当前位置:首页 >> 数学 >> 高考一轮复习直线、圆与方程

高考一轮复习直线、圆与方程






高三 直线、圆与方程 胡居化

学科

数学

内容标题 编稿老师

一、学习目标:
1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的 点斜式、斜截式、截距式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程.

2. 掌握两条直线平行与垂直的条件,根据直线的方程判断两条直线的位置关系,掌握 两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 3. 掌握圆的标准方程与一般方程形式;并能根据已知条件确定圆的方程,掌握判断点 与圆、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的方法. 4. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

二、重点、难点:
重点:1. 直线的倾斜角、斜率,求直线方程. 2. 求圆的方程.直线与圆、圆与圆的位置关系的判断及应用. 难点:直线和圆的方程的综合应用及利用直线与圆的知识解决一些简单的问题;

三、考点分析:
新课标高考对直线方程与圆的方程知识的考查以基础知识为主, 从近几年的新课标高考 命题来看,考查知识点主要是直线的倾斜角、斜率、直线方程的五种形式 、求圆的方程、 直线与圆、圆与圆,点与圆位置关系的判断及应用,考查的题型大多是客观试题,题目难度 在中等以下,但考查的知识点相对灵活.

一、直线的倾斜角、斜率、直线方程的形式 1. 直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条 直线的倾斜角,倾斜角的范围是 .

(2)直线的斜率:设直线的倾斜角为 ?,则k ? tan? ?

y 2 ? y1 ? , (? ? ) x2 ? x1 2

(3)倾斜角与斜率的关系:倾斜角存在,斜率未必存在,斜率存在,倾斜角一定存在. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜截式、一般式. (1)点斜式:y-y0=k(x-x0). (2)斜截式:y=kx+b.
第 1 页 版权所有 不得复制

(3)两点式: (4)截距式:

y ? y1 x ? x1 = . y 2 ? y1 x 2 ? x1

x y + =1. a b

(5)一般式:Ax+By+C=0. 二、两条直线的位置关系的判断. 1. 设直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , (2) l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 2. 设直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (1) l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1且B1C2 ? B2 C1 , (2) l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 三、点到直线距离及两平行直线的距离的公式 1. 点到直线的距离公式:设点 P( x 0 , y 0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0, P 到 l 的距离为 d , 则有 d ? 2.

l2 : y ? k 2 x ? b2

(1) l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2

Ax 0 ? By 0 ?C A2 ?B 2

.

两 条 平 行 线 间 的 距 离 公 式 : 设 两 条 平 行 直 线

l 1 : Ax ? By ?C 1 ? 0,l 2 : Ax ? By ?C 2 ? 0(C 1 ?C 2 ) , 它 们 之 间 的 距 离 为 d , 则 有

d?

C 1 ?C 2 A2 ?B 2

.

注 1:直线系方程: (1)与直线:Ax+By+C= 0 平行的直线系方程是:Ax+By+m=0.( m?R, C≠m). (2)与直线:Ax+By+C= 0 垂直的直线系方程是:Bx-Ay+m=0.( m?R) (3)过定点(x1,y1)的直线系方程是: 注:该直线系不含 l2. 注 2:关于点对称和关于某直线对称: (1)点关于直线对称: A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B 不全为 0)

(4)过直线 l1、l2 交点的直线系方程: (A1x+B1y+C1)+λ( A2x+B2y+C2)=0 (λ?R)

第 2 页 版权所有

不得复制

设直线 l : Ax ? By ? C ? 0( B ? 0.), P( x0 , y0 )关 于 直 线 l的 对 称 点 P ' ( x1 , y1 )

? A y 0 ? y1 ? ? ? ?1 ? B x0 ? x1 ? 则有: ? ?求 出 x1 , y1 ? A ? x0 ? x1 ? B ? y 0 ? y1 ? C ? 0 ? 2 2 ?
(2)直线关于直线对称: 设 l1 : ax ? by ? c ? 0, l : Ax ? By ? C ? 0( B ? 0) ,求 l1 关于 l 对称的直线 l 0

