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高中数学综合学习与测试(一)北师大版选修4-1


1. 在△ABC 中,∠A=60°,BE⊥AC 于 E,CD⊥AB 于 D,连接 DE,则 A.
1 2

DE ?( BC



B.

1 3

C.

2 3

D.

1 2
?(


2. 四边形 ABCD 中, AB//CD,?DAB ? ?DBC , AB=4, BD=5, S ?ABD : S A 则 B C D A.
16 25



B.

4 5

C.

16 41

D.

25 41
C

5. 圆 O 的内接四边形 ABCD 的对角线 AC ? BD, OE ? AB 于 E,则( A. DC=OE C. 2DC=OE ) B. DC=2OE
A D F

O

E

B

D. DC=3OE

8. 在⊙O 中,直径 AB、CD 互相垂直,BE 切⊙O 于 B,且
C

BE=BC,CE 交 AB 于 F,交⊙O 于 M,连结 MO 并延长,交⊙O 于 N,则下列 结论中,正确的是( A. CF=FM ) C. ⌒的度数是 22.5° BM
A

N

F

O
M

B

B. OF=FB

D. BC∥MN

D

E

11. 若三角形三内角之比为 1:2:3,则它的三边长之比是______。 13. 求证:圆外切平行四边形是菱形。 14. 已知:AB 是⊙O 的直径,ED 切⊙O 于点 D,EM⊥AB 于 M,交 AD 于 C,交⊙O 于 F,求证:EC=ED。 15. 在⊿ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D,做 DE⊥AC 于 E, 求证:DE 是⊙O 的切线。
1

参考答案: 1. A ;2. C ;3. C ;4. B ;5. B ;6. C ;7. D ;8. C ; 9. 11.
90? ,45? ,90? ,135? ; 1: 3 : 2;

10. 12.

3 S ; 8 21, 14 14 ; 29

13. 提示:⊿AOE~⊿COF,⊿BOE~⊿BOF,可推得 AE=CF=CG=AH,BE=BF=DG=DH, 继而推得 AB=BC=CD=DA。
E
D

F

D

O A C

C A B M O

E

F

B

14. 提示:如图所示,连 OD,证∠ODA=∠A,∠EDC= ECD, 可得 EC=ED。 (法 2 :连接 BD) 15. 提示:如图所示,连 AD、OD,证明 ED⊥OD。
A



5

1

O

E 4 3 C D B 2

2

综合学习与测试(二)
1. ( Rt△ABC 中,∠C 为直角,CD 是斜边 AB 上的高,AC=5,BC=8,则 S ?ACD ? S ?CBD ) A.
5 8

B.

25 64

C.

25 39

D.

25 89

2. 如图,ABCD 是边长为 4 的正方形,
AP 1 ? , PQ ? PC ,则 PQ 的长是( PB 3



D

C

A.

4 5
4 3

B.

5 4
3 4

Q

C.

D.

A

P

B

5. AB//CD,AE//CF,连结 BE、DF,则( A. ?B ? ?E C. BF//ED B. ?D ? ?E


A

B E

D. BF 与 DE 相交

O

D C F

6. 如图,⊿ABC 的内切圆与三角形各边切于点 D,E,F, 且∠FOD=∠EOD=135°,则⊿ABC 是( )
F

A

E O

3
B D

C

A.等腰三角形 C.直角三角形

B.等边三角形 D.等腰直角三角形
D
B
F

7. AD、AE 和 BC 分别切⊙O 于 D、E、F,如果 AD=20, 则△ ABC 的周长为( A. 20 B. 30 ) C. 40 D. 35
1 2
B

A

C
E

8. 圆 O 为△ABC 的内切圆,∠C=90°,AO 的延长线 交
D E

O

BC 于点 D,AC=4,CD=1,则圆 O 的半径为()
C

4 A. 5

5 B. 4

3 C. 4

5 D. 6

A

9. Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,若 AC:AB=3:4,则 BD:CD=_______。 10. 若△ABC 和△ABD 同时内接于圆 O,则圆心 O 是这两个三角形的___________。 11. 在△ABC 中,O 是其外心,BC=24cm,O 到 BC 的距离是 5cm,则△ABC 的外接圆 半径是______。 12. 已知:从圆外一点 P,作切线 PA,A 为切点,从 PA 中点 B 作割线 BCD,交圆于 C、D,连结 PC、PD,分别交圆于点E、F,求证:EF//PA。

4

E

A

A O D F C B
O E

F

D C B

P

14.

AB 是⊙O 直径,过 A 作切线,过 B 作割线交⊙O 于 E,交切线于 F,过 B 再作

割线交⊙O 于 C, 交切线于 D, 求证:BE ? BF ? BC ? BD
M

15. AB 是圆 O 的一条弦,过弧 AB 的中点 M 任意作 两条弦 MR、MS,分别与弦 AB 交于点 E、F,

A

E

F

B

O

求证:E、R、S、F 四点共圆。 参考答案: 1. B;2. B ;3. A ;4. C ;5. C ; 6. 9. 16:9 ; 10. 外心 ; 11.

R S

D ; 7. C ; 8. A ; 13cm ;

12. 提示:由切割线定理即可
M A E F

B

O R

13. 提示: 证△ABM~△DEA, 用射影定理即可。 14. 提示:连结 AE、AC,利用射影定理可证。 15. 提示:连接 OM、RS,过 M 作切线 MC。

S

5

综合学习与测试(三)
1. 已知⊙O 的半径为 10cm,如果一条直线和圆心 O 的距离为 10cm,那么这条直 ) C. 相交 D. 相交或相离

线和这个圆的位置关系为( A. 相离 B. 相切

2. 若△ACD~△ABC, 则下列式子中成立的 ( ) A. CD2 ? AD ? DB B. AC 2 ? AD ? AB C. AC ? AD ? AB ? CD D. AC ? BC ? AB ? AD 3. PQ//RS//AC, RS=6, PQ=9, 3QC=SC, AB= 则 (
1 A. 5 4 3 B. 6 4
A D B C





Q B C A

P

C. 7

1 2

D.

