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2012届高三理科数学一轮总复习第七章 不等式(教师用书)


第七章

不等式

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考试要求 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解 不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型; (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的 二次函数、一元二次方程的联系; (3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不 等式,会设计求解

的程序框图. 3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; (2)了解二元一次不等式组的几何意义,能用平 面区域表示二元一次不等式组; (3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性 规划问题,并能加以解决. 4.基本不等式: ?
? ?a ? b 2

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命题展望

不等式具有应用 广泛、知识综合、能 本章重点: 1. 用不等式的性质 比较大小; 2.简单 不等式的解法; 3. 二元一次不等式 组与简单的线性 规划问题; 4.基本 不等式的应用. 本章难点: 1. 含有参数不等式 的解法; 2.不等式 的应用; 3.线性规 力复合等特点.高考 考查时更多的是与函 数、方程、数列、三 角函数、解析几何、 立体几何及实际应用 问题相互交叉和综 合,将不等式及其性 质的运用渗透到这些 问题的求解过程中进 行考查. 线性规划是数学 应用的重要内容,高 考中除考查线性规划 问题的求解与应用 外,也考查线性规划 方法的迁移.

≥ ab (a,b≥0)

划的应用.

(1)了解基本不等式的证明过程; (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

知识网络

7.1 不等式的性质
典例精析
题型一 比较大小 【例 1】已知 a>0,a≠1,P=loga(a3-a+1),Q=loga(a2-a+1),试比较 P 与 Q 的大小. 【解析】因为 a3-a+1-(a2-a+1)=a2(a-1), 当 a>1 时,a3-a+1>a2-a+1,P>Q; 当 0<a<1 时,a3-a+1<a2-a+1,P>Q; 综上所述,a>0,a≠1 时,P>Q. 【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一,其解题步骤为:①作差; ②变形;③判断符号;④得出结论. 【变式训练 1】已知 m=a+ A.m<n 1 1 - (a>2),n=x 2(x≥ ),则 m,n 之间的大小关系为( 2 a-2 C.m≥n D.m≤n )

B.m>n

【解析】选 C.本题是不等式的综合问题,解决的关键是找中间媒介传递. 1 1 1- - m=a+ =a-2+ +2≥2+2=4,而 n=x 2≤( ) 2=4. 2 a-2 a-2 题型二 确定取值范围 α+β α-β π π 【例 2】已知- ≤α<β≤ ,求 , 的取值范围. 2 2 2 2 π π π α π π β π 【解析】因为- ≤α<β≤ ,所以- ≤ < ,- < ≤ , 2 2 4 2 4 4 2 4 π α+β π 两式相加得- < < . 2 2 2 π -β π π α-β π 又- ≤ < ,所以- ≤ < , 4 2 4 2 2 2 α-β π α-β 又因为 α<β,所以 <0,所以- ≤ <0, 2 2 2 π α+β π π α-β 综上- < < ,- ≤ <0 为所求范围. 2 2 2 2 2

【点拨】求含字母的数(式)的取值范围,一定要注意题设的条件,否则易出错,同时在变换过程中, 要注意准确利用不等式的性质. 【变式训练 2】已知函数 f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围. 【解析】由已知-4≤f(1)=a-c≤-1,-1≤f(2)=4a-c≤5. 令 f(3)=9a-c=γ(a-c)+μ(4a-c),
5 ? ?? ? ? 3 , ? ? ? 所以 ? ?? ? ? ? ? ?1 ?? ? 8 ? 3 ?

?? ? 4 ? ? 9 ,

5 8 故 f(3)=- (a-c)+ (4a-c)∈[-1,20]. 3 3 题型三 开放性问题 c d 【例 3】已知三个不等式:①ab>0;② > ;③bc>ad.以其中两个作条件,余下的一个作结论,则 a b 能组成多少个正确命题? c d bc-ad 【解析】能组成 3 个正确命题.对不等式②作等价变形: > ? >0. a b ab bc-ad (1)由 ab>0,bc>ad? >0,即①③?②; ab bc-ad (2)由 ab>0, >0?bc-ad>0?bc>ad,即①②?③; ab bc-ad (3)由 bc-ad>0, >0?ab>0,即②③?①. ab 故可组成 3 个正确命题. 【点拨】这是一类开放性问题,要求熟练掌握不等式的相关性质,并能对题目条件进行恰当的等价变 形. a c 【变式训练 3】a、b、c、d 均为实数,使不等式 > >0 和 ad<bc 都成立的一组值(a,b,c,d)是 b d _______________(只要写出符合条件的一组即可). 2 4 4 【解析】写出一个等比式子,如 = >0.此时内项的积和外项的积相等,减小 的分子,把上式变成不 1 2 2 2 3 2 -3 等式 > >0,此时不符合 ad<bc 的条件,进行变换可得 > >0,此时 2× 1 2 1 -2 (-2)<1× (-3).故(2,1,-3,-2)是符合要求的一组值.

