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河北省正定中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题


高一第二学期期末考试
数学试题 第I卷 客观题(60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题所给的四个选项 中,只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.) 1. 已知集合 A = {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}, B ? {x | 2 ? x ? 4} ,则 A I B ?

A .

(1,3)

B. (1,4)

C. (2,3)

D. (2,4)

2. 两直线 (2m ? 1) x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 垂直,则 m 的值为

A.0

B.

6 11

C.

6 13

D. 0或

6 13

3. 已知不重合的直线 m、l 和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? .给出下列命题: ①若 ? / / ? ,则 m ? l ;②若 ? ? ? ,则 m / / l ;③若 m ? l ,则 ? / / ? ; ④若 m / / l ,则 ? ? ? ;其中正确命题的个数是
?

A .1
4.

B. 2

C. 3

D. 4
2 主 (主 )主 主

1 1 1 主 (主 )主 主

某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积 是

A. 2? 5
5.

B. 5

C. 4 ? 5

D. 2 ? 2 5

主主主

? x ? y ? 0, ? 已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若 z ? ax ? y 的最大值为4,则 a ? ? y ? 0. ?
A. 2
B. 3
a

C. ?2
b

D. ?3
c

?1? ?1? 6. 设 a,, b c 均为正数,且 2 ? log 1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log 2 c ,则 ?2? ?2? 2 2
A. a ?b?c
B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c

1

7. 将函数 y ? 3 cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得 到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

A.
8.

π 12

B.

π 6

C.

π 3

D.

5π 6

一条光线从点 (?2, ?3) 射出,经 y 轴反射与圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切,则反射 光线所在的直线的斜率为
5 3 A. ? 或? 3 5
3 3 B. ? 或 ? 2 2 5 4 C. ? 或 ? 4 5 4 3 D. ? 或 ? 3 4

?a ? 9. 已知数列 ? a n ?满足 a2 ? 102, an ?1 ? an ? 4n, (n ? N* ) ,则数列 ? n ? 的最小值是 ?n?

A . 25  
10.

 

B. 26

C. 27 

  

D. 28

三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球O的表面上, SA ? 平面ABC , AB ? BC , 又 SA ? AB ? BC ? 1 ,则球 O 的表面积为

A.
11.

3 ? 2

B.

3 ? 2

C. 3 ?

D. 12 ?

已知数列 ?an ?满足 a n ? log n ?1 (n ? 2) (n ? N * ) ,定义:使乘积 a1 ? a2 ? a3 L ak 为正 整数的 k (k ? N* ) 叫做“期盼数”,则在区间 ? 1,2011?内所有的“期盼数”的和 为

A . 2036      B. 4076     

C. 4072     

D. 2026

12. 已知圆 O 的半径为1, PA, PB 为该圆的两条切线, A, B 为两切点,那么 uu v uuv PAgPB 的最小值为

A . ?3 ? 2 2

B. ?3 ? 2

C. ?4 ? 2 2

D. ?4 ? 2

2

第II卷

主观题(90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案写在答题纸上 .)

r r r r r r r r 1 13. 设向量 a, b 满足| a |=| b |=1, a ? b = ? ,则 a ? 2b ? ______. 2
14.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则
sin 2 A ? sin C



15. 已知在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 是棱 A1 B1 的中点,则直线 AE 与平面
BDD1 B1 所成角的正弦值是

.
1 ? an , {an } 的前80项的和等于 1 ? an

a1 ? 2, an ?1 ? 16.数列 {an }满足则

.

三、解答题(本大题共6小题,共70分.) 17.(本小题满分10分)设圆上的点 A(2,3) 关于直线 x ? 2 y ? 0 的对称点仍在圆 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交的弦长为 2 2 ,求圆的方程.

18.(本小题满分12分)设 f ( x) ? sin x cos x ? cos 2 ( x ? ) . 4 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;
A (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( ) ? 0, a ? 1 ,求 2
?ABC 面积的最大值.

?