5
S R

4. 如右图,A、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线,
O
6

B A C

∠B=70°,则∠BAC 等于( A. 70° B. 35°

) C. 20° D. 10°

6. 如图,PA 切⊙O 于 A,PB 切⊙O 于 B,OP 交⊙O 于 C, 下列结论中,错误的是( A. ∠1=∠2 )
O

A 1 C 2 B

P

B. PA=PB

C. AB⊥OP

D. PA2 ? PC·PO

7. Rt△ABC 中,∠C 为直角,CD 是斜边 AB 上的高,AC=5,BC=8,则 S ?ACD ? S ?CBD ( ) A.
5 8

B.

25 64

C.

25 39

D.

25 89

11. 如图,AB、AC 是圆 O 的两条切线,切点分别为 B、C,D 是优弧 BC 上一点,若 ∠BAC=80°,则∠BCD=______°。

B D

O

A

C

13. 在△ABC 中,BD 是边 AC 的中线,BE=AB,且 AE 与 BD 交于 F 点, 求证:
AB EF 。 ? BC AF
7

A

A

D

C
F

F

D
H

E

B E C

E

A

B

B

G

C

14. 平行四边形 ABCD 中,E 点在 BA 延长线上,CE 交 AD 于点 F,∠ECA=∠D, 求证: AC ? BE ? CE ? AD 15. 锐角三角形 ABC 中,高 BE、CF 交于点 H, 求证: BA ? BF ? CA ? CE ? BC 2 参考答案: 1. 9. 11. B ;2. B ;3. A ;4. C ;5. 10. 12. 4 ; 椭圆 ; A ;6. B ;7. B ;8. A ;

矩形;等腰梯形 ; 50 ;

13. 提示:作 EK//BD,△BCD~△ECK。 14. 提示:证明△AFE~△DFC,△AFC~△ACD 即可。 15. 提示:添加辅助圆,如图所示,由割线定理可知
BA ? BF ? BE ? BH , CA ? CE ? CF ? CH ,

只需证 BE ? BH ? CF ? CH ? BC 2 ,作高 AG 和辅助圆 CEHG 和辅助圆 BGHF,得
BC ? BG ? BE ? BH , CB ? CG ? CF ? CH ,两式相加可证。
8

综合学习与测试(四)
1.
AP 在圆 O 的直径 CB 延长线上取一点 A, 与圆 O 切于 P, AP 且∠APB=30°, ? 3 ,

则 CP=( ) A.
3

B. 2 3

C. 2 3 ? 1

D. 2 3 ? 1

2. 如图,已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30°,过 C 点的切线
C

PC 与 AB 的延长线交于 P,PC=5,则⊙O 的半径为( A.
5 3 3

) D. 5

A

O

B

P

B.

5 3 6

C. 10

3. 已知 AB 是⊙O 的直径,弦 AD、BC 相交于点 P,那么 CD︰AB 等于∠BPD 的( A. 正弦 B. 余弦 C. 正切 D. 余切 )



4. 用一个过圆锥面顶点的平面截圆锥面,则截线为( A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线

D. 两条相交直线 )

⌒ 5. A、B、C 是⊙O 上三点,AB的度数是 50°,∠OBC=40°,则∠OAC 等于( A. 15° B. 25° C. 30° D. 40°
D

6. AD、AE 和 BC 分别切⊙O 于 D、E、F,如果 AD=20, 则△ ABC 的周长为( A. 20 B. 30 )

B
F

A

C

C. 40

1 D. 35 2
9

E

7. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为 1,则长轴的最小值 是( ) A. 1 B.
2

C. 2

D. 2 2

8. 若双曲线的两条准线于实轴的交点是两顶点间线段的三等分点,则离心率为 ( A. 9. )
3

B. 2

C. 3

D. 2 3

AB 是圆 O 直径,C 是圆周上一点,弧 AC=

? ,OD⊥BC,D 为垂足,且 OD=10, 3

则 AC=_____,AB=_____。 13. 已知:AB 是圆 O 的直径, DA ? AB 于 A,DA//BC,且 DO ? OC , 求证:DC 是圆 O 的切线。
D A
C O B E G D A

O

F

C

B

15.

△ABC 内接于圆 O,AC 是直径,以 AO 为直径的圆 D 交 AB 于点 E,交 BO 的延

长线于点 F,EG 切圆D于E,交 OB 于 G, 求证: (1)AE=BE ; (2)EG⊥OB ; (3) 2 AE 2 ? GF ? AC

10

参考答案: 1. A ;2. D ; 3. D ;4. D ;5. A ;6. C ;7. D ;8. C ; 9. 11. 20, 40 ; 10. 144 ; 12.
2 R , 3 3 R ,6 R ;

143 , 3 15 ;

13. 提示:证明△BCO~△ACO 和 Rt△BCO~Rt△OCD, ?OCB ? ?OCD ,所以 O 到 CD 的距离等于半径,即可证明。 14.
x2 x2 y2 ? y 2 ? 1 ,提示:设椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,设与 x ? y ? 5 ? 2 ? 0 平行的 4 a b

直线为 x ? y ? m ? 0 ,联立解得 m ? 5 , b ? 1 。 15. 提示: (1)连 OE; (2)连 DE; (3)连 EF,证△FGE~△ABC,得 又 AB=2AE,EF=AE,所以
GF AE 。 ? 2 AE AC GF EF , ? AB AC

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11


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