(i) l1与l的交点P在直线l0 上。 (ii) l1 上任意一点 Q( x0 , y0 ) 关于 l 的对称点在 l 0 上. 注:①曲线、直线关于一直线对称的解法: y 换 x,x 换 y. 例:曲线 f(x ,y)=0 关于直线 y=x–2 对称的曲线方程是 f(y+2 ,x –2)=0. ②曲线 C: f(x ,y)=0 关于点(a ,b)对称的曲线方程是 f(2a – x, 2b – y)=0. 四、圆的方程 1. 圆的标准方程:圆的标准方程是 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . 注:特殊圆的方程: ①与 x 轴相切的圆的方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?b 2 ②与 y 轴相切的圆的方程 ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?a 2 ③与 x 轴、y 轴都相切的圆方程 ( x ? a) 2 ?( y ? a) 2 ?a 2 2. 圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时 , 方 程 表 示 一 个 圆 , 其 中 圆 心 C ? ?

[r ? b , 圆心(a, b)或(a,?b)]
[r ? a , 圆心(a, b)或(?a, b)]

[r ? a , 圆心(?a,?a)]

? D E? ,? ? , 半 径 2? ? 2

r?

D 2 ? E 2 ?4 F . 2

第 3 页 版权所有

不得复制

当 D 2 ? E 2 ?4 F ? 0 时,方程表示一个点 ? ?
2 2

? D E? ,? ? . 2? ? 2

当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程无图形(称虚圆). 注:①圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos? ( ? 为参数). ? y ? b ? r sin?

② 方 程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 : B ? 0 且 A ? C ? 0 且

D 2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 .
③圆的直径方程:已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则以 AB 为直径的圆的方程是:

( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
3. 点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的判断 (1)点与圆的位置关系:给定点 M ( x 0 , y 0 ) 及圆 C : ( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 . ① M 在圆 C 内 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ② M 在圆 C 上 ? (x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 ③ M 在圆 C 外 ? ( x 0 ?a) 2 ?( y 0 ?b) 2 ?r 2 (2)直线与圆的位置关系的判断: 几何法:设圆 C : ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ; 直线 l : Ax ? By ? C ? 0( A 2 ? B 2 ? 0) ; 圆心 C (a, b) 到直线 l 的距离 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ?B 2

.

① d ? r 时, l 与 C 相切;② d ? r 时, l 与 C 相交; ③ d ? r 时, l 与 C 相离.
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 ? 两式相减所得为公切线方程. 附: (i)若两圆相切,则 ? 2 2 ? ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0

(ii)公共弦方程:设

有两个交点,

则其公共弦方程为 ( D ? D ) x ? ( E ? E ) y ? ( F ? F ) ? 0 . 1 2 1 2 1 2 (iii)若两圆相离,则 ? 线的中垂线方程.
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F 1? 0 2 2 ? ?x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2? 0

? 两式相减所得为圆心 O 1 O 2 的连

? ?( x ? a) 2 ?( y ? b) 2 ?r 2 代数法:方程组 ? 用代入法,得关于 x (或 y )的一元二次方程, ? ? Ax ? Bx ? C ? 0
其判别式为 ? ,则: ? ? 0 ? l 与 C 相切; ? ? 0 ? l 与 C 相交; ? ? 0 ? l 与 C 相离. 4. 圆与圆的位置关系的判断(两圆的半径分别为 r1、r2,圆心距为 d)

第 4 页 版权所有

不得复制

(a)外离 ? d>r1+r2 (b)外切 ? d=r1+r2, (c)相交 ? │r1-r2│<d<r1+r2 (d)内切 ? d=│r1-r2│ (e)内含 ? 0≤d<│r1-r2│(其中 d=0,两圆同心) 5. 圆的切线方程: (1)过圆上一点的切线方程(只有一条)
2 2 ( i )过圆的一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为:

x0 x ? y0y ? D

x ?x 0 y ?y0 ?E ?F ? 0. 2 2

(ii)圆的标准方程:若点(x0 ,y0)在圆上,则过此点的切线方程为: (x – a) (x0 – a) +(y – b) (y0 – b)=r2 特别地,过圆 x 2 ? y 2 ?r 2 上一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ?r 2 . (2)过圆外一点的圆的切线方程(有两条) :

? y 1 ? y 0 ? k ( x1 ? x 0 ) ? b ? y 1 ?k (a ? x 1 ) ,联立求出 k ? 切线方 若点 A(x0 ,y0)在圆外,圆心为(a,b) ,则 ? ?R ? R 2 ?1 ?

