当前位置:首页 >> 数学 >> 《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 【综合法和分析法(二)

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2 【综合法和分析法(二)


2.2.1(二)

2.2.1
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关

综合法和分析法(二)

加深对综合法、分析法的理解,应用两种方法证明数学问 题. 【学法指导】 通过本节课的学习,比较两种证明方法的优点,进而灵活 选择证明方法,规范证明步骤,养成言之有理、论之有据 的好习惯,提高思维能力.<

br />
试一试· 双基题目、基础更牢固

2.2.1(二)

1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的
本 课 时 栏 目 开 关

( A ) A.充分条件 C.充要条件 B.必要条件 D.等价条件

试一试· 双基题目、基础更牢固

2.2.1(二)

2.用 P 表示已知,Q 表示要证的结论,则综合法的推理形 式为
本 课 时 栏 目 开 关

( A )

A.P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q B.P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?Q C.Q?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?P D.Q?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→?→Qn?P

试一试· 双基题目、基础更牢固

2.2.1(二)

b a 3.已知 p:ab>0;q:a+b≥2,则
本 课 时 栏 目 开 关

( C )

A.p 是 q 的充分而不必要条件 B.p 是 q 的必要而不充分条件 C.p 是 q 的充要条件 D.p 是 q 的既不充分也不必要条件

试一试· 双基题目、基础更牢固

2.2.1(二)

4.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明
本 课 时 栏 目 开 关

( D )

A.2ab-1-a2b2≤0 a4+b4 B.a2+b2-1- ≤0 2 ?a+b?2 C. -1-a2b2≤0 2 D.(a2-1)(b2-1)≥0

试一试· 双基题目、基础更牢固

2.2.1(二)

本 课 时 栏 目 开 关

b 5. 给出下列命题: ①a<b<0?a<1; ②a<b<0?a-2<b-2; ③a>b, |a+b| a b c>d, abcd≠0?c>d; b≠0? ④a· <1; ⑤a>b>0, c>d>0 |a|+|b| a b ①②⑤ ? d> c .其中,真命题的序号是________.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

题型一
本 课 时 栏 目 开 关

选择恰当的方法证明不等式

例 1 设 a,b,c 为任意三角形三边长,I=a+b+c,S=ab +bc+ca,试证:3S≤I2<4S.
证明 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

=a2+b2+c2+2S. 欲证 3S≤I2<4S, 即证 ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca. 先证明 ab+bc+ca≤a2+b2+c2, 只需证 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca,

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0,显然成立;

再证明 a2+b2+c2<2ab+2bc+2ca,
本 课 时 栏 目 开 关

只需证 a2-ab-ac+b2-ab-bc+c2-bc-ca<0, 即 a(a-b-c)+b(b-c-a)+c(c-b-a)<0, 只需证 a<b+c,且 b<c+a,且 c<b+a, 由于 a、b、c 为三角形的三边长,上述三式显然成立, 故有 3S≤I2<4S.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

小结

本题要证明的结论要先进行转化, 可以使用分析法. 对

于连续不等式的证明,可以分段来证,使证明过程层次清 晰.证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的
本 课 时 栏 目 开 关

重要不等式,其中常用的有如下几个: (1)a2≥0(a∈R). a+b 2 (2)(a-b) ≥0(a、 b∈R), 其变形有 a +b ≥2ab, ( ) ≥ab, 2 ?a+b?2 a2+b2≥ . 2 a+b b a (3)若 a,b∈(0,+∞),则 ≥ ab,特别地a+b≥2. 2
2 2 2

(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R).

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

跟踪训练 1 (1)已知:a,b,c 都是正实数,且 ab+bc+ca =1.求证:a+b+c≥ 3. 证明 考虑待证的结论“a+b+c≥ 3”,因为 a+b+c>0,
所以只需证明(a+b+c)2≥3,
本 课 时 栏 目 开 关

即 a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3. 又 ab+bc+ca=1, 所以只需证明 a2+b2+c2≥1,即 a2+b2+c2-1≥0. 因为 ab+bc+ca=1, 所以只需证明 a2+b2+c2-(ab+bc+ca)≥0, 只需证明 2a2+2b2+2c2-2(ab+bc+ca)≥0, 即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0.

由于任意实数的平方都非负, 故上式成立. 所以 a+b+c≥ 3.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

(2)已知 a、b、c 为互不相等的正数且 abc=1,求证: a+ b 1 1 1 + c<a+b+c.

证明 要证原不等式成立,即证 a+ b+ c<bc+ac+ab,
本 课 时 栏 目 开 关

也就是证明 2 a+2 b+2 c<2bc+2ac+2ab. 因为 a、b、c 为互不相等的正数且 abc=1, 所以 bc+ac>2 abc2 =2 c;ac+ab>2 a2bc=2 a;ab+ bc>2 ab2c=2 b;
相加得 2 a+2 b+2 c<2bc+2ac+2ab. 所以,原不等式成立.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

题型二 例2

选择恰当的方法证明等式

已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,对应 1 1 3 的三边为 a,b,c,求证: + = . a+b b+c a+b+c

本 课 时 栏 目 开 关

a+b+c a+b+c 证明 要证原式,只需证 + =3, a+b b+c c a 即证 + =1, a+b b+c bc+c2+a2+ab 即只需证 =1, 2 ab+b +ac+bc

