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2.1.2椭圆的几何性质3


必修1-1

第二章 圆锥曲线与方程

2.1.2 椭圆的几何性质

(第3课时)

y

P
P
o x

P

巩固练习:

A

巩固练习:
2.

D


式:

x y 无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 ? ?1 9 4
交点情况满足( A.没有公共点 C.两个公共点

2

2

D

)

B.一个公共点 D.有公共点

?直线y ? kx ? 2过定点(0,2)
0 4 又 ? + =1 9 4

?4x 2 ? 9 y 2 ? 36? (1) 解: ? ? y ? kx ? 2??? (2)
(2)代入(1)整理得:

∴点(0,2)在椭圆上。

? 直线y ? kx ? 2与椭圆有交点。

(4+9k ) x ? 36kx ? 0
2 2

? ? (36k )

2 2

≧0

解:

巩固练习:

2b AB ? a
y
A

2

F1

F2 B

x

2.弦长公式:

例1:已知斜率为1的直线L过椭圆
交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.

的右焦点,

解:

例1:已知斜率为1的直线L过椭圆
交椭圆于A,B两点,求

的右焦点,

解:

x2 2 已知:直线y=x+m与椭圆 ? y ? 1 交于A,B 2

1:求m的取值范围 2:求弦长AB的max及此时直线AB方程 3:求

?

解:
设直线与椭圆交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

?3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0
2 2

?? ? (4m) ?12(2m ? 2) ? ?8m ? 24
2 2

2

?0

?? 3 ? m ? 3

x2 2 已知:直线y=x+m与椭圆 ? y ? 1 交于A,B 2

2:求弦长AB的max及此时直线AB方程

解:设直线与椭圆交于 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
?3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0
2 2

此时直线AB方程为:y=x

x2 2 已知:直线y=x+m与椭圆 ? y ? 1 交于A,B 2

3:求

解:

O点到直线AB的距离为:

d?

m 2

x2 y2 例3:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上 4 25 9 是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?
解:设直线m平行于l,
y

则m可写成:x ? 5 y ? k ? 0 4 ?4 x ? 5 y ? k ? 0 l ? 2 2 由方程组 ? x y m ?1 ? ? ? 25 9

d

p

o

x

消去y,得25x2 ? 8kx ? k 2 - 225 ? 0
2 2

由? ? 0,得64k - 4 ? 25 k - 225) 0 ( ? ? k ? ?25 ? m : 4 x ? 5 y ? 25 ? 0

d?

| 40 ? 25 | 4 ?5
2 2

或:x ? 5 y ? 25 ? 0 4

15 41 ? 41

例2:已知椭圆

过点P(2,1)引一弦,使弦在

这点被平分,求此弦所在直线的方程. 解法一:



消去 y得:

例2:已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.
2 2 ? x1 ? 4 y1 ? 16 ? ? 2 2 x2 ? 4 y2 ? 16 ? ?

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差 构造出中点坐标和斜率.

例2:已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

? x 2 ? 4 y 2 ? 16 ? ? 2 2 ?(4 ? x ) ? 4(2 ? y ) ? 16 ?
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条

解后反思:中点弦问题求解关键在于充分利用“中点” 这一条件,灵活运用中点坐标公式及韦达定理,

y?3 x2 2 3.若P(x,y)满足 ? y ? 1( y ? 0) ,求 的 x?4 4

最大值、最小值.

解:

小 结:
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法;

2、弦长的计算方法: (适用于任何曲线)
弦长公式:
2 | AB |? 1 ? k 2 ? (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

1 ? 1 ? 2 ? (y1 ? y2) 4 y1 y2 ? k

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)韦达定理法:联立方程组,消去一个未 知数,利用韦达定理; (2)点差法:设两端点坐标,代入曲线方程 相减可求出弦的斜率。

作业:
1.

2.

3.已知椭圆4x ? y =1及直线y ? x ? m
2 2

(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数的取值范围; (2)求被截得的最长弦AB所在的直线方程. (3)求?AOB面积的最大值.

1.

? 3 x2 ? 5 x ? 0

5 2 | AB |? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 1 ? 4 ? ( ) ? 4 ? 0 3
2 2

5 x1 ? x2 ? 3

x1 x2 ? 0

2.

2.

3.已知椭圆4x 2 ? y 2 =1及直线y ? x ? m (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数的取值范围; (2)求被截得的最长弦AB所在的直线方程. (3)求?AOB面积的最大值.

5 5 解:(1)?m? 2 2
2 5 5 2 (2)? d ? 10 ? 8m , ?m? , 5 2 2 2 ? m ? 0时, d max ? 10, 此时直线为y ? x. 5

(3)(S?AOB ) MAX

1 ? 4


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