程. 注:若通过上述方法求出的只有 k 的值,则另一条切线的斜率不存在,其切线方程是

x ? x0 .

知识点一:直线的倾斜角、斜率、直线方程 例 1. 下列命题中是真命题的为________. 1. 经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示; 2. 经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) 、P2(x2,y2)的直线都可以用方程 (x2-x1) (x-x1)=(y2-y1) (y-y1)表示;

第 5 页 版权所有

不得复制

3. 不经过原点的直线都可以用方程

x y + =1 表示; a b

4. 经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示; 5. 经过点 A(1,2)且在两轴上截距相等的直线方程只有 x ? y ? 3 【思路分析】根据点斜式、两点式、截距式、斜截式等直线方程的特点进行判断. 【解题过程】对命题 1,命题 4,其方程不能表示倾斜角是 90° 的直线,对命题 3,当直线平 行于一条坐标轴时,则直线在该坐标轴上的截距不存在,故不能用截距式方程表示直线;对 命题 5,经过点 A 和原点的直线在两轴上的截距都是 0,也满足条件,故命题 5 错.只有命 题 2 是正确的. 【解题后的思考】要清楚:点斜式、斜截式直线方程不能表示斜率不存在的直线,即垂直于 x 轴的直线;两点式、截距式直线方程不能表示垂直于坐标轴的直线. 例 2. 根据下列条件求直线方程 (1)两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,且过两点 Q1(a1,b1) 、 Q2(a2,b2) (a1≠a2). (2)直线过 P(3,2)且与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点 【思路分析】 (1)由点 P(2,3)在已知两直线的交点上,观察直线方程求解. (2)设直线方程为

y x + =1,用 a,b 表示△AOB 的面积 S ,利用基本不等式求解.或 a b

设直线为: y ? 2 ? k ( x ? 3), (k ? 0) ,求 S ? f (k ) ,求函数取得最小值时 k 的值. 【解题过程】 (1)∵点 P(2,3)在已知两直线的交点上,则 ?

?2a1 ? 3b1 ? 1 ? 0 ,显然 Q1(a1,b1) 、 ?2a 2 ? 3b2 ? 1 ? 0

Q2(a2,b2) (a1≠a2)在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 上,即所求的直线为 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 (2)设直线方程为 解得 ab≥24, S△AOB= -12=0. 【解题后的思考】求直线方程时,要针对已知条件选取恰当的直线方程的形式求解.这五种 形式的直线方程所表示的直线各有其适用范围,解题时应注意不要丢解. 例 3. 1. 已知直线 l1 : x ? y sin ? ? 1 ? 0, l 2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 , ? 取何值时? (1) l1 // l 2

6 y 2 x 3 + =1,a>0,b>0,代入 P(3,2)得 + =1≥2 , ab b a b a

1 2 3 b 1 b ab≥12, 此时 = ? , ∴k=- =- .∴所求直线方程为 2x+3y 2 2 2 3 a a

(2) l1 ? l2
(1)求入射光线所在的直线方程;

2. 光线从点 A(?2, 4) 射出,经直线 l : 2 x ? y ? 7 ? 0 反射,反射光线过点 B(5,8) .

第 6 页 版权所有

不得复制

(2)求光线从 A 到 B 经过的路程 S .

