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解三角形.ppt


解三角形

正余弦推论的应用
三角形解的个数的确定
求角

解 三 角 形

求三角形中基本量 判断三角形形状

求边 求面积

解三角形中的交汇问题
解三角形的实际应用

测量距离 测量高度 测量角度

用正、余弦定理解三角形 一般情况下, 1.正弦定理可以用来解两种类型的三角问题: (1)已知两角和任意一边; (2)已知两边和其中一边的对角。 2.余弦定理可解以下两种类型的三角形: (1)已知三边; (2)已知两边及夹角。

例3. 钝角 ?ABC中, a ? 1, b ? 2, 则最大边 c的取值 范围是 5 ? k ? 3

a ?b ?c 5?c 解:由余弦定理得 cosC ? ? 2ab 4 2 5?c ? C是最大角钝角 ? ? 0? c ? 5 4 ?a ? b ? c ?c ? 3 ? 5 ? c ? 3
2 2 2

2

二、三角形解的个数的确定
解斜三角形有下表所示的四种情况:
已知条件 一般解法 应用 定理 正弦 由A+B+C=180求出角A;根据正弦 定理求出b与c;在有解时只有一解 余弦 由余弦定理求出c;由正弦定理求 正弦 出A、B;在有解时只有一解 余弦 由余弦定理分别求出A、B;由内角 定理 和是180求出C;有解时只有一解 正弦 由正弦定理求出B;由内角和为180 定理 求出C;由正弦定理求出c;可有两 解,一解或无解

一边和两角 (如a、B、C)
两边和夹角 (如a、b、C) 三边 (a、b、c) 两边和其中 一边的对角 (如a、b、A)

在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三 种方法: (1)几何作图法 (2)用正弦定理确定另一边的对角

(3)利用余弦定理整理后是以c为未知数的 一元二次方程。因为 c 是三角形的边长,必 有c>0。所以,所给定的三角形的解就取决 于满足方程的未知数c正实数值得存在情况

在三角形中,已知a、b和A时解的情况如下:
A为锐角

A为钝角 直角

图 形

或 a>b a< 关 a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a>b a=b a 系 式 一个解 两个解 一个解 解 无解 一个 无解 解 个 数

例4.根据下列条件,判定三角形解的情况.
( 1)a ? 2 2 , b ? 2 3 , A ? 45? ; (2)a ? 11, b ? 22, A ? 30 ;
?

(3)a ? 18, b ? 20, A ? 150?

解法一:(几何作图法)分别如下图①、②、③
c
b=22
A B D A C

c
a=11
B b=20 A

解法二: (1)2 2 ? 2 3 ? ( 2)11 ? 22? 1 2

2 ? 6 ? ?ABC有两解 2 ? ?ABC有一解 ( 3) A ? 150? ? ?ABC无解

解法三 :

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
2 2

(1) 2 2 ? 2 3 ? c 2 ? 2 ? 2 3 ? c ? cos45? ? c 2 ? 2 6c ? 4 ? 0.解得 c ? 6 ? 2 ? ?ABC有两解

( 2) 112 ? 222 ? c 2 ? 2 ? 22 ? c ? cos 30? ? c 2 ? 22 3c ? 363 ? 0. 解得 c ? 11 3 ? ?ABC有一解
( 3) 182 ? 202 ? c 2 ? 2 ? 20 ? c ? cos150? ? c 2 ? 20 3c ? 76 ? 0. 解得 c ? ?10 3 ? 4 11 ? ? 10 3 ? 4 11 ? 0 ? ?ABC无解

例5. ?ABC中,已知 A ? 60 , b ? 4 3 , 为使此三角形只有
?

一个 , a满足的条件是( A. 0 ? a ? 4 3 C . a ? 4 3或a ? 6

c)
B. a ? 6 D. 0 ? a ? 4 3或a ? 6

点评:可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区,直接令关于C的一 元二次方程有一解,很容易少考虑a>b的情 况,以后做题时要注意。

三、求三角形基本量
求三角形基本量包括求三角形的内角、求 三角形的边、求三角形的面积这三类。在求基 本量时运用正余弦定理以及它们的推论利用已 知条件进行边角互化后求出未知量。在进行求 解过程中往往会与三角恒等变换知识结合,同 时要注意在解出结果后运用第二部分所讲的三 角形解的个数的判定来对结果进行取舍,得到 最终结果。

求三角形的边
例7. 在?ABC中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? , 求边 c.
解:方法一 (用正弦定理 ) a b a sinB 3 ? sin45? 3 ? ? ? sin A ? ? ? sin A sinB b 2 2 又? b ? a , ? B ? A, ? A ? 60? 或120?
? b sin C 2 sin 75 6? 2 ? ? 当A ? 60 时, C ? 75 ? c ? ? ? ? sinB sin45 2 ? b sin C 2 sin 15 6? 2 ? ? 当A ? 120 时, C ? 15 ? c ? ? ? ? sinB sin45 2

方法二 ?用余弦定理

?

