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湖北省武汉市部分重点中学2013-2014学年高一上学期期末考试 数学理试题 Word版含答案


湖北省武汉市部分重点中学 2013-2014 学年度上学期高一期末考试

数 学 试 卷 (理)
命题人:武汉四十九中 唐宗保 审题人:洪山高中 胡仲武 全卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1、已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
2

A. {x | x ? 1}
2、函数 f ( x) = 3

B. {x | x ? 3}

C. {x |1 ? x ? 3}

D. {x | ?1 ? x ? 1}

A.

? 2

x ? tan( ? ) , x ? R 的最小正周期为 2 4
B. ? C. 2? D. 4?

3、如果偶函数 f ( x) 在 [3,7] 上是增函数且最小值是 2,那么 f ( x) 在 [?7,?3] 上是

A. 减函数且最小值是 2 C. 增函数且最小值是 2 4、函数 f ( x) ? 2 x ? tan x 在 (?

B.. 减函数且最大值是 2 D. 增函数且最大值是 2 .

? ?

, ) 上的图像大致为 2 2

3 ? ? x) ? ,则 cos( x ? ) ? 3 5 6 3 4 3 4 A. B. C. ? D. ? 5 5 5 5 5? 6、 函数 y=sin(2x+ )图象的一条对称轴方程是: 2
5、已知 sin(

?

A. x ? ?

?

2

B. x ? ?

?

4

C. x ?

?

8

D. x ?

5? 4

7、在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由 4 个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为
-1-

? ,大正方形的面积是 1 ,小正方形的面积是
A.1 B. ? 7 25 C. 7 25

1 , 则 sin 2 ? ? cos2 ? 的值等于 25
高考

D. ? 24 25

8.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? 向右平移

?
2

则将 y ? f ( x) 的图象 ) 的部分图象如图示,

? 个单位后,得到的图象解析式为 6
B. y ? cos 2 x

A. y ? sin 2 x C. y ? sin(2 x ? 9.给出以下命题:

2? ) 3

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

①若 ? 、 ? 均为第一象限角,且 ? ? ? ,且 sin? ? sin ? ; ②若函数 y ? 2 cos? ax ?

? ?

??

1 ? 的最小正周期是 4? ,则 a ? ; 3? 2

sin 2 x ? sin x ③函数 y ? 是奇函数; sin x ? 1
④函数 y ?| sin x ?

1 | 的周期是 ? 2

⑤函数 y ? sin x ? sin | x | 的值域是 [0,2] 其中正确命题的个数为: A. 3 B. 2

C. 1

D. 0

10. 如图,点 P 从点 O 出发,分别按逆时针方向沿周长均为 24 的正三角形、正方形运动一 周, O, P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系分别记为 y ? f ( x), y ? g ( x) , 定义函数 h( x ) ? ?

? ? f ( x) ,f ( x ) ≤ g ( x ), 对于函数 y ? h( x) ,下列结论正确的个数是 g ( x ) , f ( x ) ? g ( x ) . ? ?

PO O
① h(8) ? 2 10 ; ;

PO O

②函数 h( x ) 的图象关于直线 x ? 12 对称; ④函数 h( x ) 在区间 (0,) 10 上单调递增. C.3 D.4

2 13 ? ③函数 h( x ) 值域为 ? ?0 , ?

A.1

B.2

-2 -

第Ⅱ卷(非选择题
11、 sin 480 ? tan 300 的值为________.
? ?

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

12、已知 sin(? ?

?

1 ? ) ? , ? ? (? , 0), 则 tan ? 的值为________. 2 3 2

13、定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x∈R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当 x ? (?2,0) 时, f ( x ) ? 2 x , 则 f (2013) ? ________. 14 、如图所示 , 为了研究钟表与三角函数的关系 , 建立如图所示的坐标系 , 设秒针针尖位置

P( x, y ) 若初始位置为 P0 (

3 1 , ) ,当秒针从 P0 (注此时 t ? 0 ) 2 2

正常开始走时 , 那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为 ________.
2 2 2 15、 关于 x 的方程 ( x ? 1) ? x ? 1 ? k ? 0 恰有 8 个不同的实

根,则 k 的取值范围是________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 12 分) (Ⅰ)化简;.