【思路分析】 1. 由 l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1且B1C2 ? B2 C1 , l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 建立关于

? 的等式.
2. 先求 B 点关于直线 l 对称的点 B , 由入射光线的反向延长线过点 B , 可求入射光线 所在的直线方程. 【解题过程】1. 由 l1 : x ? y sin ? ? 1 ? 0, l 2 : 2 x sin ? ? y ? 1 ? 0 得:
' '

A1 ? 1, A2 ? 2 sin ? , B1 ? sin ? , B2 ? 1 ,C1 ? ?1, C2 ? 1 ,

l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0且B1C2 ? B2C1 ? 2 sin 2 ? ? 1且sin? ? ?1,
? sin ? ? ?

? 2 ? ? ? k? ? (k ? z ) , 4 2

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ? sin ? ? 0 ? ? ? k? (k ? z) ,
2. 设点 B 关于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的对称点是 B' ( x0 , y0 ) .

? 5 ? x0 8 ? y0 2? ? ?7 ? 0 ? 2 2 ? ∴? ,解之得 x0 ? 9, y0 ? 6 ,∴ B' (9,6) . y ? 8 1 ? 0 ?? 2 ? ? x0 ? 5
(1)放入射光线所在的直线方程即 AB 的直线方程为: 2 x ? 11y ? 48 ? 0 .
'

(2)设入射光线与直线 l 交于点 N ,则 A, N , B 共线. ∴ S ?| AN | ? | BN |?| AN | ? | B' N |?| AB' |? 5 5 . 【解题后的思考】 应用两直线的位置关系求参数的值的问题是常见的题型, 要注意使用条件 判断.即利用:设直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,

'

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 , l1 // l 2 ? A1 B2 ? A2 B1且B1C2 ? B2 C1 这一条件判断较好,
第 7 页 版权所有 不得复制

可避免讨论. 例 4. 已 知 三 条 直 线 l1 : mx ? y ? m ? 0 , l 2 : x ? my ? m(m ? 1) ? 0 , l 3 :

(m ? 1) x ? y ? (m ? 1) ? 0 ,当 m? R 时它们围成 ?ABC .
(1)求证:不论 m 取何值时, ?ABC 中总有一个顶点为定点; (2)当 m 取何值时, ?ABC 的面积取得最大值、最小值?并求出最大值、最小值.

【思路分析】 (1)由题给直线证明有两条直线都过同一定点. (2)把 ?ABC 的面积 S 表示为 m 的函数,利用函数求最值. 【解题过程】 (1)证明:将直线 l1 :mx-y+m=0 化为 m(x+1)-y=0,则直线 l1 经过定点 (-1,0) ,将直线 l 3 : (m+1)x-y+(m+1)=0 化为 m(x+1)+(x-y+1)=0,则直线 l 3 经过定点 (-1, 0) .则直线 l1 、l 3 都过同一个定点 (-1, 0) , 由于直线 l1 、l 3 的交点是△ABC 的一个顶点,故△ABC 中总有一个顶点为定点. (2)设 l1 、 l 3 的交点为 A(-1,0) ,直线 l1 、 l 2 的交点为 B,直线 l 2 、 l 3 的交点为 C (如图) ,则点 A 到直线 l 2 的距离为

h?

? 1 ? m ? 0 ? m(m ? 1) 1 ? m2

=

m2 ? m ? 1 1 ? m2

=

m2 ? m ? 1 1 ? m2

.

? mx ? y ? m ? 0 由? ? x ? my ? m(m ? 1) ? 0
即 B( 由?

m ? x? 2 ? ? m ?1 解得 ? 2 ?y ? m ? m ? m2 ? 1 ?

m 1 ,? 2 +m+1). m ?1 m ?1
2

? x ? my ? m(m ? 1) ? 0 ?(m ? 1) x ? y ? (m ? 1) ? 0

解得 ?

? x?0 即 C(0,m+1). ? y ? m ?1
不得复制

第 8 页 版权所有

所以, BC ?

