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立体几何中的向量方法-空间角空间距离的计算


空间“角”问题

一、线线角:

? ?? 异面直线所成角的范围:? ? ? 0, ? ? 2? C D ??? ??? ? ?

思考:

? CD, AB ? 与? ?的关系? D1 A ? ???? ??? ? ? ? B ? DC , AB ? 与? ?的关系? ? 设直线CD的方向向量为a

,AB的方向向量为b
? ? b
? a

? ? ? ? a??, ??b

|

? ? ? ? ? a??, ??b

? a

?? ? b

结论:

?

? ? | cos ? a, b ?|

|

已知F1 与E1 为四等分点, 求异面直线
DF1与BE1的夹角余弦值?
z

D1 A1

F1 E1 B1

C1

① 几何法 ② 向量法
C

D A
x

y

B

cos < DF1,BE1 > = 15 17 cos < DF1,E1B> = - 15 17

质疑:空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么
区别?

例1、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 求AC1和CB1的夹角, 分析:求异面直线的夹角 解法步骤:1、写出异面直线的方向 向量的坐标。 2、利用空间两个向量的 夹角公式求出夹角。
Z
A1

C1
B1

???? ? ???? 3 1 3 1 AC1 ? (? a, a, 2a) CB1 ? ( a, a, 2a) 2 2 2 2
C

3 2 ???? ???? ? a ???? ???? ? AC1 ? CB1 1 ? cos ? AC1 , CB1 ?? ???? ???? ? 2 2 ? 2 | AC1 | ? | CB1 | 3a

y
A
D

B

? ∴AC1和CB1的夹角为: 3

x

练习:Rt? ABC中,?BCA ? 900 , 现将? ABC沿着平面ABC的法向量
平移到?A1 B1C1位置,已知 BC ? CA ? CC1, A1 B1、A1C1的中 取 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1,求BD1与AF1所成的角的余弦值. z

解:如图所示,建立空间直角坐标

系C ? xyz,如图所示,设CC1 ? 1则: F1
1 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

C1

B1
D1

A1

C

???? ???? ? 所以: 1 ? (? 1 , 0,1), BD1 ? ( 1 , ? 1 ,1) AF A 2 2 2 1 ???? ???? x ? ? ?1 ???? ???? ? AF1 ? BD1 30 ? ? ???? ???? ? 4 ? cos ? AF1 , BD1 ? 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

B

y

二、线面角

斜线与平面所成的角

平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A

O

B

?

当直线与平面垂直时,直 线与平面所成的角是90°

?

当直线在平面内或 与平面平行时, 直线与平面所成的角是0°

直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]

?
斜线与平面所成的角

?
( 0°, 90°)

异面直线所成的角
( 0°, 90°]

二、线面角向量法: 范围: ? ?[0, ] 2
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量 ? ? 所成角 ? AB, n ? 的余角.
n
??? ? ? ? ? AB ? n ? ? cos < AB, n >= ??? | AB | ? | n |

?

??? ? ? AB ? n ? ? sinα = cos < AB, n > ? ??? | AB | ? | n |
? ?

A

?

B

??? ? ? | AB ? n | ? ? sinα = ??? | AB | ? | n |

或者线面角等于直线的方向向量与平面的法向量

所成角的补角的余角.

例2、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,
求A1B与平面A1B1CD所成的角

D1
A1 B1
O

C1

D
A B

C

???? ??? ? AA1 ? (0, 0, 2a ) AB ? (0, a, 0) ? ???? ?n ? AA1 ? 0 ?(1, y, z ) ? (0, 0, 2a) ? 0 ? z ? 0 ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ?(1, y, z ) ? (0, a, 0) ? 0 ?y ? 0 ?n ? AB ? 0 ? ?? ???? ? 3 1 ? n ? (1, 0, 0) AC1 ? (? a, a, 2a ) A 2 2
3 2 ???? ? ? ? a ???? ? ? AC1 ? n 1 2 ? ? ? cos ? AC1 , n ?? ???? ?? 2 | AC1 | ? | n | 3a 2