总结提高
1.不等式中有关判断性命题,主要依据是不等式的概念和性质.一般地,要判断一个命题是真命题,必 须严格证明.要判断一个命题是假命题,只要举出反例,或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式 证明和推理过程中,关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系,要注意条件的弱化与加强,不可 1 1 1 1 1 1 想当然.如在应用 ab>0,a>b? < 这一性质时,不可弱化为 a>b? < ,也不可强化为 a>b>0? < . a b a b a b

2.题设条件含有字母,而结论唯一确定的选择题,采用赋值法解答可事半功倍. 3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法,变形是关键.

7.2 简单不等式的解法
典例精析
题型一 一元二次不等式的解法 【例 1】解下列不等式: (1)x2-2x-3>0; (2)已知 A={x|3x2 -7x+2<0},B={x|-2x2+x+1≤0},求 A∪B,(?RA)∩B. 【解析】(1)方程两根为 x1=-1,x2=3, 所以原不等式解集为{x|x<-1 或 x>3}. 1 1 1 (2)因为 A={x| <x<2},?RA={x|x≤ 或 x≥2},B={x|x≤- 或 x≥1}, 3 3 2 1 1 1 所以 A∪B={x|x≤- 或 x> },(?RA)∩B={x|x≤- 或 x≥2}. 2 3 2 【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密,要注意转化,同时要熟练掌 握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于 Δ>0 的不等式解集简称“大于取两端,小于取 中间”. 【变式训练 1】设函数 f(x)= ? 的解集为( ) B.[-3,-1] D.[-3,+∞)
?? 2( x ? 0) ? x ? bx ? c ( x ? 0 ),
2

若 f(-4)=f(0),f(-2)=0,则关于 x 的不等式 f(x)≤1

A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) C.[-3,-1]∪(0,+∞)

b 【解析】选 C.由已知对 x≤0 时 f(x)=x2+bx+c,且 f(-4)=f(0),知其对称轴为 x=-2,故- =-2 2 ?b=4. 又 f(-2)=0,代入得 c=4,故 f(x)= ?
?? 2( x ? 0) ? x ? 4 x ? 4 ( x ? 0 ),
2

分别解之取并集即得不等式解集为[-3,-1]∪(0,+∞). 题型二 解含参数的一元二次不等式问题 【例 2】解关于 x 的不等式 mx2+(m-2)x-2>0 (m∈R). 【解析】当 m=0 时,原不等式可化为-2x-2>0,即 x<-1; 当 m≠0 时,可分为两种情况:

2 (1)m>0 时,方程 mx2+(m-2)x-2=0 有两个根,x1=-1,x2= . m 2 所以不等式的解集为{x|x<-1 或 x> }; m (2 )m<0 时,原不等式可化为-mx2+(2-m)x+2<0, m+2 2 2 其对应方程两根为 x1=-1,x2= ,x2-x1= -(-1)= . m m m ①m<-2 时,m+2<0,m<0,所以 x2-x1>0,x2>x1, 2 不等式的解集为{x|-1<x< }; m ②m=-2 时,x2=x1=-1, 原不等式可化为(x+1)2<0,解集为?; ③-2<m<0 时,x2-x1<0,即 x2<x1, 2 不等式解集为{x| <x<-1}. m 综上所述: 2 当 m<-2 时,解集为{x|-1<x< }; m 当 m=-2 时,解集为?; 2 当-2<m<0 时,解集为{x| < x<-1}; m 当 m=0 时,解集为{x|x<-1}; 2 当 m>0 时,解集为{x|x<-1 或 x> }. m 【点拨】解含参数的一元二次不等式,首先要判断二次项系数的符号,其次讨论根的情况,然后讨论 根的大小,最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集. ax-1 【变式训练 2】解关于 x 的不等式 >0. x+1 【解析】原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0. 当 a=0 时,不等式的解集为{x|x<-1}; 1 当 a>0 时,不等式的解 集为{x|x> 或 x<-1}; a 1 当-1<a<0 时,不等式的解集为{x| <x<-1}; a 当 a=-1 时,不等式的解集为?; 1 当 a<-1 时,不等式的解集为{x|-1<x< }. a 题型三 一元二次不等式与一元二次方程之间的联系 【例 3】已知 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<3},求不等式 cx2+bx+a<0 的解集. 【解析】由于 ax2+bx+c>0 的解集为{x|1<x<3},因此 a<0,