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 ? 3 ? c 2 ? 2 3 cos45? 即c 2 ? 6c ? 1 ? 0 解之,得 c ? 6? 2 2

点评:此类问题求解需要主要解的个数的讨论,比 较上述两种解法,解法二比较简便。

求三角形的面积
1 例8.在?ABC中,已知 tan B ? 3 , cosC ? , AC ? 3 6, 3 求?ABC的面积 .
解:设 AB、BC、CA的长分别为 c、a、b 3 1 2 2 2 tan B ? 3 , 得B ? 60 , ? sinB ? , cos B ? 又sinC ? 1 ? cos C ? 2 2 3
?

2 2 b sinC 3 ? 8 ? sin A ? sin(B ? C ) ? sinB cosC 由正弦定理得 c ? ? sinB 3 2 3 1 1 2 2 3 2 1 ? cos B sinC ? ? ? ? ? ? ? S ?ABC ? bc sin A ? 6 2 ? 8 3 2 3 2 3 6 3 2 3 6?

四、判断三角形形状
判定三角形形状通常有两种途径:化边为角;化角为边 具体有如下四种方法:

①通过正弦定理实施边角转换;
②通过余弦定理实施边角转换;

③通过三角变换找出角之间的关系;
④通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的 讨论 已知边之间的关系 主要题型 已知角的三角函数关系 已知边与角的关系

已知边之间的关系
例 10. 在?ABC中 , 若 B ? 60?, 2b ? a ? c, 试 判 断 ?ABC形 状 。

解法一 : 由正弦定理,得 2 sinB ? sin A ? sinC ? B ? 60? ,? A ? C ? 120? 则A ? 120? ? C 代入上式,得 2 sin60? ? sin( 120? ? C ) ? sinC 3 1 展开,整理得: sinC ? cosC ? 1 2 2 ? sin( C ? 30? ) ? 1 ? C ? 30? ? 90? ? C ? 60? , 故A ? 60? ? ?ABC为正三角形

解法二 : 由余弦定理,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B a?c ? ? B ? 60 , b ? 2 ?a?c? ?? ? ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos60? ? 2 ?
2 2

整理,得 ?a ? c ? ? 0 ?a ? c 从而 a ? b ? c ? ?ABC为正三角形

总结:解法一是用正弦定理将边关系转化成角 的关系,运用三角变换找出角之间的关系;解 法二用余弦定理直接运用边的关系判断形状;

例13. 已知在 ?ABC中, a、b、c分别是角 A、B、C所对的 边, S是该三角形的面积,若
2

向量 m ? ( 2 sinB, cos 2 B ),

? B n ? ( 2 cos ( ? ),?1), 且m ? n ? 3 ? 1. 4 2 (1)求角 B的大小;
( 2)若角 B为锐角, a ? 6, S ? 6 3 , 求b的值 . B 2 ? 解:(1) 由 m ? n ? 3 ? 1 得 4 sinB cos ( ? ) ? cos2 B ? 3 ? 1 4 2 ? 1 ? cos( ? B ) 2 ? 4 sinB ? 1 ? 2 sin2 B ? 3 ? 1 ? 2 sinB ? 1 ? 3 ? 1 2 3 ? 2? ? sinB ? ? B ? 或B ? 2 3 3

1 3 ( 2) 由a ? 6, S ? 6 3 , 得 ac ? ?6 3 2 2
2 2 2

?c ? 4

1 由b ? a ? c ? 2ac cos ? 36 ? 16 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? 28 3 2 b ? 28 ? 2 7 .

?

点评:此题结合向量、三角变换的知识同时 运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向 量与解三角形的结合是高考的重点,同时考 察学生多方面的知识。

例15. 已知 AD是?ABC中?BAC的平分线 (如图). AB BD A 求证: ? AC DC
B C

D

1 AB ? AD si n? BD ?ABD AB 2 证明: ? ? ? DC ?ADC 1 AC AC ? AD si n? 2

点评:此题运用三角形面积公式推出了角 平分线定理。在立体几何中也经常用到解 三角形,立体几何中一般都是求三角形的 基本量,这里不再给出例题。


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