例3、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1)求AC1和CB1的夹角, 2)求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值 2)直线与平面所成的角 步骤: 1、求出平面的法向量 C1 2、求出直线的方向向量 3、求以上两个向量的夹角, B1 (锐角)其余角为所求角 A1 ? 设平面ABB1B的法向量:n ? (1, y, z )

C

B

1 所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为 2

练习: 正方体 ABCD ? A B1C1 D1 的棱长为1. 1
z ???? ???? ???? ? 解:设正方体棱长为1, AB, , 1为单 以 AD AA A1 0,, 0,, 位正交基底,可得 A(0,0) B1 (1,1)
????? 1,, C (11,, 1 (111) 则B1C1 ? (0,0) ,0) C , ,, ???? ? ???? AB1 ? (1,1) AC ? (11, 0,, ,0)

正弦值 求B1C1与面AB1C 所成的角.

B1

D1

C1

y ? ? A 设平面AB1C的法向量为n ? ( x,y,z ) D ? ???? ? ? ???? 则n ? AB1 ? 0,? AC ? 0 n B C ?x ? z ? 0 所以 ? ,取x = 1, x x? y?0 ? ? ????? 0 ?1 ? 0 3 ? B ?? 得y = z = -1,故n = (1,1,1), cos n,1C1 ? - 3 1? 3

3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3

定义:
B ?

A ?

O

A

B

从一条直线出发的两个半平面所组成的 这条直线叫做二面角的棱。 图形叫做二面角。 这两个半平面叫做二面角的面。
3

以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足:
? A 1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内

l
O B

3)角的边都要垂直于二面角的棱 ?

范围:[0,? ]
10

练习
1.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,二面角C1-BD-C 的正切值是_______. 2

三、面面角: 二面角的范围:? ?[0, ? ]
①向量法
?? ?? ? n1,2 n

?

?? ? n2

?? ?? ? ? ? ? n1,2 n

?? ?? ? ? ? ? ? ? n1,2 n

?
?
l

?? ? n2

?? ?? ? n1,2 n

?? ? n1
?

?? ? n1

?
l

?

cos ?

?

?? ?? ? cos ? n1 , n2 ?

cos ?

?

?? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?

注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量夹角; 同进同出,二面角等于法向量夹角的补角

例1.已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1的边长为2, DD1 z O为AC和BD的交点,M为 的中点 (1)求证: 直线 B1O ? 面MAC; D1 (2)求二面角 B1 ? MA ? C 的余弦值.
??? ???? ???? ? ? DC DD为x轴,y轴,A1 ①证明:以 DA、 、 1 z轴,建立空间直角坐标系如图,则
M
B1

C1

A(2, 0) C (0, 0) M (0,1) 0,, 2,, 0,, B1????2,,O(11,。 (2, 2) ,0) ? O ???? 所以MA ? (2, ? 1), ? (0, ? 1), A 0, MC 2, ???? B1O ? ( ?1, 1, 2) ? ? x ???? ???? ???? ???? ? B1O ? MA ? ?2 ? 0 ? 2 ? 0,1O ? MC ? 0 ? ?2 ? 2 ? 0 B ???? ???? ???? ???? ? 所以B1O ? MA , B1O ? MC
即B1O ? MA , B1O ? MC。又MA ? MC ? C 所以B1O ? 平面MAC
D C B

y

???? ② 由①知 B1O ? 平面MAC 所以B1O是平面MAC的一个法向量 ???? z 且B1O ? (?1, 1, 2) ? ? ? C1 设平面B1MA的一个法向量为n ? ( x,y,z ) D1 由A(2,0) M (0,1) B1 (2, 2)得 0,, 0,, 2, A1 B1 ???? ???? ? M MA ? (2, ? 1), 1 ? (2,1) 0, MB 2, ? ? ???? ? ???? 所以n ? MA ? 0,n ? MB1 ? 0