b c b c 且 ax2+bx+c=0 的两根为 1、3,则- =1+3, =1× 3,即 =-4, =3. a a a a c b 又 a<0,不等式 cx2+bx+a<0 可以化为 x2+ x+1>0,即 3x2-4x+1>0, a a 1 解得 x< 或 x>1. 3 【点拨】解一元二次不等式时,要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数,明确一元二次不等 式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根. 【变式训练 3】 (2009 江西)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a, 且 b-a=2, k= b], 则 【解析】 2.作出函数 y= 9-x2和 y=k(x+2)- 2的图象, 函数 y= 9-x2 .

的图象是一个半圆,函数 y=k(x+2)- 2的图象是过定点(-2,- 2)的一条动直 线.依题意,半圆在直线下方的区间长度为 2,则必有 a=1,即 1 是方程 9-x2=k(x+2)- 2的根,代入得 k= 2.

总结提高
1.解一元二次不等式的一般步骤: (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数 大于零; (2)计算相应的判别式; (3)当 Δ>0 时,求出相应的一元二次方程的两根; (4)根据一元二次不等式的结构,写出其解集. 2.当含有参数时,需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如:是一元一次不等式还是一元二次不等 式;开口方向如何;根的判别式的正负;根的大小等. 3.要注意三个“二次”之间的联系,重视数形结合思想的应用.

7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
典例精析
题型一 平面区域 【例 1】已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞),且 f(4)=f(-2)=1,f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)
? a ? 0, ? 的图象如图所示,则平面区域 ? b ? 0 , 所围成的面积是( ? f (2a ? b) ? 1 ?

)

A.2

B.4

C.5

D.8 +∞)上是增函数.

【解析】 B.由 f′(x)的图象可知, 选 f(x)在[-2,0]上是减函数, 在[0, 因为 f(-2)=f(4)=1,所以当且仅当 x∈(-2,4)时,有 f(x)<f(-2)=f(4)=1.

作出可行域如图所示,其围成的图形面积为 4. 【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集,因而是各个不等式所表 示的平面区域的公共部分.
? x ? 0, ? 【变式训练 1】若 a≥0,b≥0,且当 ? y ? 0 , 时,恒有 ax+by≤1,则以 a,b 为坐标的点 P(a,b) ?x ? y ? 1 ?

所形成的平面区域的面积是( 1 A. 2 π B. 4

) C.1 π D. 2

【解析】选 C.当 a=b=1 时,满足 x+y≤1,且可知 0≤a≤1,0≤b≤1,所以点 P(a,b)所形成的平 面区域为边长为 1 的正方形,所以面积为 1.本题关键是确定点所形成的区域形状. 题型二 利用线性规划求最值

(1)z=x+2y-4 的最大值; (2)z=x2+y2-10y+25 的最小值; 2y+1 (3)z= 的取值范围. x+1 【解析】作出可行域如图所示,并求出顶点的坐标 A(1,3),B(3,1),C(7,9). (1)易知直线 x+2y-4=z 过点 C 时,z 最大. 所以 x=7,y=9 时,z 取最大值 21. (2)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方, 过点 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上, |0-5+2| 2 9 故 z 的最小值是( )= . 2 2 1 y-(- ) 2 1 (3)z=2· 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q(-1,- )连线斜率的 2 倍. 2 x-(-1) 7 3 3 7 因为 kQA= ,kQB= ,所以 z 的取值范围为[ , ]. 4 8 4 2 【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得,充分理解目标函数赋

