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数学竞赛教案讲义(10)——直线与圆的方程


第十章
一、基础知识

直线与圆的方程

1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何. 首先是通过 映射建立曲线与方程的关系, 即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在 一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2 +y2 =1 是以原点为 圆心的单位圆的方程。

r />.

2 求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3)用

坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围; ( 5)证明适合方程的解 的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的 倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00 ,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直 线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0 =k(x-x0 ); (3)斜截式: y=kx+b; ( 4)截距式:

x ? x1 y ? y1 x y ? ? 1; (5)两点式: ; (6)法线式方程: ? a b x2 ? x1 y 2 ? y1

xcos θ +ysin θ =p (其中 θ 为法 线倾 斜角, |p| 为原 点到 直线的 距离) ; ( 7 )参 数式:

? ? x ? x0 ? t cos? (其中θ 为该直线倾斜角) ,t 的几何意义是定点 P0 (x0 , y0 )到动点 P(x, ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0 P 方向向上则取正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1 , l2 的斜率分别为 k1, k2 ,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重合 所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;l 1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记 到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =

k ? k1 k 2 ? k1 ,tanα = 2 . 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1 , k2 。且两者不重合,则 l1 //l2 的充要条件是 k1 =k2 ;l1 ? l2 的充要条件是 k1 k2 =-1。
2 2 7.两点 P1 (x1 , y1 )与 P2 (x2 , y2 )间的距离公式:|P1 P2 |= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 。

8.点 P(x0 , y0 )到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ?

| Ax 0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1 :A1 x+B 1 y+C1 =0 与 l2 :A2 x+B 2 y+C2 =0,则过 l1, l2

交 点 的 直 线 方 程 为 A1 x+B1 y+C1 + λ (A2 x+B2 y+C2 =0 ; 由 l1 与 l2 组 成 的 二次 曲 线 方 程 为 (A1 x+B1 y+C1 ) (A2 x+B 2 y+C2 )=0;与 l2 平行的直线方程为 A1 x+B1 y+C=0( C ? C1 ). 10.二元一次不等式表示的平面区域,若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线 性约束条件和线性目标函数; (3)画出满足约束条件的可行域; (4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2 +(y-b)2 =r2 ,其参数方程 为?

? x ? a ? r cos? (θ 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
? D E? ,? ? , 半 径 为 ? 2 2?

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D 2 +E2 -4F>0) 。 其 圆 心 为 ? ?

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 。若点 P(x0 , y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为 2

? x0 ? x ? ? y0 ? x 0 x ? y 0 y ? D? ? 2 ? ? ? E? ? 2 ? ? ?

y? ? ? ? F ? 0. ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分) ,这条直线叫两圆 的根轴。给定如下三个不同的圆:x2 +y2 +Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为 (D1 -D 2 )x+(E1 -E2 )y+(F1 -F2 )=0; (D 2 -D 3 )x+(E2 -E3 )y+(F2 -F3 )=0; (D 3 -D 1 )x+(E3 -E1 )y+(F3 -F1 )=0。不难证明这 三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900 ,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ADB= ∠CDE。

例2

半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边

截圆所得的弧所对的圆心角为 600 。

2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1 ,C2 ,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不 可能在双曲线的同一支上。

3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 f ( x) ?

x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。

4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1 : mx-y+m=0, l2 : x+my-m(m+1)=0, l3 : (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。

5.线性规划。 例 6 设 x, y 满足不等式组 ?

?1 ? x ? y ? 4, ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2 +(y-1)2 =1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到 直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。

7.与圆有关的问题。 例8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点,

以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1 T2 垂心 的轨迹。

例 9 已知圆 x +y =1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。

2

2

例 10 值。

已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小

例 11 当 m 变化且 m≠ 0 时,求证:圆(x-2m-1) +(y-m-1) =4m 的圆心在一条定直线上,并 求这一系列圆的公切线的方程。

2

2

2

三、基础训练题 1.已知两点 A(-3,4)和 B(3,2),过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点,则该直线的倾斜角的 取值范围是__________. 2.已知θ ∈[0,π ],则 y ?

3 ? cos ? 的取值范围是__________. 2 ? sin ?

