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三角函数图像和性质 教案


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函数

y=sin x

三角函数的图象和性质 y=cos x

y=tan x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 对称中心 对称轴

单调性

最值

由函数 y=sinx 的图象得到函数 y=Asin(?x+?)的图象的几种不同途径:

y ? sin x y ? A sin x y ? A sin wx

y ? A sin x y ? A sin wx y ? A sin(wx ? ? )

幅度 伸缩 左右平移

函数 图象

y=Asin ?wx ? ? ?

y=Acos ?wx ? ? ?

y=Atan ?wx ? ? ?

定义域 值域 周期性 奇偶性

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对称中心 对称轴

单调性

最值

考点一、图像平移 π 1、要得到函数 y=sin?2x-4?的图象,可以把函数 y=sin 2x 的图象(

?

?

)

π? 将函数 y=cos? ?2x+3?的图象怎样平移能得到函数 y=sin 2x 的图象?

变式 要得到函数 y ? 3 cos? 2 x ?

? ?

??

? 的图象,可以将函数 y = 3 sin2 x 的图象( 4?

)

A.沿 x 轴向左平移 右平移

? 单位 4

? 单位 8

B.沿 x 轴向右平移

? ? 单位 C.沿 x 轴向左平移 单位 8 4

D.沿 x 轴向

将函数 y ? sin( x ?

?
6

)( x ? R ) 的图象上所有的点向左平行移动 5? )( x ? R) 12

? 个单位长度,再把图象上各点的横 4

坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变),则所得到的图象的解析式为 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin( ? B. y ? sin( ?

x ? )( x ? R) 2 12

x 5? )( x ? R ) 2 12 x 5? )( x ? R ) D. y ? sin( ? 2 24

变式 将函数 y=sin(4x﹣ 平移 个单位,则所得函数是

)图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左

考点二、三角函数的单调性 例1 求函数 y=2sin ? x ?

? ?

??

? 的单调递减区间. 4?

变式 (1)求函数 y=cos ? x ?

? ?

??

? ,x∈[-π,π]的单调递减区间; 3?
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π x? 2、 求函数 y=3sin? ?6-4?单调区间。

变式

?? x ? y ? c o? s ? ? 的单调区间 ? 6 4?

.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? cos? 2 x ?

? ?

??
? 4?

⑵ y ? ?2 sin?

?x ?? ? ? ?3 4?

y=

1 π 2x sin( - ) 2 4 3

在△ ABC 中,a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“a<b”是使“cosA>cosB”成立的( A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.复合函数单调性 sinx 函数 y=2 的单调增区间是( )



变式

y= log 1
2

cos x

的单调减区间是(



4、W=1 是函数 f ?x ? ? cos wx 在区间 ?0, ? ?上单调递减的

条件。

在区间 ?0, ? ?上单调递减

单调区间

变式 函数 f ?x ? ? sin wx 在区间 ?0, 变式 考点三、三角函数的值域与最值

? ?? ? 上单调递减,则 w 的范围是 ? 4?

1、已知函数 y ? 2a cos? ? b ? 1 的最大值为 4,最小值为-1,求 a , b 的值.

π 变式 已知函数 f(x)=2asin(2x- )+b 函数的最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值. 3

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2、函数

值域是(



π π 变式 已知函数 f(x)=2sin(2x- )+1 的定义域为[0, ],值域是 3 2

考点四、周期 1、函数 y ? 3cos( x ? ) 的最小正周期是(

2 5

?

6



2、

y ? sin x 的最小正周期是(



变式

在函数 y ? sin 2 x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2 x ? ). D.

最小正周期为 ? 的函数的个数为( A . 1 个 B. 2 个 C. 3 个

2? 2? ) 、 y ? cos(2 x ? ) 中, 3 3

4个

3.设函数 f(x)=cosωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 象重合,则 ω 的最小值等于( )

个单位长度后,所得的图象与原图

变式 若将函数 y=tan(ωx+

) (ω>0)的图象向右平移 )

个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+



的图象重合,则 ω 的最小值为(

考点五、对称轴与对称中心 π? 1、函数 y=sin? ?2x-3?的对称轴方程是( π? 函数 y=cos? ?2x-3?的对称轴方程是(

),对称中心是(

)

),对称中心是(

)

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2、设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最 小值

? ,则 f ( x) 的最小正周期是 4

变式 若函数 y ? cos(? x ? A.