?2 x ? 0 ? z ? 0 即? 取z =2得x=1,y = - 2 ?2 x ? 2 y ? z ? 0 A

D O B

y

C

所以平面B1MA的一个法向量为 x ? n ? (1, 2, ? 2) ???? ? ?1 ? 2 ? 4 6 由图可知二面角为锐角 cos B1O, ? n ?? 6 6? 9 6 所以二面角B1 ? MA ? C的余弦值为 。 6

小结:
1.异面直线所成角: ? ? cos ? | cos ? a, b ?|

?

? a

C

? a ?? b

D
D1

A
?

B
A

?
n

2.直线与平面所成角: ? ??? ? sin ? | cos ? n, AB ? |

?

?

B

?

O

? n

3.二面角:
?
B A D

?
?? ? n2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AB ? CD cos ? ? cos AB, CD ? ??? ??? ? ? AB ? CD

C
l

?

?? ? n1

?
l

?

一进一出, 二面角等于 法向量的夹 角; 同进同出, 二面角等于 法向量夹角 的补角。

?

?? ? n2

?? ? n1
?

?
l

cos ?

?

?? ?? ? cos ? n1 , n2 ?

cos ? ?

?? ?? ? ? cos ? n1 , n2 ?

练 习:

如图,已知:直角梯形OABC中,OA∥BC, ∠AOC=90°,SO⊥面OABC,且OS=OC=BC=1, OA=2。 求: ⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值, O ⑵ OS与面SAB所成角α的正弦值 , ⑶二面角B-AS-O的余弦值。
A

z
S

C
B

y

解:如图建立直角坐标系, 则A(2,0,0); B(1,1,0); C(0,1,0); O(0,0,0); S(0,0,1), 于是我们有

x

SA =(2,0,-1); =(-1,1,0); AB

OB =(1,1,0); =(0,0,1); OS

z (2)设面SAB的法向量 显然有

n ? ( x, y , z )

S

n ? AB, n ? SA
O
C A B

?? x ? y ? 0 ?? ? 2x ? z ? 0
令x=1,则y=1,z=2;从而

y

n ? (1,1,2)
OS ? n

x

2 6 ? sin ? ? cos ? OS , n ? ? ? ? 3 OS ? n 1? 6

⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =(1,1,2) 又∵OC⊥面AOS,∴OC 是面AOS的法向量, 令 n2 ? OC ? (0,1,0)

z
S

则有 cos ? n1 , n2 ??

1 ? 6 n1 ? n2

n1 ? n2

O
C A B

y

由于所求二面角的大小等于 ? n1 , n2
∴二面角B-AS-O的余弦值为

?
6 6
x

⑶ . cos ? SA, OB ??

SA ? OB SA ? OB

?

2 10 ? 5 5? 2

所以直线SA与OB所成角余弦值为

10 5

2.如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分
别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB= 4,AC=6,BD=8,求CD的长.
? C
B A

?

D

(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB, CB//DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的 中点,(Ⅰ) 求证:DM⊥EB; (Ⅱ)求二面角M-BD-A的余弦值.
D C A M B N

E

解: 分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴, 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a, 则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0, 2a, 0),C(0, a 2a,a),D(0,0,2a),所以M(a,a, ) 2 z …… 4分 D (Ⅰ)证:DM=(a,a,-1.5a), EB=(-2a,2a,0), … 5分 C DM · =a (-2a) +a · +0=0 EB 2a M
A

…… 7分 E x (Ⅱ)解:设平面MBD的法向量为n=(x,y,z) DB=(0,2a,-2a)由n⊥DB, n⊥DM得

B

y DM⊥EB,即DM⊥EB

? ??? ? ?n ? DB = 2ay ? 2az = 0 ?y = z ? ? ?? 3 ? ? ? ???? 3 n ? DM = ax + ay ? az = 0 ? x + y ? 2 z = 0 ? ? ? 2

