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5.4.4倒序相加0.5课时


5.4 数列求和(5) 例 7 已知函数 f ( x) ?

ax a ? a
x

?a ? 1? ,则 S n = f (0) ?

1 2 n ?1 f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? f (1) = n n n

答案:

n ?1 2


即学即练: 1. S=

12 22 32 ? ? ? 12 ? n 2 22 ? (n ? 1) 2 32 ? (n ? 2) 2

?

n2 = n 2 ? 12

解: S ?

12 22 32 ? ? ? 12 ? n 2 22 ? (n ? 1) 2 32 ? (n ? 2) 2

?

n2 n 2 ? 12



n2 (n ? 1) 2 (n ? 2) 2 S? 2 2? ? ? n ? 1 (n ? 1) 2 ? 22 (n ? 2)2 ? 32
①+②得: S 课后练习: 1.(2010·襄樊) 已知 f ( x) ? 答案:1 005 2. S=

12 ? 2 1 ? n2



?

n 2

5x 5 ? 5
x

,则 f (

1 2 2009 2010 )? f( ) ? ?? ? f ( )? f( ) =________. 2011 2011 2011 2011

12 22 32 ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82

?

102 = 102 ? 12

12 22 32 解: S ? 2 ? ? ? 1 ? 102 22 ? 92 32 ? 82 102 92 82 S? 2 2? 2 ? ? 10 ? 1 9 ? 22 82 ? 32
①+②得: S

102 ? 2 2 10 ? 1 12 ? 2 1 ? 102





?5
1 5.4 数列求和

3.已知 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 ,则 S n = f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 答案: n ? 1 4.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? A. n(2n ? 1) 法一:代特值 法二:倒序相加;
2 法三:由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,则 a n ? 2 n ,

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1) = n

,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,

? log2 a2n?1 ?
2



) D. (n ? 1)
2

B. (n ? 1)

2 C. n

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2
答案:C 5.设 f ( x) ?

x2 , 1 ? x2

1 1 1 求: f ( 2010 ) ? f ( 2009 ) ? ?? f ( 1 ) ? f (2010 ). 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? ? ? f (2009

【解题思路】观察 f ( x ) 及 f ? 【解析】? f ( x ) ? 其它参考练习: 1.已知 f ( x) ?

1 ?1? ? 的特点,发现 f ( x ) ? f ( ) ? 1 . x ? x?

x2 1 ,? f ( x ) ? f ( ) ? 1 .原式 ? 1 ? (2010? 1) ? 2009 2 x 1? x

1 2x ? 2

.则 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) =

2.已知函数 f ( x) ?

ax ax ? a

?a ? 1?

(1)计算 f (

1 2 3 9 ) ? f ( ) ? f ( ) ? .......? f ( ) 的值; 10 10 10 10

(2)证明函数 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数. 1 解:? f (1 ? x) ? ○

a1? x a
1? x

? a

?

a a ? aa
x

?

a a ? ax
5.4 数列求和

2

? f ( x) ? f (1 ? x) ?

ax ax ? a

?

a a ? ax

?1

1 9 2 8 3 7 4 6 ? f ( ) ? f ( ) ? 1, f ( ) ? f ( ) ? 1 f ( ) ? f ( ) ? 1 , f ( ) ? f ( ) ? 1 10 10 10 10 10 10 10 10
1 2 3 9 a 9 5 ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? .... ? f ( ) ? 4 ? f ( ) ? 4 ? ? 10 10 10 10 10 a? a 2
2 证明:化简 f ( x) ? 1 ? ○

a a ? a
x

,设任意 x1 , x 2 ? R ,且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

a a x2 ? a

?
1

a a x1 ? a
2

?
1

a (a x1 ? a x2 ) (a x2 ? a )(a x1 ? a )
2

? a ? 1 ,又 x1 ? x 2 ,? a x ? a x ? a x ? a x ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
故 f ( x) 在 R 上是增函数. 倒序相加其它练习:
1 2 3 2 n n?1 1.设 n ? N ,则 Cn ? Cn 6 ? Cn 6 ? ? ? Cn 6 ?
?

1 n (7 ? 1) 6

1 2 3 2.求和:2 Cn ? 5Cn ? 8Cn ?

n ? (3n ?1)Cn
1 2

3.设 an ? 1 ? q ? q2 ? 用 n 和 q 表示 An 解:依题意 an ?

