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必修三 第三章 综合评估(一)


第三章

综合评估(一)
满分:150分

时限:120分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列事件是随机事件的是( )

A.若 a,b,c 都是实数,则 a· (b· c)=(a· b)· c B.没有空气和水,人也可以生存下去 C.掷一枚硬币,出现反面 D.在标准大气压下,水的温度达到

90℃时沸腾 解析:A 由乘法的运算知必然成立,为必然事件;B 和 D 为不可能事 件,故选 C. 答案:C 2.从{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,这个集合恰是集合{a, b,c}的子集的概率是( 3 A. 8 2 B. 5 ) 1 C. 4 1 D. 8

解析:集合{a,b,c,d,e}的所有子集一共有 25 个,集合{a,b,c} 23 1 的子集共有 2 个,所求的概率为 P= 5= . 2 4
3

答案:C 3.下列说法一定正确的是( )

A.一名篮球运动员,号称“百发百中”,若罚球三次,不会出现三投 都不中的情况 1 B.一枚硬币掷一次得到正面的概率是 ,那么掷两次一定会出现一次 2 正面的情况

C.如买彩票中奖的概率是万分之一,则买一万张彩票一定会中一张 D.随机事件发生的概率与试验次数无关 答案:D 4.从存放号码分别为 1,2,?,10 的卡片的盒子中,有放回地取 100 次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下: 卡片号码 取到的次数 1 13 2 8 3 5 4 7 ) 5 6 6 13 7 18 8 10 9 11 10 9

则取到号码为奇数的频率是(

A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37 解析:因为所有取到奇数的次数为 13+5+6+18+11=53,所以取到 号码为奇数的频率为 答案:A 5.某产品分一、二、三级,其中只有一级是正品,若生产中出现正品 的概率是 0.97,二级品的概率为 0.02,那么出现二级品或三级品的概率是 ( ) A.0.01 B.0.02 C.0.03 D.0.04 解析:由题意出现三级品的概率为 1-0.97-0.02=0.01, ∴出现二级品或三级品的概率为 0.02+0.01=0.03. 另解,出现“二级品或三级品”是“出现一级品”的对立事件,∴概 率为 1-0.97=0.03. 答案:C 6.中央电视台《幸运 52》栏目中的“百宝箱”互动环节是一种竞猜游 戏,游戏规则如下:在 20 个商标牌中,有 5 个商标牌的背面注明了一定的 奖金金额,其余商标牌的背面是一张苦脸,若翻到苦脸就不得奖,参加这 53 =0.53. 100

个游戏的观众有三次翻牌的机会,某观众前两次翻牌均得若干奖金,如果 翻过的牌不能再翻,那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是( 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 6 5 20 解析:因为前两次翻牌都得若干奖金,所以还剩 3 个标注奖金的商标 牌,所以第三次翻牌获奖的概率是 P= 答案:B 7.从 3 台甲型电视机和 2 台乙型电视机中任取 2 台,其中两种品牌的 电视机齐全的概率为( 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 解析: 从中任取 2 台电视机共有如下基本事件: ①从甲型电视机中取 2 台有 3 种取法;②从乙型中取 2 台共有 1 种取法;③从甲、乙各型电视机 中取一台,共有 3×2=6(种).而事件 A 发生的基本事件为第③种,所以所 6 6 3 求概率为 = = ,故选 B. 6+1+3 10 5 答案:B 8.某城市 2011 年的空气质量状况如下表所示:
污染指数 T 概率 P 不大于 30 1 10 (30,60] 1 6 (60,100] 1 3 (100,110] 7 30 (110,130] 2 15 (130,140] 1 30

)

3 1 = . 18 6

)

其中污染指数 T≤50 时,空气质量为优;50<T≤100 时,空气质量为 良;100<T≤140 时,空气质量为轻微污染,该城市 2011 年空气质量达到 良或优的概率为( )

3 1 1 5 A. B. C. D. 5 180 19 6

解析:空气质量达到良优概率为 答案:A

1 1 1 3 + + = 10 6 3 5

9.向三座互相毗邻的敌军火药库发射 1 枚炮弹,只要射中其中任何一 座,三座军火库就会因连续爆炸而被摧毁,已知炮弹击中这三座军火库的 概率分别为 0.07,0.1,0.08,则军火库被摧毁的概率大约为( A.0.17 B.0.15 C.0.18 D.0.23 解析:军火库被摧毁至少炮弹击中一座军火库,情况比较复杂,可用 对立事件“三座军火库都没有被击中”分析,则所求概率为:P=1-(1- 0.07)(1-0.1)(1-0.08)=1-0.93×0.9×0.92≈0.23,故选 D. 答案:D 10.一批零件共 10 件,其中 8 件合格品,2 件次品,每次任取一个零 件装配机器,若第一次取到合格品的概率为 P1,第二次取到合格品的概率 为 P2,则( A.P1>P2 C.P1<P2 ) B.P1=P2 D.P1=2P2 )

