c 2 ? d 2 ? a 2 ? ? ? ab ? bc ? cb ? da ?

2

因为 a, b, c, d 是不全相等,所以
2

a b c d ? ? ? 不能成立, b c d a
2

所以 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ? ? ? ab ? bc ? cb ? da ? 即 a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ab ? bc ? cb ? da

? a b c ?? b c a ? 练习讨论:若 a, b, c, d 是正数,求证: ? ? ? ?? ? ? ? ? 9 ? b c a ?? a b c ?

证明:
2 2 2 2 2 2 ? a ? ? b ? ? c ? ?? ? b ? ? c ? ? a ? ? ? a b c ?? b c a ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? b? ? ?? ? c? ? ?? ? a? ? ?? ? ? a? ? ?? ? b? ? ?? ? c? ? ? ? b c a ?? a b c ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ?1 ? 1 ? 1? ? 9
2

例 3、已知 x ? 2 y ? 3z ? 1, 求 x2 ? y 2 ? z 2 的最小值。 解:配凑柯西不等式得

?x

2

? y 2 ? z 2 ??12 ? 22 ? 32 ? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ? 1
2

1 14 x y z 1 1 3 1 当且仅当 ? ? 即 x ? , y ? , z ? 时 x2 ? y 2 ? z 2 取最小值 1 2 3 14 7 14 14

所以 x 2 ? y 2 ? z 2 ?

3/4

例 4、把一条长是 m 的绳子截成三段,各围成一个正方形,怎样截法,才能使这三个正方形的 面积最小? 解:设截得的三段长分别为 x, y, z ,则 x ? y ? z ? m

1 ? x? ? y? ? z? 则三个正方形的面积和为: S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 16
因为, ? x 2 ? y 2 ? z 2 ??12 ? 12 ? 12 ? ? ? x ? y ? z ? ? m2
2

2

2

2

当且仅当 x ? y ? z ? 所以 S min 答:

m 时取等号 3

1 2 m2 2 2 ? ? x ? y ? z ? 有最小值 16 48

选用:例 5、已知 a1 , a2 ,

, an 都是正实数,且 a1 ? a2 ?

? an ? 1

a2 a2 求证: 1 ? 2 ? a1 ? a2 a2 ? a3
证明:由柯西不等式得:

an?12 an 2 1 ? ? ? an?1 ? an an ? a1 2

1 左边= ? ? a1 ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? 2?

? ? an ?1 ? an ? ? ? an ? a1 ? ? ?

?? a1 ? ?? ?? a ?a ?? 1 2
? 1? ? 2?

? ? a2 ? ?? ? ? a ?a ? ? 2 3

2

? ? a3 ? ?? ? ? a ?a ? ? 3 4

2

? ? ? ? ?

2

? an ?1 ?? ? a ?a ? n ?1 n

? ? an ? ?? ? ? a ?a 2 ? ? n
2

2

? ? ? ?

2

? ? ? ?

?

a1 ? a2

? ??
2

a2 ? a3

?

2

?

?

?

an ?1 ? an

? ??
2

an ? a1

?

?? ? ?
2

?? a1 ? ?? ?? a ?a ?? 1 2

? ? a2 ? ?? ? ? a ?a ? ? 2 3

2

? ? a3 ? ?? ? ? a ?a ? ? 3 4

2

? ? ? ? ?

2

? an ?1 ?? ? a ?a ? n ?1 n

? ? an ? ?? ? ? a ?a 2 ? ? n

? ? ? ?

2

? ? ? ?

?

a1 1 ?? ?? a1 ? a2 ? 2 ?? a1 ? a2 ??

? ? a2 ? ? ? a2 ? a3 ? ? ? a2 ? a3 ? ?

? ? a1 ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? a1 ? a2 ? ? ?? ?? ?? ??

? ?? ? ?

? an?1 ? ? an ?1 ? an ? ? an ?1 ? an ?
? 1 ? a1 ? a2 ? 2 ? an ? ?
2

? ? an ? ? ? an ? a1 ? ? ? an ? a1 ? ?

1 2

所以原式得证
4/4


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