3. 三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形, 当点 P(x, y)在此三角形边上或内部 运动时,2x+y 的取值范围是__________. 4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范围是__________. 5 . 若 λ ∈ R 。直 线 (2+ λ )x-(1+ λ )y-2(3+2 λ )=0 与 点 P(-2,2) 的 距 离 为 d , 比 较大 小 : d__________ 4 2 . 6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和为 14,则此圆的方程 为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆 C: x +y -4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在的方程为__________. 8.D 2 =4F 且 E≠0 是圆 x2 +y2 +Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条件.
2 9.方程|x|-1= 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是__________.
2 2

10.已知点 M 到点 A(1,0) ,B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这样的点 M 恰好有一个, 则 a 可能值的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2 -2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最小值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。

四、高考水平训练题 1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心在原点 O,则点 B 的 坐标为__________. 2.把直线 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 绕点(-1,2)旋转 300 得到的直线方程为__________. 3.M 是直线 l:

x y ? ? 1 上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为 A,B,则在线 4 3

段 AB 上满足 AP ? 2 PB 的点 P 的轨迹方程为__________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4.以相交两圆 C1 :x2 +y2 +4x+y+1=0 及 C2 :x2 +y2 +2x+2y+1=0 的公共弦为直径的圆的方程为 __________. 5.已知 M={(x,y)|y= 2a ? x ,a>0},N={(x,y)|(x-1)2 +(y- 3 )2 =a2 ,a>0}.M ? N ? ? ,a
2 2

的最大值与最小值的和是__________. 6. 圆 x +y +x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P, Q 两点, O 为原点, OP ? OQ, 则 m=__________.
2 2

7.已知对于圆 x +(y-1) =1 上任意一点 P(x,y), 使 x+y+m≥0 恒成立,m 范围是__________. 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x2 -2ax+y2 +2(a-2)y+2=0 均与直线 l 相切,则直线 l 的方程为__________. 9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那么直线 xsin2 A+ysinA=a 与直线 xsin2 B+ysinC=c 的位置关系是__________. 10. 设 A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐标平面 xOy 上的点 集,C= ?? ?

2

2

? ? ?? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? ? ? , ( x , y ) ? A , ( x , y ) ? B ? 所围成图形的面积是__________. 1 1 2 2 ? 2 2 ? ? ? ?? ?

11.求圆 C1 :x2 +y2 +2x+6y+9=0 与圆 C2 :x2 +y2 -6x+2y+1=0 的公切线方程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R ,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13.已知圆 C:x +y -6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动点,且∠OBA=90 ,OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理数,过点(a,0)的所有 直线中,每条直线上至少存在两个有理点的直线有_______条。
2 2 0 +

2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一腰平行于直线 x-4y+2=0, 则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3 .若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表 示条互相垂直 的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2 +y2 =1 所成的两部分弧长之差的绝对值是__________.
2 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= ? 1 ? ( x ? 2) 有交点,则 k 的取值范围是__________.

6.经过点 A(0,5)且与直线 x-2y=0, 2x+y=0 都相切的圆方程为__________. 7. 在直角坐标平面上, 同时满足条件: y≤3x, y≥ 8.平面上的整点到直线 y ?

1 x, x+y≤100 的整点个数是__________. 3

5 4 x ? 的距离中的最小值是__________. 3 5

9.y=lg(10-mx2 )的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为__________. 10.已知 f(x)=x -6x+5,满足 ?
2

? f ( x) ? f ( y) ? 0, 的点(x,y)构成图形的面积为__________. f ( x ) ? f ( y ) ? 0 ?

11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B,C 出发,各以一定 速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B,C,A。 (1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变; (2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍? 12.已知矩形 ABCD,点 C(4,4),点 A 在圆 O:x2 +y2 =9(x>0,y>0)上移动,且 AB,AD 两边始 终分别平行于 x 轴、y 轴。求矩形 ABCD 面积的最小值,以及取得最小值时点 A 的坐标。 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x2 +y2 +2y=0 相交于不同两点 A,B,点 P 在直线 l 上,且满 足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x2 -xy+y2 的最大值、最小值。 2.给定矩形Ⅰ(长为 b,宽为 a) ,矩形Ⅱ(长为 c、宽为 d) ,其中 a<d<c<b,求证:矩形 Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd) +(ad-bc) ≥(a -b ) . 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证:见图 10-8,A1 ,B1 , C1 ,D1 ,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个同心圆的集合,使得: (1)每个整点都在此集合的某一圆周上; (2)此集合的每个圆周上,有且只有一个整点。 5. 在坐标平面上, 是否存在一个含有无穷多条直线 l1 ,l2 ,…, ln , …的直线族, 它满足条件:
2 2 2 2 2

(1)点(1,1)∈ln ,n=1,2,3,…; (2)kn+1 ≥an -bn ,其中 kn+1 是 ln+1 的斜率,an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距,n=1,2,3,…; (3)kn kn+1 ≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1 ,l2 都与此圆相交,l1 交圆于 A,B ,l2 交圆于 D ,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:

1 1 1 1 ? ? ? . | OR | | OS | | OP | | OQ |
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m


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