予的几何意义是本例的关键. 1 【变式训练 2】已知函数 f(x)= x3+ax2-bx+1(a,b∈R)在区间[-1,3]上是减函数,求 3 a+b 的最小值. 【解析】因为 f′(x)=x2+2ax-b,f(x)在区间[-1,3]上是减函数. 所以 f′(x)≤0 在[-1,3]上恒成立.则

作出点(a,b)表示的平面区域. 令 z=a+b,求出直线-2a-b+1=0 与 6a-b+9=0 的交点 A 的坐标为(-1,3). 当直线 z=a+b 过点 A(-1,3)时,z=a+b 取最小值 2. 题型三 线性规划的实际应用 【例 3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72 m3,第二种有 56 m3.假设生 产每种产品都需要用两种木料,生产一张圆桌需要用第一种木料 0.18 m3,第二种木料 0.08m3,可获利润 6 元,生产一个衣柜需要用第一种木料 0.09 m3,第二种木料 0.28 m3,可获利润 10 元.木器厂在现有木料条件 下,圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大?最大利润是多少? 【解析】设圆桌生产的张数为 x,衣柜生产的个数为 y,所获利润为 z,则 z=6x+10y,

当直线 l:6x+10y=0 平移到经过点 M(350,100)时,z=6x+10y 最大. zmax=6× 350+10× 100=3 100, 所以生产圆桌 350 张,衣柜 100 个可获得最大利润 3 100 元. 【点拨】解实际线性规划问题,首先设出变量,建立不等式模型表示出约束条件,一定要注意问题的 实际意义(如本题中 x≥0,y≥0),然后画出可行域,利用图形求解. 【变式训练 3】某实验室需购某种化工原料至少 106 千克,现在市场上该原料有两种包装:一种是每 袋 35 千克, 价格为 140 元; 另一种是每袋 24 千克, 价格为 120 元.在满足需要的条件下, 最少要花费 元.

【解析】500.设需 35 千克的 x 袋,24 千克的 y 袋,则目标函数 z=140x+120y,约束条件为
? 35 x ? 24 y ? 106, 71 当 x=1 时,y≥ ,即 y=3,这时 zmin=140+120× 3=500. ? 24 ? x, y ? N

总结提高
1.用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知,找出约束条件和目标函数是关键. 2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域,可行域可以是封闭的多边形,亦可是一侧开放的无 限大的平面区域. 3.若可行域是一个多边形,那么一般在顶点处,使目标函数值取得最值,最优解一般是多边形的某个 顶点. 4.实际问题的最优解要求是整数解时,这时要对最优解(非整数解)进行适当调整,其方法是在边界直 线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点,而不要在最优解的附近寻找.

7.4 基本不等式及应用
典例精析
题型一 利用基本不等式比较大小 【例 1】(1)设 x,y∈R+,且 xy-(x+y)=1,则( A.x+y≥2( 2+1) C.x+y≤2( 2+1)2 a+b (2)已知 a,b∈R+,则 ab, , 2 ) B.x+y≤2( 2+1) D.x+y≥( 2+1)2 a2+b2 2ab , 的大小顺序是 2 a+b .

x+y 2 x+y 2 【解析】(1)选 A.由已知得 xy=1+(x+y),又 xy≤( ) ,所以( ) ≥1+(x+y). 2 2 解得 x+y≥2( 2+1)或 x+y≤2(1- 2). 因为 x+y>0,所以 x+y≥2( 2+1). a+b 2ab 2ab (2)由 ≥ ab有 a+b≥2 ab,即 a+b≥ ,所以 ab≥ . 2 a+b ab a+b 又 = 2 所以 a2+2ab+b2 ≤ 4 2(a2+b2) ,所以 4 a2+b2 a+b ≥ , 2 2

a2+b2 a+b 2ab ≥ ≥ ab≥ . 2 2 a+b

【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来,可作为结论使用. 1 1 λ 【变式训练 1】设 a>b>c,不等式 + > 恒成立,则 λ 的取值范围是 a-b b-c a-c 【解析】(-∞,4).因为 a>b>c,所以 a-b>0,b-c>0,a-c>0. 1 1 1 1 而(a-c)( + )=[(a-b)+(b-c)]( + )≥4,所以 λ<4. a-b b-c a-b b-c 题型二 利用基本不等式求最值 .