1 ? 2 sin 20 ? cos 20 ? sin 160 ? ? 1 ? sin 2 20 ?



(Ⅱ)已知 ? 为第二象限角,化简 cos?

1 ? sin ? 1 ? cos? ? sin ? . 1 ? sin ? 1 ? cos?

17 、 (本题满分 12 分) 已知全集为 R ,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为集合 A ,集合

B ? {x | x( x ? 1) ? 6} ,
(Ⅰ)求 A U B, A ? (C R B) ; (Ⅱ)若 C ? {x | ?1 ? m ? x ? 2m} , C ? ( A ? (C R B)) ,求实数 m 的取值范围. 18、 (本题满分 12 分)已知 cos( x ? (Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin(2 x ?

?
4

)?

2 ? 3? , x ? ( , ). 10 2 4

?
3

) 的值.

-3-

19、 (本题满分 13 分)已知 f ( x) ?

3 sin 4 x ? (sin x ? cos x) 2 ? 3 cos4 x

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小值及取最小值时 x 的集合; (Ⅱ)求 f ( x) 在 x ? [0,

?
2

] 时的值域;

? ? (Ⅲ)在给出的直角坐标系中,请画出 f ( x) 在区间 [? , ] 上的图象(要求列表,描点) . 2 2

20、 (本题满分 13 分)在边长为 10 的正方形 ABCD 内有一动点 P , AP =9,作 PQ ? BC 于

Q , PR ? CD 于 R ,求矩形 PQCR 面积的最小值和最大值,并指出取最大值时 P 的具体位
置。

21、 (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5 (a ? 1),
2

(Ⅰ)若 f ( x) 的定义域和值域均是 [1, a ] ,求实数 a 的值;

-4-

(Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (??, 2] 上是减函数,且对任意的 x ? [1, a ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 ,求实 数 a 的取值范围;

(? , 1) 且 对 任 意 的 x ? [0, 1] , 都 存 在 x0 ?[ 0 , 1] ( Ⅲ ) 若 g ( x) ? 2 ? l o2g x ,使得
x

f ( x0 ) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

湖北省武汉市部分重点中学 2013-2014 学年度上学期高一期末考试

数 学 试 卷 (理)
一、选择题 1 C 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 B 8 D 9 D 10 D

二.填空题 11、 ?

3 2

12、 ?2 2

、13、

1 2

14、 y ? sin(?

?
30

t?

?
6

)

15、 (0, )

1 4

三、解答题 16、解: (Ⅰ)原式=

1 ? 2 sin 20? cos 20? cos 20 ? ? sin 20? = = ?1 sin 20? ? cos 20? sin 20? ? cos 20?

……6 分

(Ⅱ)解:原式= cos?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? cos? ) 2 ? sin ? cos2 ? sin 2 ?

?co? s

1? s i n ? 1? c o ? s | ?s i n ? |co? s |s in ?|

?co? s ?0

1? c o ? s 1? c o ? s ?s in ? ?c o? s s in ?

……6 分 ……2 分

17.解:(1)由 1 ? x ? 0 得,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域 A ? ?x | x ? 1?

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,得 B ? {x | x ? 3或x ? ?2}
∴ A ? B ? ?x | x ? 1或x ? 3?,

……4 分 ……5 分 ……6 分

C R B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,? A ? (C R B) ? ?x | ?2 ? x ? 1?
(2) C ? ?x | ?2 ? x ? 1?, ①当 C ? ? 时,满足要求,此时 ? 1 ? m ? 2m ,得 m ? ?1 ;

……8 分 ……10 分

?? 1 ? m ? 2 m ? ②当 C ? ? 时,要 C ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 ?? 1 ? m ? ?2 , ?2 m ? 1 ? 1 解得 ? 1 ? m ? ; 2 1 由①②得, m ? 2
-6-

……11 分 ……12 分

(没有讨论 C ? ? ,扣 2 分) 18、 (1)因为 x ? (

? 3?
2 4 ,

), 所以 x ?

?

sin x ? sin[( x ? ) ? ] ? sin( x ? ) cos ? cos( x ? )sin 4 4 4 4 4 4
? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
(2)因为 x ? (

?

?