?
3

) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为
C.2

? ,则 ? 等于 2
D.4



1 2

B. 12

小结 对称轴 最大值、最小值 对城中心 函数值为零 对称中心、对称轴与周期的关系 3(2014?和平区模拟)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值是 4,最小值是 0,最小正周期是 直线 x= A. D. 变式 、 函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 ) 个单位, 得到的图象关于直线 x ? 的最小值为( A. ) B. 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( B. C . ) ,

?
6

对称, 则?

5? 12

11? 6

C.

11? 12

D.以上都不对

考点六、奇偶性 函数 上的最小值为( ) 向左平移 个单位后是奇函数,则函数 f(x)在

变式

函数 上的最小值为( )

向右平移

? 个单位后是偶函数,则函数 f 3

(x)在

考点七.由 y=Asin(ω x+ ? )的部分图象求其函数式:

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1、函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,其中 A>0,ω>0,|φ|<

,则其解析式为(



小结 : 最值确定 A,

根据对称轴、 对称中心可确定周期, 进而确定 w, <φ<

一点的坐标确定 ?

变式 函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,﹣ 是( )

)的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分别

已知函数 f(x)=Asin(2x+φ)的部分图象如图所示,则 f(0)=(



看图像看那些东西

考点八、最值 2 1、函数 y=sin x﹣sinx+3 的最大值是(



函数 y=sin x﹣sinx+3,

2

的最大值是(



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变式

已知函数 y=sin2x﹣3sinx+1(

),则函数的值域为(



考点九

y ? lg x ? sin x 的零点个数是

变式

x ? cos x 的根的个数是

练习 1、已知函数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)

(1)求函数的定义域; (2) 求函数的值域; (3) 求函数的周期; (4)求函数的最值及相应的 x 值集合; (5)求函数的单调区间; (6)若 x ? [0,

3? ] ,求 f ( x) 的取值范围; 4

(7)求函数 f ( x ) 的对称轴与对称中心;

1 π 2 试述如何由 y= sin(2x+ )的图象得到 y=sinx 的图象。 3 3
? +2x)(x∈[0, ? ])为增函数的区间是 6

3 函数 y=2sin(

(

)

4 求函数的单调区间 y=

1 π 2x sin( - ); 2 4 3

5 若 f(x)=asinx+b(a,b 为常数)的最大值是 3,最小值是﹣5,则 的值为(



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6(2015?安康二模)函数 f(x)=sin(2x+ A.f(x)图象关于直线 x= B.f(x)图象关于( C.f(x)图象向左平移 D.f(x)在(0, 对称

)则下列结论正确的是(



,0)对称 个单位,得到一个偶函数图象

)上为增函数

7(2014?河南模拟)设函数 直线 x= 对称,它的周期是 π,则( )

的图象关于

A.f(x)的图象过点(0, ) B.f(x)在[ ]上是减函数 ,0)

C.f(x)的一个对称中心是(

D.将 f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到函数 y=3sinωx 的图象

A.y=x2(x∈R) B.y=|sinx|(x∈R) C.y=cos2x(x∈R) D.y=esin2x(x∈R)

9 将函数

的图象向左平移

个单位后,得到函数 y=sin(2x+φ) )

的图象,则函数 y=sin(2x+φ)的一个对称中心为( A. B.

C.

D.

10 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,﹣π<φ<π)的部分图象如图所示,则函数 f(x) 的解析式为( )

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11、如下图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin(ω x+φ )+b (1)求这段时间的最大温差 y 温度/0C (2)写出这段曲线的函数解析式
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30 20 10 时间/h 6 10 14

o

x

12. (2014?河东区二模) 若函数 y=cosωx (ω∈N) 的一个对称中心是 ( A.2 B .3 C.6 D.9

, 0) , 则 ω 的最小值为 (



13 已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数

,则下列结论正确的是( B.f(x)是增函数

) D.f(x)的值域为[﹣1, +∞)

C.f(x)是周期函数

14.已知函数

上是减函数,则 ω 的取值范围是(



15 函数 f(x)=lg 是( A.最小正周期为 π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的偶函数 16 已知函数

) B. 最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 2π 的偶函数 ,则函数 f(x)的值域为( )

17.Sinx=

x ,x ? ?? 3? ,3? ? 的解的个数。 10

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