8 4 解析: 第一次就取到合格品的概率 P1= = ;第二次取到合格品说明 10 5 第一次取到的是次品,则 P2= 答案:A 2×8 8 = ,所以 P1>P2. 10×9 45

图1

11.如右图 1 所示,在面积为 S 的△ABC 的边 AB 上任取一点 P,则 S △PBC 的面积大于 的概率是( 4 1 A. 4 3 C. 4 ) 1 B. 2 2 D. 3

S 1 解析:当△PBC 的面积刚好等于 时,PE∶AD=1∶4.要想 S△PBC> S, 4 4 3 AB 4 1 3 则 PB> AB,所以概率为 = .故选 C. 4 AB 4 答案:C 12.一元二次方程 x2+mx+n=0,其中 m、n 的取值分别等于将一枚 骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( 19 7 4 17 A. B. C. D. 36 18 9 36 解析:由方程有实根知,m2≥4n,由于 n∈N*,故 2≤m≤6,骰子连 掷两次并按先后所出现的点数考虑,共有 6×6=36(种)情形,其中满足条 件的有: ①m=2,n 只能取 1,计 1 种情形; ②m=3,n 可取 1 或 2,计 2 种情形; ③m=4,n 可取 1 或 2,3,4,计 4 种情形; ④m=5 或 6,n 均可取 1 至 6 的值,共计 2×6=12(种)情形.故满足 条件的情形共有 1+2+4+12=19(种),所以概率为 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在一杯 10 L 的清水中,有一条小鱼,现取出 1 L 清水,那么小鱼 19 . 36 )

被取到的概率为________. 答案:0.1 14.有红、黄、蓝、绿 4 种颜色的纸牌各 9 张,每一种颜色的纸牌都 顺次编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,现将 36 张纸牌混合后从中任取 4 张,则 4 张 牌的颜色相同的概率是________,4 张牌的颜色相同且数字相连的概率是 ________. 4×9×8×7×6 8 解析:P1= = , 36×35×34×33 935 P2= 4×6×?4×3×2×1? 8 = . 19635 36×35×34×33 8 19635

8 答案: 935

图2 15.如图 2 所示,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合 体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每个图形只能涂一种颜色,则三个图 形颜色不全相同的概率为________. 解析: 每个图形选择颜色都有 2 种颜色, 故所有的涂色方法有: 2×2×2 =8(种),颜色全相同的有 2 种:全为红色和全为蓝色,所以颜色不全相同 2 3 的概率为 1- = . 8 4 3 答案: 4

16.已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},集合 B={(x,y)|x+y+a=0}, 若 A∩B≠? 的概率为 1,则 a 的取值范围是________. 解析: 若 A∩B≠? 的概率为 1,则集合 A 与 B 有公共元素,∴
?x2+y2=1, ? ? ∴2x2+2ax+a2-1=0 有实数根,∴Δ=4a2-8(a2-1)≥0, ? ?x+y+a=0,

∴- 2≤a≤ 2. 答案:[- 2, 2] 三、解答题(共 70 分) 17.(本小题 10 分)对某班一次测验成绩进行统计,如下表所示: 分数段 概率 100~91 0.15 90~81 0.25 80~71 0.36 70~61 0.17 60~51 0.04 50~41 0.02

(1)求该班成绩在[81,100]内的概率; (2)求该班成绩在[61,100]内的概率. 解:记该班的测试成绩在[100~91),[90~81),[80,71),[70,61)内依次 为事件 A,B,C,D,由题意知事件 A,B,C,D 是彼此互斥的.(1)该班 成绩在[81,100]内的概率是 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.15+0.25=0.4.(2)该班 成绩在 [61,100]内的概率是 P(A∪ B∪ C∪ D)= P(A)+ P(B)+ P(C)+ P(D)= 0.15+0.25+0.36+0.17=0.93. 18.(本小题 12 分)一个盒子里装有 5 个标号是 1,2,3,4,5 的标签,今随 机地抽取两张标签,如果:(1)标签的抽取是无放回的;(2)标签的抽取是有 放回的. 求两张标签上的数字为相邻整数的概率. 解: (1)无放回抽取两张标签, 可以认为分两次完成, 考虑顺序, 有(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)及把两数交换位