(

m 2 1 1 . ) ? (? 2 ) 2 ? m ?1 m ?1 m2 ? 1
2

于是,△ABC 的面积 S = ∵ m ? 1 ≥2|m|,
2

1 m 1 m2 ? m ?1 1 BC ? h = ? ) = (1 ? 2 2 2 2 m ?1 2 m ?1

1 , m ?1 2 m 1 1 1 3 ? [? , ] ,从而 S∈[ , ]. ∴ 2 2 2 4 4 m ?1 1 3 令 S= ,则 m=-1;令 S= ,则 m=1. 4 4 3 所以,当 m=1 时,△ABC 有最大面积 ;当 m=-1 时,△ABC 4 1 有最小面积 . 4

2

m



【解题后的思考】解含有参数的直线通过的定点的问题,常把直线方程化为:

? f ( x, y ) ? 0 求出定点坐标. 参数? f ( x, y) ? g ( x, y) ? 0 的形式,再利用 ? ? g ( x, y ) ? 0
知识点二:圆的方程;直线、圆与圆的位置关系. 例 5. 根据下列条件求圆的方程 已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 相外切, 并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,? 3) .

【思路分析】设圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .根据已知的三个条件建立关于 a,b,r 的
2 2 2

方程组,从而求 a,b,r 的值. 【解题过程】设圆 C 的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆心为 ( a, b) ,半径是 r ,圆
2 2 2

,半径是 1,直线 x ? 3 y ? 0 的斜率是 ? x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 的圆心坐标是 A(1,0)

3 , 3

第 9 页 版权所有

不得复制

?b ? 3 ? 3 ? ?a ? 4 ?a ? 0 ? a?3 ? ? ? 2 2 则 ? ( a ? 1) ? b ? 1 ? r ? ?b ? 0 或?b ? ?4 3 , ? ?r ? 2 ?r ? 6 ? a ? 3b ? ? r ? ? 2 ?
所以圆 C 的方程为 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4或x 2 ? ( y ? 4 3) 2 ? 36. 【解题后的思考】确定圆的方程的关键是确定圆心(a,b)及半径 r、或确定 D,E,F.要根据已 知条件确定是选择圆的方程的一般式或标准式.通法是:对已知中圆过不在一条直线上三个 点求圆的方程都采用一般式,利用待定系数法确定 D、E、F.对于其他条件都采用标准式. 同时,要注意平面几何中圆的性质的应用.简化运算. 例 6. 已知 m ? R , 直线 l : mx ? (m 2 ? 1) y ? 4m 和圆 C : x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 16 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 斜率 k 的取值范围; (Ⅱ)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧?为什么? 2

【思路分析】 (1) 由直线 l : mx ? (m 2 ? 1) y ? 4m 得出斜率 k ? f (m) ,利用判别式或基本不等式求 k 的范围. (2) 假设直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为 若存在,结论成立,若不存在,结论不成立. 【解题过程】 (Ⅰ)方法一:

1 的两段圆弧, 由此探求 m 值是否存在, 2

k?

m ,?km2 ? m ? k ? 0(?) , m ? R , ∴当 k≠0 时 ? ≥ 0 ,解得 m ?1
2

1 1 ? ≤ k ≤ 且 k≠0,又当 k=0 时,m=0,方程 (?) 有解,所以,综上所述得 k 的取值范围: 2 2 1 1 ? ≤k ≤ . 2 2

第 10 页 版权所有

不得复制

方法二: (i )当 m=0 时,k=0 (ii) 当 m ? 0 时, | k |?

|m| ? | m | 2 ?1

1 |m|?
1 1 , ] 2 2

1 |m|

?

1 1 1 ? ? ? k ? 0或0 ? k ? 2 2 2

综合(i) (ii)知 k 的取值范围是 [ ?

(Ⅱ)假设直线 l 能将圆 C 分割成弧长的比值为 则直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点

1 的两段圆弧. 2

∴∠ACB=120° .∵圆 C : ( x ? 4)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ∴圆心 C(4,-2)到直线 l 的距离为 1. 故有

4m ? 2(m 2 ? 1) ? 4m m ? (m ? 1)
2 2 2

? 1 ,整理得 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 .