5 1 【例 2】(1)已知 x< ,则函数 y=4x-2+ 的最大值为 4 4x-5



f(1) (2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数 f′(x),f′(0)>0,对任意实数 x,有 f(x)≥0,则 的最小值为 f′(0) ( ) A.3 5 B. 2 C.2 3 D. 2

5 【解析】(1)因为 x< ,所以 5-4x>0. 4 所以 y=4x-2+ 1 1 =-(5-4x+ )+3≤-2+3=1. 4x-5 5-4x

1 当且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 所以 x=1 时,ymax=1. (2)选 C.因为 f(x)≥0,所以 ?
?a ? 0 ? Δ ? b ? 4 ac ? 0 .
2

b2 所以 c≥ .又 f′(x)=2ax+b,所以 f′(0)=b>0, 4a a+c 4a2+b2 f(1) a+b+c 2 4a2b2 = =1+ ≥1+ ≥1+ =2, f′(0) b b 4ab 4ab b2 当且仅当 c= 且 4a2=b2 时 等号成立. 4a 【点拨】应用基本不等式求最值时,常见的技巧是“拆或凑”,同时注意“一正、二定、三相等”这 三个条件,避免出现错误. (a+b)2 【变式训练 2】已知 x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,求 的取值范围. cd 【解析】由等差数列、等比数列的性质得 a+b=x+y, (a+b)2 (x+y)2 x y cd=xy,所以 = =2+ + , cd xy y x (a+b)2 (a+b)2 y y 当 >0 时, ≥4;当 <0 时, ≤0, x cd x cd 故 (a+b)2 的取值范围是(-∞,0]∪[4,+∞). cd

题型三 应用基本不等式解实际应用问题 【例 3】某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1 800 元,面粉的 保管等其他费用为平均每吨每天 3 元,购面粉每次需支付运费 900 元. (1)求该厂多少 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用); (2)若提供面粉的公司规定: 当一次购买面粉不少于 210 吨时, 其价格可享受 9 折优惠(即原价的 90%), 问该厂是否可以利用此优惠条件?请说明理由. 【解析】(1)设该厂 x 天购买一次面粉,其购买量为 6x 吨,面粉的保管等其他费用为 3[6x+6(x-1) +?+6× 2+6× 1]=9x(x+1).

设平均每天所支付的总费用为 y1,则 1 900 900 ? 9 x +10 809=10 989, y1= [9x(x+1)+900]+6× 800= +9x+10 809≥2 1 x x x 900 当且仅当 9x= ,即 x=10 时,取等号. x 即该厂应 10 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少. (2)若厂家利用此优惠条件,则至少应 35 天购买一次面粉,设该厂利用此优惠条件后,每 x(x≥35)天 购买一次面粉,平均每天支付的总费用为 y2,则 1 900 y2= [9x(x+1)+900]+6× 800× 1 0.9= +9x+9 729(x≥35). x x 900 因为 y2′=9- 2 ,当 x≥35 时,y2′>0. x 900 所以 y2= +9x+9 729 在[35,+∞)上是增函数. x 所以 x=35 时,y2 取最小值 由 70 488 . 7

70 488 <10 989 知,该厂可以利用此优惠条件. 7

【点拨】解决这类应用题,首先要依题意构造出相应的数学模型,并通过适当的变形使所得到的模型 符合基本不等式的结构,再求最值.当等号不能成立时,常利用函数的单调性来处理. 【变式训练 3】已知 a>0,b>0,且 2a+b=1,求 S=2 ab-4a2-b2 的最大值. 【解析】因为 a>0,b>0,2a+b=1, 所以 4a2+b2=(2a+b)2-4ab=1-4ab, 且 1=2a+b≥2 2ab,即 ab≤ 2 1 ,ab≤ . 4 8 2-1 , 2

所以 S=2 ab-4a2-b2=2 ab-(1-4ab)=2 ab+4ab-1≤ 1 1 当且仅当 a= ,b= 时,等号成立. 4 2

总结提高
1.基本不等式的几种常见变形公式: a+b 2 a2+b2 ab≤( )≤ (a,b∈R); 2 2 a+b 2ab ≤ ab≤ ≤ 2 a+b a2+b2 (a>0,b>0). 2

注意不等式成立的条件及等号成立的条件. 2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧,配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值,且等号能 够成立. 3.多次使用基本不等式求最值时,要特别注意等号能 否同时成立.