3

19.(本小题满分12分)如图,四面体 ABCD 中, O, E 分别 BD, BC 的中点,
CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2 .

(Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦 值; (Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.

4

20.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线

l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1 ,圆心在 l 上.
(Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切 线,求切线的方程; (Ⅱ)若圆 C 上存在点 M ,使 | MA |? 2 | MO | ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
O

y A l

x

21.(本小题满分12分)如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE , G, H 分别 为 AC , BC 的中点. (Ⅰ)求证: BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)若 CF ? 平面 ABC , AB ? BC , CF ? DE ,

?BAC ? 45? ,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(
锐角)的大小.

2 22.(本小题满分12分)数列 ?an ?满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 6an ? 6(n ? N ? ) ,

设 cn ? log 5 (an ? 3) . (Ⅰ)求证: ?cn ?是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ?的通项公式; 5

(Ⅲ)设 bn ?

1 1 1 ? 2 ,数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? ? . an ? 6 an ? 6an 4

高一下期末考试答案 1----12CCBDA 13. 3 14.1 ABDBC 15.
10 10

DA 16. -70 2

17. 解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r, ∵点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点A′仍在这个圆上, ∴圆心(a,b)在直线x+2y=0上,.......2分 ∴a+2b=0, ..........4分 ① ②

(2-a)2+(3-b)2=r2. 又直线x-y+1=0截圆所得的弦长为2 2, ∴r2-(
a-b+1 2 )2=( 2)2

..........6分



解由方程①、②、③组成的方程组得:
Error!或Error!..........8分

∴所求圆的方程为 (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244...........10分
1 1 ? 1 1 1 1 18. f ( x) ? sin 2 x ? [1 ? cos(2 x ? )] ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 2 2

由 2 k? ?

?
2

? 2 x ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 得 k? ?

?
4

? x ? k? ?

?
4

,k ?Z ,

6

则 f ( x) 的递增区间为 [k? ?

?

, k? ? ], k ? Z ; 4 4

?

由 2 k? ?

?
2

? 2 x ? 2 k? ?

3? ? 3? , k ? Z 得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 4 4

则 f ( x) 的递增区间为 [k? ?

?
4

, k? ?

3? ], k ? Z . 4

A 1 1 ? (Ⅱ)在锐角 ?ABC 中, f ( ) ? sin A ? ? 0,sin A ? , A ? ,而 a ? 1, 2 2 2 6

由余弦定理可得 1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
6

? 2bc ? 3bc ? (2 ? 3)bc ,当且仅当 b ? c

时等号成立,即 bc ?

1 ? 2? 3, 2? 3

1 1 ? 1 2? 3 , S ?ABC ? bc sin A ? bc sin ? bc ? 2 2 6 4 4

故 ?ABC 面积的最大值为 19. (I)证明:连结OC

2? 3 . 4

? BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ? BO ? DO, BC ? CD,? CO ? BD.

在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. 而 AC ? 2,

? AO 2 ? CO 2 ? AC 2 , ??AOC ? 90o , 即 AO ? OC.

? BD ? OC ? O,

? AO ? 平面 BCD

(II)解:取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知 ME∥AB, O E∥D C
? 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在 ?OME 中,

EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
1 AC ? 1, 2

? OM 是直角 ?AOC 斜边AC上的中线,? OM ?

7

?

? cos ?OEM ?

2 , (III)解:设点E到平面ACD的距离为 h. 4
A

?VE ? ACD ? VA?CDE , 1 1 ? h.S ?ACD ? . AO.S ?CDE . 3 3
在 ?ACD 中, CA ? CD ? 2, AD ? 2,
B

M O D C

1 2 7 ? S ?ACD ? ? 2 ? 22 ? ( ) 2 ? . 2 2 2

E


3 2 ? 21 . 7 7 2

1 3 2 3 AO ? 1, S ?CDE ? ? ?2 ? , 2 4 2

?h ?

AO.S ?CDE ? S ?ACD

1?