∵ ? ? 52 ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,∴ 3m4 ? 5m2 ? 3 ? 0 无实数解.即 m 的值不存在. 因此直线 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为

1 的两段圆弧. 2

【解题后的思考】 解分式函数的值域问题可采用基本不等式法或判别式法, 利用判别式法求 解时应注意参数在二次项系数中的位置,要讨论参数是否为零,不可漏解.利用基本不等式 法求解时应注意基本不等式使用的条件.

例 7. 已知圆 C: ( x ? 4) ? y ? 4 ,圆 D 的圆心 D 在 y 轴上,与圆 C 外切,圆 D 与 y
2 2

轴交于 A,B 两点,定点 P 的坐标是 P(-3,0) 1. 若 D(0,3),求 ?APB 的正切值. 2. 当点 D 在 y 轴上运动时,求 tan ?APB 的最大值.

第 11 页 版权所有

不得复制

【思路分析】 (1) ?APB 的正切值是直线 PB 的斜率,根据两圆的位置关系求出圆 D 的半径,从而 确定 A,B 两点的坐标.

?OPB ? ?OPA) 表示 tan ?APB . (2)利用 tan?APB ? tan(
【解题过程】 (1) 圆 C: ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 4 的圆心 C (-4,0) , 半径 r=2, 圆 D 的圆心 D (0,3) , 故|CD|=5.

?圆D的半径r ? 3 ,此时? A(0,0) , B(0,6) ,? tan?APB ? k BP ? 2
(2)设 D(0,a) ,圆 D 的半径是 r,由圆 C 与圆 D 相外切得: 16 ? a ? (r ? 2)
2 2

此时 A(0, a ? r ) , B(0, a ? r ) ,故 tan ?OPA ? k PA ?

a?r a?r , tan ?OPB ? k PB ? 3 3

a?r a?r ? 6r 3 3 tan?APB ? tan(?OPB ? ?OPA) ? ? 2 ??(*) a ? r a ? r a ? r2 ? 9 1? ? 3 3 6r 6r 2 2 把 a ? (r ? 2) ? 16代入(*)得: tan?APB ? ? 2 2 (r ? 2) ? 16 ? r ? 9 4r ? 3
? 3 9 3 12 ? ,? (r ? 2) 2 ? 16 ? a 2 ? 16 ? r ? 2 ? 8r ? 6 ? 10 ? ? tan ?APB ? 2 8r ? 6 2 5

故 tan ?APB 的最大值是

12 . 5

【解题后的思考】 有关圆与圆的位置关系的问题, 掌握其位置关系的判断方法是解题的关键, 即相离 ? d>r1+r2 外切 ? d=r1+r2,相交 ? │r1-r2│<d<r1+r2,内切 ? d=│r1-r2│,内含

? 0≤d<│r1-r2│(其中 d=0,两圆同心.)对于求简单的分式函数的最值的问题,应首先考
虑用基本不等式法、分离常数法等数学思想方法去解决.

直线与圆的方程在新课标高考中以考查基础知识为主,从近几年新课标高考的试题来 看, 对直线方程知识的考查出现的题型多是选择题、 填空题.题目难度小.因此掌握直线的倾 斜角、 斜率、 直线方程的形式等基础知识很关键.对圆的方程的基础知识的考查多以选择题、 填空题的形式出现,题目难度较小,故掌握好圆的方程的形式、点与圆、直线与圆、圆与圆
第 12 页 版权所有 不得复制

的位置关系等基础知识点就能获得高分,当然圆的知识也会与其他知识综合起来考查.如与 向量、轨迹、圆锥曲线等综合.解此类问题的关键仍是在掌握基础知识的前提下,灵活运用 数学思想和方法解决,如数与形结合思想的应用等.