… 10分

取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),

又平面BDA的法向量为 n1=(1,0,0), … 11分
z D

cos <n,n1>
1 = = . 12 + 22 + 22 ? 12 + 02 + 02 3 C
M
B y

1+ 0 + 0

A E x

即二面角M-BD-A的余 此题用“坐标法”解简单易行!
1 弦值为 3

… 14分

例、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1)求AC1和CB1的夹角, 2)求AC1和面ABB1B所成的夹角 3)求二面角B—AB1—C1的大小 4)M是A1B1的中点,求点B1到面C1MB的距离 C1 5)求AM与B1C1的距离 分析:1)求异面直线的夹角 解法步骤:1、写出异面直线的方向 向量的坐标。 2、利用空间两个向量的 夹角公式求出夹角。
A1 B1

???? ? ???? 3 1 3 1 AC1 ? (? a, a, 2a) CB1 ? ( a, a, 2a) 2 2 2 2 3 2 ???? ???? ? a ???? ???? ? AC1 ? CB1 2 ?1 A ? cos ? AC1 , CB1 ?? ???? ???? ? 2 2 | AC1 | ? | CB1 | 3a

C

B

1 ? ∴AC1和CB1的夹角为:arccos ? 2 3

???? ? ???? ? 3 1 1 AC1 ? (? a, a, 2a) AM ? (0, a, 2a) 2 2 2 9 2 ???? ???? ? ? a ???? ???? ? ? AC1 ? AM 3 ? ? cos ? AC1 , AM ?? ???? ???? ? 4 ? 2 | AC1 | ? | AM | 3 3 2 a 3

例、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1)求AC1和CB1的夹角, 2)求AC1和面ABB1B所成的夹角 3)求二面角B—AB1—C1的大小 4)M是A1B1的中点,求点B1到面C1MB的距离 C1 5)求AM与B1C1的距离 2)直线与平面所成的角 A1 B1 M 解法1步骤:1、求出直线的方向向量的 坐标和直线在平面内的 射影的方向向量坐标。 2、求以上两个向量的夹角 C
A B

? 6

例、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1)求AC1和CB1的夹角, 2)求AC1和面ABB1B所成的夹角 3)求二面角B—AB1—C1的大小 4)M是A1B1的中点,求点B1到面C1MB的距离 C1 5)求AM与B1C1的距离 2)直线与平面所成的角 A1 B1 解法2步骤: 1、求出平面的法向量 2、求出直线的方向向量 3、求以上两个向量的夹角, (锐角)其余角为所求角 ? C 设平面ABB1B的法向量:n ? (1, y, z )

???? ??? ? AA1 ? (0, 0, 2a ) AB ? (0, a, 0) ? ???? B A ? ?n ? AA1 ? 0 ?(1, y, z ) ? (0, 0, 2a) ? 0 ? z ? 0 ? ? ? n ? (1, 0, 0) ? ? ? ?? ?? ? ? ? ??? ? ? ? y?0 (1, y, z ) ? (0, a, 0) ? 0 ? ? ???? ? ?n ? AB ? 0 ? 2 3 6 3 2 ? ? ? a ???? ? ? ???? ? AC1 ? n 1 3 1 ? cos ? AC1 , n ?? ???? ? ? 2 2 ? ? AC1 ? (? a, a, 2a ) 2 | AC1 | ? | n | 3a 2 2

例、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 1)求AC1和CB1的夹角, 2)求AC1和面ABB1B所成的夹角 3)求二面角B—AB1—C1的大小 4)M是A1B1的中点,求点B1到面C1MB的距离 C1 5)求AM与B1C1的距离 3)二面角的大小 A1 B1 解法1步骤:1、在两个半平面内求垂直 于棱的两条直线方向向量 F 2、求以上两个向量的夹角 在两个半平面内作垂直于棱的两条垂线 EB、FC1 ??? ? ???? ? 2 2 EB ? (0, a, ? a) FC1 ? (? 3 a, ? a , 2 a) A 3 3 2 3 6
??? ???? ? ? 22 cos ? EB, FC1 ?? ? 11
E C