? 点E到平面ACD的距离为

21 . 7

? y ? 2x ? 4 20.解:(1)由 ? 得圆心C为(3,2),∵圆 C 的半径为 1 ?y ? x ?1
∴圆 C 的方程为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为 y ? kx ? 3 ,即 kx ? y ? 3 ? 0 ∴

3k ? 2 ? 3 k ?1
2

? 1 ∴ 3k ? 1 ? k 2 ? 1 ∴ 2k (4k ? 3) ? 0 ∴ k ? 0 或者 k ? ?

3 4

3 ∴所求圆C的切线方程为: y ? 3 或者 y ? ? x ? 3 即 y ? 3 或者 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 4

(2)解:∵圆 C 的圆心在在直线 l : y ? 2 x ? 4 上,所以,设圆心C为(a,2a-4) 则圆 C 的方程为: ( x ? a ) 2 ? ?y ? (2a ? 4)? ? 1
2

又∵ MA ? 2 MO ∴设M为(x,y)则 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 x 2 ? y 2 整理得:

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 设为圆D
∴点M应该既在圆C上又在圆D上
2

即:圆C和圆D有交点

∴ 2 ? 1 ? a 2 ? ?(2a ? 4) ? (?1)? ? 2 ? 1
z

8

D E

F

由 5a 2 ? 8a ? 8 ? 0 得 x ? R 由 5a 2 ? 12a ? 0 得 0 ? x ?
? 12 ? 终上所述, a 的取值范围为: ?0, ? ? 5?

12 5

21. 解:(Ⅰ)证明:连接DG,DC,设DC与GF交于点T. 在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE , 则 AC ? 2 DF , 而G是AC的中点,DF//AC,则 DF / /GC , 所以四边形 DGCF 是平行四边形,T是DC的中点,DG//FC. 又在 ?BDC ,H是BC的中点,则TH//DB, 又 BD ? 平面 FGH , TH ? 平面 FGH ,故 BD / / 平面 FGH ; (Ⅱ)由 CF ? 平面 ABC ,可得 DG ? 平面 ABC 而 AB ? BC , ?BAC ? 45? , 则 GB ? AC ,于是 GB, GA, GC 两两垂直,以点G为坐标原点, GA, GB, GC 所在的 直线 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB ? 2 ,则 DE ? CF ? 1, AC ? 2 2, AG ? 2 ,
B (0, 2, 0), C (? 2, 0, 0), F (? 2, 0,1), H ( 2 2 ,? , 0) , 2 2

?? 则平面 ACFD 的一个法向量为 n1 ? (0,1, 0) ,

u u r uuu r ? 2 2 ? u u r x2 ? y2 ? 0 ? ?n2 ? GH ? 0 设平面 FGH 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? u ,即 ? 2 , 2 u r uuu r n ? GF ? 0 ? ? ? 2 ? ? 2 x2 ? z2 ? 0

u u r 取 x2 ? 1 ,则 y2 ? 1, z2 ? 2 , n2 ? (1,1, 2) ,
u r u u r cos ? n1 , n2 ??
为 60? .
2 2 22.解:(Ⅰ)由 an ?1 ? an ? 6an ? 6, 得 an ?1 ? 3 ? (an ? 3) .  

1 1 ? ,故平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小 1?1? 2 2

? log 5 (an ?1 ? 3) ? 2 log 5 (an ? 3) ,即  Cn ?1 ? 2Cn ,
9

??Cn ?是以2为公比的等比数列     ………4分
(Ⅱ) 又 C1 ? log 5 5 ? 1     ? Cn ? 2n ?1 即 log 5 (an ? 3) ? 2n ?1 ,             ? an ? 3 ? 52 .   故 an ? 52 ? 3.          …………8分 (Ⅲ)? bn ?
1 1 1 1 ? 2 ? ? , an ? 6 an ? 6an an ? 6 an ?1 ? 6
n?1 n?1

?Tn ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 2n .     a1 ? 6 an ?1 ? 6 4 5 ?9



1 ? 0 ? T ? ? .     …………12分 n 4 52 ? 9
n

1

10


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