(答题时间:50 分钟)
一、选择题 1. 已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m =( A. 0 B. ?8 C. 2 D. 10 ) C. x ? 2 y ? 5 ) D. x ? 2 y ? 5 2. 已知 A(1, 2) , B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A. 4 x ? 2 y ? 5 B. 4 x ? 2 y ? 5
2 2



3.由点 P(1,3) 引圆 x ? y ? 9 的切线的长是 ( A. 2 B.

C. 1 D. 4 19 4. 三直线 ax ? 2 y ? 8 ? 0,4 x ? 3 y ? 10,2 x ? y ? 10 相交于一点,则 a 的值是( A. ? 2 B. ? 1 C. 0 D. 1



5. 已知两圆的方程是 x 2 ? y 2 ? 1和 x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 9 ? 0 ,那么两圆的位置关系是 ( ) A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切 ( ) B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) 6. “a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A. 充分而不必要条件 C. 充要条件
2 2

7. 圆 x ? y ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有 公共点的充要条件是 ( .. A. k ? (? 2, 2) C. k ? (? 3, 3) 二、填空题

B. k ? (??, ? 2) ? ( 2, ??) D. k ? (??, ? 3) ? ( 3, ??)

8. 经 过 圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的 圆 心 C , 且 与 直 线 x ? y ? 0 , 垂 直 的 直 线 方 程 是 ________________. 9. 直线 l 与圆 Cx2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M (0,1) ,则直线 l 的方程为
2 2



10. 已知圆 C: x ? y ? 2x ? ay ? 3 ? 0 (a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2 =0 对称的点都在圆 C 上,则 a= 三、解答题 11. 已知圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 , 问是否存在斜率为 1 的直线 l , 使直线 l 被圆
2 2



C 截得的弦为 AB ,且以 AB 为直径的圆经过原点,若存在,写出直线 l 的方程,若不存在, 请说明理由.

第 13 页 版权所有

不得复制

12. 在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? b ( x ? R )与两坐标轴有 三个交点.记过三个交点的圆为圆 C . (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)圆 C 是否经过定点(与 b 的取值无关)?证明你的结论.

第 14 页 版权所有

不得复制

一、选择题 1. B 解析: k AB ? 2. B

4?m ? ?2 ? m ? ?8 . m?2

解析: AB 的中点 M(2, 3 ), k AB ? - 1 , 故 AB 的中垂线的斜率是 2 ,其方程是: 2 2

y-

3 ? 2( x ? 2) ? 4 x ? 2 y ? 5 . 2
3. C 解析:由图知:切线|PT|的长是 1.

4. D 解析:直线 4x+3y=10 与直线 2x-y=10 的交点为(4,-2) ,把(4,-2)代 入:ax+2y+8=0 得 a=1. 5. D 解析:两圆的连心线的距离 d=5,两圆的半径分别是 1,4. 6. C 解析:当 a=1 时,显然两直线垂直,当两直线垂直时,a=1. 7. C 解析:圆 x 2 ? y 2 ? 1到直线 y ? kx ? 2 的距离:

d?

2 1? k
2

?1? k2 ? 3 ? ? 3 ? k ? 3

二、填空题 8. x ? y ? 1 ? 0 解析:易知点 C 为 (?1, 0) ,而待求直线与 x ? y ? 0 垂直,可设待求直线的方程为

y ? x ? b ,将点 C 的坐标代入得: b ? 1 ,故待求直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 .
9. x ? y ? 1 ? 0 解析: 由已知圆 C:x2+y2+2x-4y+a=0 的圆心是 C (-1,2) ,弦 AB 的中点是 M (0,1) . 则直线 l 与 CM 垂直,故 kCM ? ?1 ? k L ? 1 ,所以直线 L 的方程是 y-1=x. 10. -2 解析: 由已知圆 C x ? y ? 2x ? ay ? 3 ? 0 的圆心 C (-1, ?
2 2

a ) 在直线 x-y+2=0 上, 2

故 a=-2. 三、解答题: 11. 解:假设存在直线 l : y ? x ? m 满足题意,代入 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

第 15 页 版权所有

不得复制

得 x ? ? m ? 1? ? x ?
2

m2 ? 2m ? 2 ? 0 . 2

设直线 l 被圆 C 截得的弦 AB 的端点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 ? ? ? m ? 1? ? 4 ?
2

? m2 ? . . . . . (1) ? 2m ? 2 ? ? 0 得: m2 ? 6m ? 9 ? 0 . ? 2 ?