置的情况,共计 20 种;其中抽取相邻整数仅有(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)及 把两数交换位置的情况,共计 8 种.所以标签抽取无放回时,两张标签上 8 2 的数字为相邻整数的概率为 = . 20 5 (2)标签抽取有放回时,共有 25 种抽法,即放回情况下的 20 种.再加 上(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)这 5 种;其中两张标签上为相邻整数的抽 法仍然只有 8 种.因此,标签抽取有放回时,两张标签上的数字为相邻整 数的概率为 8 . 25

19.(本小题 12 分)一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个,除 颜色外完全相同,已知蓝色球 3 个.若从袋子中随机取出 1 个球,取到红 1 色球的概率是 . 6 (1)求红色球的个数; (2)若将这三种颜色的球分别进行编号,并将 1 号红色球,1 号白色球, 2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中, 甲乙两人先后从这个 袋子中各取一个球(甲先取,取出的球不放回),求甲取出的球的编号比乙的 大的概率. 解:(1)设红色球有 x 个,依题意得 ∴红色球有 4 个. (2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A, 所有的基本事件有(红 1,白 1),(红 1,蓝 2),(红 1,蓝 3),(白 1,红 1),(白 1,蓝 2),(白 1,蓝 3),(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 2,蓝 3), (蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 12 种. 事件 A 包含的基本事件有(蓝 2,红 1),(蓝 2,白 1),(蓝 3,红 1),(蓝 3,白 1),(蓝 3,蓝 2),共 5 种. x 1 = ,解得 x=4, 24 6

5 所以,P(A)= . 12 20.(本小题 12 分)在区间[-1,1]上随机任取两个数 x、y,则满足 x2+ 1 y2< 的概率为多少? 4 解: 当 x, y∈[-1,1]时, 点(x, y)构成的区域是一个边长为 2 的正方形, 1 1 其面积为 2×2=4, 而满足 x2+y2< 的点(x, y)构成的区域是一个半径为 的 4 2 π 4 π π 圆的圆内部分,其面积等于 ,所以所求概率 P= = . 4 4 16 21.(本小题 12 分)某商场举行抽奖活动,从装有编号 0,1,2,3 四个小球 的抽奖箱中,每次取出后放回,连续取两次,取出的两个小球号码相加之 和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (1)求中三等奖的概率; (2)求中奖的概率. 解:设“中三等奖”的事件为 A,“中奖”的事件为 B,“从四个小 球中有放回地取两个”包括(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2), (1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),共 16 个基本事 件. (1)“两个小球号码相加之和等于 3”的基本事件有 4 个:(0,3)、(1,2)、 (2,1)、(3,0). 4 1 故 P(A)= = . 16 4 (2)“两个小球号码相加之和等于 3”这一事件包括 4 个基本事件; “两 个小球相加之和等于 4”的取法有:(1,3),(2,2),(3,1),共 3 个基本事件; “两个小球号码相加之和等于 5”的取法有: (2,3), (3,2), 共 2 个基本事件. 由互斥事件的加法公式得 P(B)= 4 3 2 9 + + = . 16 16 16 16

22.(本小题 12 分)将一颗骰子(它的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6)先 后抛掷两次,观察向上的点数,求: (1)两数之积是 6 的倍数的概率; (2)设第一次,第二次抛掷向上的点数分别为 x、y,则 logx2y=1 的概 率是多少; (3)以第一次向上的点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的 点(x,y)在直线 x-y=3 的下方区域的概率. 解:(1)此问题中含有 36 个等可能基本事件,记“向上的两数之积是 6 的倍数”为事件 A,则由图 3 可知,事件 A 中含有其中的 15 个等可能基本 事件,所以 P(A)= 15 5 = , 36 12 5 . 12

即两数之积是 6 的倍数的概率为

(2)此问题中含有 36 个等可能基本事件,记“第一次、第二次抛掷向 上的点数分别为 x、y,logx2y=1”为事件 B,则满足 logx2y=1 的 x、y 有 (2,1),(4,2),(6,3)三种情况,所以 P(B)= 3 1 = ,即第一次、第二次抛掷 36 12

1 向上的点数分别为 x、y 满足 logx2y=1 的概率是 . 12 (3)此问题中含有 36 个等可能基本事件,记“点(x,y)在直线 x-y=3

的下方区域”为事件 C,则由图下表可知,事件 C 中含有其中的 3 个等可 能基本事件,所以 P(C)= 1 概率为 . 12 3 1 = ,即点(x,y)在直线 x-y=3 的下方区域的 36 12


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