而由题意知 A+C=2B, π ∴B=3,

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

∴b2=a2+c2-ac,
bc+c2+a2+ab bc+c2+a2+ab ∴ = 2 ab+b +ac+bc ab+a2+c2-ac+ac+bc bc+c2+a2+ab = =1, 2 2 ab+a +c +bc 1 1 3 ∴原等式成立,即 + = . a+b b+c a+b+c

本 课 时 栏 目 开 关

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

小结
本 课 时 栏 目 开 关

综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手易于

寻找解题思路.在实际证明命题时,常把分析法与综合法结 合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的 结构特点去转化结论,得到中间结论 Q;根据结论的结构特 点去转化条件,得到中间结论 P;若由 P 可推出 Q,即可得 证.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

跟踪训练 2 设实数 a,b,c 成等比数列,非零实数 x,y 分 a c 别为 a 与 b,b 与 c 的等差中项,试证:x+y=2. 证明 由已知条件得
b2=ac, 2x=a+b,2y=b+c. a c 要证x+y=2, 只要证 ay+cx=2xy,
只要证 2ay+2cx=4xy. 由①②得 2ay+2cx=a(b+c)+c(a+b)=ab+2ac+bc, 4xy=(a+b)(b+c)=ab+b2+ac+bc=ab+2ac+bc, 所以 2ay+2cx=4xy.命题得证.

本 课 时 栏 目 开 关

① ②

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

题型三

选择恰当的方法证明空间图形的位置关系

例 3 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底 面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC= 60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.
本 课 时 栏 目 开 关

(1)证明:CD⊥AE; (2)证明:PD⊥平面 ABE.
证明 (1)在四棱锥 P-ABCD 中, ∵PA⊥底面 ABCD,CD?底面 ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC,

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

而 AE?平面 PAC,
∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,
本 课 时 栏 目 开 关

可得 AC=PA, ∵E 是 PC 的中点, ∴AE⊥PC. 由(1)知,AE⊥CD, 且 PC∩CD=C, 所以 AE⊥平面 PCD. 而 PD?平面 PCD,

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面 ABCD,
本 课 时 栏 目 开 关

∴PA⊥AB, 又 AB⊥AD,∴AB⊥平面 PAD, ∴AB⊥PD, 又 AB∩AE=A, 综上得 PD⊥平面 ABE.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

小结
本 课 时 栏 目 开 关

综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点,

利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面 面之间垂直关系的转化.另外,利用一些常见的结论还常常 可以将线面间的垂直与平行进行转化.比如:两条平行线中 一条垂直于平面 α,则另外一条也垂直于平面 α;垂直于同 一条直线的两个平面相互平行等.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

跟踪训练 3 如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB= 2,CE=EF=1. (1)求证:AF∥平面 BDE;
本 课 时 栏 目 开 关

(2)求证:CF⊥平面 BDE.
证明 (1)如图,设 AC 与 BD 交于点 G. 1 因为 EF∥AG,且 EF=1,AG= AC=1, 2 所以四边形 AGEF 为平行四边形.

所以 AF∥EG. 因为 EG?平面 BDE,AF?平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

(2)连接 FG.

因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1, 所以四边形 CEFG 为菱形. 所以 CF⊥EG.
本 课 时 栏 目 开 关

因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BD⊥AC. 又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD =AC, 所以 BD⊥平面 ACEF. 所以 CF⊥BD. 又 BD∩EG=G, 所以 CF⊥平面 BDE.

研一研· 题型解法、解题更高效

2.2.1(二)

1.综合法的特点是:从已知看可知,逐步推出未知.
本 课 时 栏 目 开 关

2.分析法的特点是:从未知看需知,逐步靠拢已知. 3.分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然, 容易寻找到解题的思路和方法, 缺点是思路逆行, 叙述较 繁;综合法从条件推出结论,较简捷地解决问题,但不便 于思考. 实际证题时常常两法兼用, 先用分析法探索证明 途径,然后再用综合法叙述出来.


更多相关文档:

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源...§ 2.2 2.2.1 一、基础过关 直接证明与间接证明综合法和分析法(一) 1. ...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B...

2013-2014学年高中数学人... 暂无评价 42页 免费 《步步高 学案导学设计》.....2.2.1 一、基础过关 综合法与分析法() 1.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源...A.综合法 B.分析法 C.综合法分析法配合使用 D.间接证法 7. 函数 f(x...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-2【配套备课资源...§ 2.2 2.2.1 一、基础过关 直接证明与间接证明综合法和分析法(一) 1. ...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】综合检测二_数学_高中教育_教育专区。综合检测(二) 一、选择题 1. “金导电、...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源...推理型题分析与总结文档贡献者 hbwyzx_ghc 贡献于2014-11-04 1...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.3(一)_数学_高中教育_教育专区。§ 2.3 一、基础过关 数学归纳法...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.7.2_数学_高中教育_教育专区。1.7.2 一、基础过关 定积分在物理...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章 2.1.1_数学_高中教育_教育专区。§ 2.1 合情推理与演绎推理合情推...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A...

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章 1.2.2(三)_数学_高中教育_教育专区。1.2.2 一、基础过关 基本初等...
更多相关标签:
学案导学 | 步步高学案导学官网 | 学案导学教学模式 | 步步高学案导学电子版 | 学案和导学案的区别 | 学案导学课题研究计划 | 学案导学法 | 学案导学与随堂笔记 |
相关文档

网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com