? ? 7 2 ? ? ? ( , ) ,于是 sin( x ? ) ? 1 ? cos 2 ( x ? ) ? 4 4 10 4 4 2

?

?

?

?

? 3?
,

4 3 ). 故 cos x ? ? 1 ? sin 2 x ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 5 5 2 4

sin 2 x ? 2sin x cos x ? ?
所以中 sin(2 x ?

24 7 .cos 2 x ? 2cos 2 ? ?1 ? ? . 25 25

?
3

) ? sin 2 x cos

?
3

? cos 2 x sin

?
3

??

24 ? 7 3 . 50
4分 5分

19、解:化简得 f ( x) ? 2 sin(2 x ? (1) 最小值为 ? 1

?
3

) ?1

x 的集合为 {x | x ? k? ?
(2)当 x ? [0,

?
12

, k ? Z}

6分 9分

?
2

] 时, 2 x ?
3

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

] , f ( x) ? [? 3 ? 1,3]

? (3)由 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ?1 知
2x ?

?
3

?

4? 3

??
?

?

? 2

0

? 2
5? 12

2? 3

x
f ( x)

?

? 2

? 3

?

?
12

? 6
1

? 2
3 ?1

3 ?1

1

?1

3

11 分

? ? 故 f ( x) 在区间 [? , ] 上的图象如图所示. 2 2
y 3

3 ?1

2

1

?

7? ? 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 2 12 3 4 6 12

O?

12

? ? ? 5? ? 7? 6 4 3 12 2 12

x

13 分

?1

-7-

20.解:连结 AP ,延长 RP 交 AB 于 H ,设 ?HAP ? ? ,则 PH ? 9 sin? , AH ? 9 cos? 设矩形 PQCR 的面积为 y ,则

y ? PR ? PQ ? ?10 ? 9 sin? ??10 ? 9 c o ? s? ? 100 ? 90?sin? ? cos? ? ? 81sin? cos? ………………………….4 分

t 2 ?1 设 sin? ? cos? ? t ,则 sin? cos? ? 2
又t ?

?? ? ? ?? 2 sin?? ? ? , ? ? ? 0, ? 4? 2? ? ?

?1 ? t ? 2

?y?

81t 2 119 ? 90t ? 2 2
81 ? 10 ? 19 ? ?t ? ? ? 2? 9? 2
2

( 1 ? t ? 2 )……………………8 分

10 ? 1, 2 9 10 19 ?当 t ? 时, y min ? 9 2

?

?

?

10 分

当 t ? 2 时, y max ? 此时, 2 sin(? ?

281 ? 180 2 2

?
4

) ? 2 ,又

?
4

?? ?

?
4

?

?? ?

?
4

3? 4

………………………………………………………….13 分
2 2 2

21.解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ? ( x ? a) ? (5 ? a ) ∴ f ( x) 在 (??, a ] 上单调递减,又 a ? 1 ,∴ f ( x) 在 [1, a ] 上单调递减, ∴?

? f (1) ? a ? 1 ? 2a ? 5 ? a , ∴? 2 , ∴a ? 2 2 ? f (a) ? 1 ? a ? 2a ? 5 ? 1

4分 ∴a ? 2

(Ⅱ)∵ f ( x) 在区间 (??, 2] 上是减函数, ∴ (??, 2] ? (??, a] ∴ |1 ? a |?| (a ? 1) ? a | , f (1) ? f (a ? 1)

-8-

∴ x ? [1, a ? 1] 时, f ( x)max ? f (1), 又∵对任意的 x ? [1, a ? 1] ,都有 f ( x) ? 0 , ∴ f (1) ? 0 , 即 1 ? 2a ? 5 ? 0 ,
x

∴a ? 3

8分

(Ⅲ)∵ g ( x) ? 2 ? log 2 ( x ? 1) 在 [0,1] 上递增, f ( x) 在 [0,1] 上递减, 当 x ? [0,1] 时, g ( x) ?[1,3] , f ( x) ? [6 ? 2a, 5] ∵对任意的 x ? [0, 1] ,都存在 x0 ? [0, 1] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x) 成立; ∴ [1,3] ? [6 ? 2a, 5] ∴ 6 ? 2a ? 1

a?

5 2

13 分

-9-


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