? x1 ? x2 ? ? ? m ? 1? ? 又? , 因为以 AB 为直径的圆过原点 O , 所以 AO ? BO , m2 x ? x ? ? 2 m ? 2 ? 1 2 ? 2
即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 0 , 化简得 m ? x1 ? x2 ? ? 2x1x2 ? m2 ? 0 , 即 m ? 3m ? 4 ? 0 ,得 m ? 1 或 m ? ?4 ,并且代入不等式(1)成立.
2

所以存在直线 l 满足题意,直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 . 12. 解: (Ⅰ)令 x=0,得抛物线与 y 轴的交点是(0,b) , 令 f(x)=0,得 x2+2x+b=0,由题意 b≠0 且△>0,解得 b<1 且 b≠0, (Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x2+ y2+Dx+Ey+F=0, 令 y=0,得 x2+Dx+F=0,这与 x2+2x+b=0 是同一个方程,故 D=2,F=b, 令 x=0,得 y2+ Ey+b=0,此方程有一个根为 b,代入得 E=-b-1, 所以圆 C 的方程为 x2+ y2+2x -(b+1)y+b=0, (Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1) , (-2,1) , 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程, 得左边= 02+ 12+2× 0-(b+1)× 1+b=0,右边=0 所以圆 C 必过定点(0,1) ; 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .

第 16 页 版权所有

不得复制


更多相关文档:

高考第一轮复习数学:直线和圆的方程(附答案)

高考一轮复习数学:直线和圆的方程(附答案)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。素质能力检测(七)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 M={(x...

高考一轮复习_直线与圆的方程

高考一轮复习_直线与圆方程_数学_高中教育_教育专区。直线与圆方程 §7.1 直线方程 1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P, 若将此直线绕点 P 按逆时针...

高考一轮复习-直线与圆的方程

高考一轮复习-直线与圆方程_数学_高中教育_教育专区。第七章直线与圆方程 §7.1 直线方程 1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 ? ,若将此...

高考一轮复习-直线与圆的方程

高考一轮复习-直线与圆方程_数学_高中教育_教育专区。第七章直线与圆方程 §7.1 直线方程 1.设直线 l 与 x 轴的交点是 P,且倾斜角为 ? ,若将此...

高考一轮总复习 直线和圆的方程

高考一轮总复习 直线和圆的方程 隐藏>> 第八部分 直线与圆的方程知识网络点斜式 倾斜角和斜率 斜截式 两点式 直线方程 截距式 一般式 直线与方程 程 两直线...

高三一轮复习《直线和圆的方程》检测题

高三一轮复习直线和圆的方程》检测题_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高三一轮复习直线和圆的方程》检测题_高三数学_...

高考数学一轮复习(八)直线与圆(圆的方程部分)

高考数学一轮复习(八)直线与圆(圆的方程部分)_数学_高中教育_教育专区。高考数学一轮复习(八) 直线与圆(圆的方程部分) 一、圆的标准方程方程 ( x ? a)2 ...

2013届高考数学第一轮复习教案第13讲 直线与圆的方程

www.wujiajiaoyu.com,中小学直线提分,就选福州五佳教育 2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案第 13 讲 直线与圆的方程一.课标要求: 1.直线与方程 (1)在平...

高考数学一轮复习9直线和圆的方程

高考数学一轮复习9直线和圆的方程_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高考数学一轮复习9直线和圆的方程_数学_高中教育_教育专区。高考...

高三数学第一轮复习——圆的方程

2015 学年第二学期从化三中调研课教案 高三数学第一轮复习 课题:圆的方程教案...A. m ? 2 B. m ? 2 C. m ? 4.以 (1, 0) 为圆心,且与直线 x ...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com