? qn?1 (n ? N * , q ? ?1) , An ? C na1 ? C na2 ?

? C nan ,

n

1 ? qn , 1? q

An ?
?
?

1 ? q 1 1 ? q2 2 ? ? 1? q Cn 1? q Cn
1 1 2 [(C n ? C n ? 1? q
1 [2n ? (1 ? q) n ] 1? q

?
n

1 ? qn n 1? q Cn
1 2 n n

? C n) ? (qC ? q 2C ?

? q n C n)]

n

1 2 3 4.已知数列 ?a n ?的通项公式为 a n = Cn ? 2Cn ? 3Cn ?
?

n ,求数列 ?a n ? 的前 n 项和. ? nCn

1 2 2 3 3 n n 5. (天津卷 05)设 n ? N , an ? Cn 5 ? Cn 5 ? Cn 5 ? ? ? Cn 5 ,求 ?an ?的前 n 项和.

3

5.4 数列求和

1 2 3 6.求和: 4Cn ? 7Cn ?10Cn ?

n ? (3n ?1)Cn
11? 2 k 2k ?2 C5 ? A11 5 2 3 2 m k ?3 k ? ? x ) 的常数项,其中 m 是 ,公差为 ( 2x 5 100

7.(理)等差数列 {an } 的首项为

7755 ? 15 除以 19 的余数.
(1)求数列 {an } 的通项公式 a n ;
0 1 2 2009 (2)求值: a1C2009 . ? a2C2009 ? a3C2009 ? ? ? a2010 C2009

(理) (1) k ? 2 ? a1 ? 1 ? m ? 5 ? d ? ?4 ? an ? 5 ? 4n …………………6 分
0 1 2009 (2)设 S ? a1C2009 , ? a2C2009 ? ? ? a2010 C2009 2009 2008 0 S ? a2010 C2009 ? a2009 C2009 ? ? ? a1C2009

? a1 ? a2010 ? a2 ? a2009 ? ??
0 1 2009 ? 2S ? (a1 ? a2010 )C2009 ? (a2 ? a2009 )C2009 ? ? ? (a2010 ? a1 )C2009 0 1 2009 ? (a1 ? a2010 )(C2009 ? C2009 ? ? ? C2009 )

又? a1 ? a2010 ? a1 ? a1 ? 2009 d ? 2 ? 8036? ?8034,

? 2S ? ?8034? 2 2009 ,? S ? ?8034? 2 2008 ? ?4017? 2 2009 .……12 分
8. (文)已知数列 {an } 是以 a 1 为首项, q 为公比的等比数列,其中 q ? 1 .
0 1 2 0 1 2 3 (1)求和:① a1C2 ; ② a1C3 . ? a 2 C2 ? a3C2 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3

(2)利用(1)的结果,概括出关于正整数 n 的一个结论,并给出证明.
0 1 2 0 1 2 2 解(1)① a1C2 ? a2C2 ? a3C2 ? a1 (C2 ? C2 q ? C2 q ) ? a1 (1 ? q) 2 ………2 分 0 1 2 3 0 1 2 2 3 3 ② a1C3 ? a2C3 ? a3C3 ? a4C3 ? a1 (C3 ? C3 q ? C3 q ? C3 q ) ? a1 (1 ? q) 3 …4 分

(2) a1Cn ? a2 Cn ? ? ? an?1Cn ? a1 (1 ? q) ………………………………………6 分
0 1 n n 0 1 n 0 1 n n 证明: a1Cn ? a2Cn ? ? ? an?1Cn ? a1 (Cn ? Cn q ? ? ? Cn q ) ? a1 (1 ? q) n 0 1 n ? a1Cn ? a2Cn ? ? ? an?1Cn ? a1 (1 ? q) n …………………………………………12 分

9.已知 1 ? 2

C

1 n

? 22 C n ?

2

? 2n C n ? 2187 ,求 C n ? C n ?

n

1

2

? C n 的值。

n

答案: n ? 7; 10.求

7 原式 ? 2 ? 1

C

2 6

? 9C 6 ? 92 C 6 ? 93 C 6 ? 94 C 6 的值。答案:12345
4 5.4 数列求和

3

4

5

6

5

5.4 数列求和


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