B

?? ? a rccos

22 11

3)二面角的大小 解法2步骤:1、求两个半平面的法向量 2、求两个法向量的夹角 3、当两个法向量同时指向二面角的内(外)部, 所求角是法向量的夹角的补角,否则所求角 C1 是法向量的夹角 ? 面B—AB1的法向量 ? n ? (1, 0, 0) ?? A1 B1 设面AB1C1的法向量为:m ? (1, y, z )
???? ? ???? ? 3 a a, , 2a ) AB1 ? (0, a, 2a) AC1 ? (? 2 2 ?? ???? ? ?(1, y, z ) ? (0, a, 2a ) ? 0 ? m ? AB1 ? 0 ? ? ?? ? ? ?? ???? 3 a m ? AC1 ? 0 ?(1, y, z ) ? ( ? a, , 2 a ) ? 0 ? ? ? 2 2 ? ay ? 2az ? 0 A ?? ? 6 ?? 3 m ? (1, ? 3, ) a a ? y ? 2az ? 0 2 ?? ? 2 2 ?? ? 22 22 所求角为? ?? ? a rccos cos ? m, n ?? 11 11

C

B

例、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 4)M是A1B1的中点,求点B1到面C1MB的距离 4)求点到面的距离 C1 解法步骤:1、求平面的法向量; 2、求该点与平面内任意一点 A1 B1 M 所确定的向量; 3、求该向量在平面的法向量 上的射影长(即为所求) ? 1、设面C1MB的法向量为: n ? ( x, y, z )
? 3 ( x, y , z ) ? ( ? a, 0, 0) ? 0 ? ? 2 ? A ?( x, y, z ) ? (0, a , ? 2a ) ? 0 ? ?x ? 0 ? 2 ? ? 2 ?a n ? (0,1, ) ? 2 y ? 2az ? 0 ? ???? ? 4 ???? ? ???? ? ? ? ???? ? a | n ? MB1 | 2 MB1 ? (0, ? , 0) 3、d ?| MB1 | cos ? n, MB1 ?? ? ? a 2、 2 3 |n|

? ????? ?n ? MC1 ? 0 ? ? ? ???? ?n ? MB ? 0 ?

C

B

例、如图,正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a C1 5)求AM与B1C1的距离 5)求两异面直线的距离 M B1 解法步骤:1、求两异面直线的公共法向量 A1 2、在两直线上各取一 点作为向 量的起点和终点,求该向量 3、求该向量在公共法向量上的 射影长(即为所求) C 1、设面AM和B1C1的公共法向量为: ? n ? ( x, y, z ) ?( x, y, z ) ? (0, 1 a, 2a ) ? 0
? ? ???? ? A 2 ?n ? AM ? 0 ? ? ? ? ? ? ???? ?( x, y, z ) ? (? 3a , ? 1 a, 0) ? 0 ?n ? B1C1 ? 0 ? ? ? 2 2 ???? ? ?a ? a 6 y ? 2az ? 0 MB1 ? (0, ? , 0) 2、 ?2 n ? (1, ? 3, ) ? 4 ? ???? ? 2 ? ???? ? ? ???? ? ?? 3 ax ? a y ? 0 d ?| MB | cos ? n, MB ?? | n ? MB1 | ? 6 a ? 1 1 ? 2 ? 2 |n| 35
B

五、方法小结

P

1.求点到平面的距离
如图,已知点P(x0,y0,z0), A(x1,y1,z1),平面 ?

? n
A

? 一个法向量 n 。

?

n ? AP ? n ? AP cos? ,其中 ? n ? AP ? ?? n, AP ? ,AP cos? ? ? , n

AP cos?的绝对值就是点P到平面?的距离。


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