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高中数学必修2课件4.2.2圆与圆的位置关系


知识回顾:
直线和圆的位置关系及判定方法:

几何方法

代数方法
? x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? ? ? ? Ax ? By ? C ? 0 消去y(或x)

圆心到直线的距离d (点到直线距离公式)

px ? qx ? t ? 0

2

?d ? r : 相交 ? ? d ? r : 相切 ?d ? r : 相离 ?

?? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 : 相切 ? ? ? 0 : 相离 ?

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太阳

月亮

设想:如果把月亮与太阳看成同一平面内 的两个圆,那么两个圆在作相对运动的过 程中有几种位置关系产生呢?

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太阳 月亮

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观察两圆的相对位置和交点个数
1个 2个 1个 0个

0个

1个

2个

1个

0个

0

圆与圆的位置关系 :
圆和圆相离 圆和圆外切

设两圆圆心距离为d,半 径分别为r1,r2 交点个数
?

C1

?

C2

d ? r1 ? r2

C1

?

?

C2

d ? r1 ? r2
| r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2

圆和圆相交 圆和圆内切

C1

?

?

C2

C1

?

?

C2

d ?| r1 ? r2 |
d< | r1 ? r2 |

圆和圆内含

C1 C2

??

探究:圆与圆的位置关系
圆x2+y2=1 与 圆x2-4x+y2=0

圆与圆的位置关系的判定:
几何方法

代数方法

圆心距d (两点间距离公式)

两圆的方程组成 的方程组的实数 解的情况

比较d和r1,r2的 大小,下结论

例1、设圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x -4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的关系.
y

A
O

C2

B

x

C1

解法一:圆C1与圆C2的方程联立,得到方程组 2 2 ? x ? y ? 2 x ? 8 y ? 8 ? 0, ? ? 2 2 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? ①-②,得 x+2y-1=0, 由③,得
y? 1? x 2,
2



② ③

把上式代入①,并整理,得 x2 ? 2 x ? 3 ? 0.

方程④的判别式? ? ? ?2 ? ? 4 ? 1? ? ?3? ? 16 ? 0,
所以,方程④有两个不相等的实数根x1,x2分别代入方程 ③,得到y1,y2. 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2).

解法二: 把圆C1的方程化为标准方程,得 2 2 ? x ? 1? ? ? y ? 4 ? ? 25.

圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5. 把圆C2的方程化为标准方程,得

? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10.
2 2

圆C1的圆心是点(2,2),半径长r2= 10 . 圆C1与圆C2的连心线长为 ? ?1 ? 2?2 ? ? ?4 ? 2?2 ? 3 5, 圆C1与圆C2的半径之和是 r1 ? r2 ? 5 ? 10, 两半径之差是 r1 ? r2 ? 5 ? 10,

而5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10,即r1 ? r2 ? 3 5 ? r1 ? r2,
所以圆C1与圆C2相交,他们有两个公共点A,B.

变式1:求这两个圆的公共弦所在的
直线的方程
y

A
O

C2

B

x

C1

变式2:求这两个圆的公共弦长
y

A
O

C2

B

x

C1

变式2:求这两个圆的公共弦长
y

解法一:根据求得的A(-1,1), B(3,-1)则
AB ? (?1 ? 3) ? ?1 ? (?1)?
2 2

A

C2
O

?2 5

B

x

解法二:圆心c1(-1,-4)到直线x-2y1=0的距离

d?

?1 ? 8 ?1 12 ? 22

?2 5

C1

所以 AB ? 2 r12 ? d 2 ? 2 5

1、两圆x2+y2-6x=0和x2+y2+8y+12=0的位置关系( B



A.相离 B.外切 C.相交 D.内切
2、若圆x2+y2-2ax+a2=4和x2+y2-2bx+b2=1外离,则a,b满足的

a ? b >9 条件是____________.
2 2

3、两圆x2+y2 -2x=0与x2+y2-4y=0的公共弦所在直线的方程

X-2y=0 ___________.

反思总结
? 判断两圆位置关系 ? ?
几何方法
代数方法

各有何优劣,如何选用?

(1)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何?
内切或外切 (2)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何?

内含或相离
几何方法直观,但不能求出交点; 代数方法能求出交点,但Δ=0, Δ<0时,不能判断 圆的位置关系。

练一练:
1.点M在圆心为C1的圆x2+y2+6x-2y+1=0上,点N 在圆心为C2的圆x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN| 的最大值.
解:把圆的方程都化成标准形式,为 (x+3)2+(y-1)2=9 (x+1)2+(y+2)2=4 如图,C1的坐标是(-3,1),半径3;C2 的坐标是(-1,-2),半径是2, 所以,|C1C2|= (?3 ? 1) 2 ? (1 ? 2) 2 = 13. 因此,|MN|的最大值是
13 ? 5.
M

y

.C

1

O

.C

x

2

N

变式:
点M在圆C1: x2+y2-8x-4y+11=0,点N 在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上, 求 MN 的最小值.

小结:
1、研究两圆的位置关系可以有两种方法:

? 代数法:联立两者方程看是否有解 ? 几何法:判断圆心距与两圆半径的和与差的绝对值的大小 ?
2、会求两圆相交时的公共弦所在的直线的方程和公 共弦长。


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