7.5 不等式的综合应用

典例精析
题型一 含参数的不等式问题
? x 2 ? x ? 2 ? 0, 【例 1】若不等式组 ? 2 的解集中所含整数解只有-2,求 k 的取值范围. ? 2 x ? (5 ? 2 k ) x ? 5 k ? 0

【解析】由 x2-x-2>0 有 x<-1 或 x>2, 由 2x2+(5+2k)x+5k<0 有(2x+5)(x+k)<0. 因为-2 是原不等式组的解,所以 k<2. 5 由(2x+5)(x+k)<0 有- <x<-k. 2 因为原不等式组的整数解只有-2,所以-2<-k≤3,即-3≤k<2, 故 k 的取值范围是[-3,2). 【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时 ,借助数轴分析,往往直观、简洁. (-1)n 1 【变式训练 1】不等式(-1)na<2+ 对任意 n∈N*恒成立,求实数 a 的取值范围. n 1 1 【解析】当 n 为奇数时,-a<2+ ,即 a>-(2+ ). n n 1 而-(2+ )<-2,则 a≥-2; n 1 1 1 3 3 当 n 为偶数时,a<2- ,而 2- ≥2- = ,所以 a< . n n 2 2 2 3 综上可得-2≤a< . 2 【点拨】不等式中出现了(-1)n 的时候,常常分 n 为奇数和偶数进行分类讨论. 题型二 不等式在函数中的应用 2x-a 【例 2】已知函数 f(x)= 2 在区间[-1,1]上是增函数. x +2 (1)求实数 a 的值组成的集合 A; 1 (2)设 x1,2 是关于 x 的方程 f(x)= 的两个相异实根, x 若对任意 a∈A 及 t∈[-1,1], 不等式 m2+tm+1≥|x1 x -x2|恒成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)f′(x)= 4+2ax-2x2 , (x2+2)2


因为 f(x)在[-1,1]上是增函数,所以当 x∈[-1,1]时,f′(x)≥0 恒成立, 令 φ(x)=x2-ax-2,即 x2-ax-2≤0 恒成立.

所以 A={a|-1≤a≤1}. 1 (2)由 f(x)= 得 x2-ax-2=0. x 设 x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个根,所以 x1+x2=a,x1x2=-2. 从而|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= a2+8, 因为 a∈[-1,1],所以 a2+8≤3,即|x1-x2|max=3. 不等式对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]不等式恒成立,即 m2+tm-2≥0 恒成立. 设 g(t)=m2+tm-2=mt+m2-2,则

解得 m≥2 或 m≤-2. 故 m 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题,通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值) 大于零(或小于零),亦可分离变量或者利用数形结合的方法 ,分离变量和数形结合更加简单明了. a b 【变式训练 2】设 a,b >0,且 ab=1,不等式 2 + 2 ≤λ 恒成立,则 λ 的取值范围是 a +1 b +1 a b 2 2 【解析】[1,+∞).因为 ab=1,所以 2 + 2 = ≤ =1,所以 λ≥1. a +1 b +1 a+b 2 ab 题型三 不等式在实际问题中的应用 【例 3】某森林出现火灾,火势正以 100 m2/分钟的速度顺风蔓延,消防站接到报警立即派消防队员前 去,在火灾发生后 5 分钟到达救火现场,已知消防队员在现场平均每人灭火 50 m2/分钟,所消耗的灭火材料,劳务津贴等费用为人均 125 元/分钟,另附加每次救火所耗损的车辆,器 械和装备等费用人均 100 元,而烧毁森林的损失费 60 元/m2,问应该派多少消防队员前去救火才能使总损 失最少? 【解析】设派 x 名消防队员前去救火,用 t 分钟将火扑灭,总损失为 y,则 t= 5× 100 10 = , 50x-100 x-2 .

y=灭火劳务津贴+车辆、 器械装备费+森林损失费 =125xt+100x+60(500+100t) 10 60 000 =125x× +100x+30 000+ x-2 x-2 62 500 =100(x-2)+ +31 450 x-2 ≥2 62 500 100(x-2)· +31 450=36 450, x-2

62 500 当且仅当 100(x-2)= ,即 x=27 时,y 有最小值 36 450,故应派 27 人前去救火才能使总损失最 x-2 少,最少损失 36 450 元.

【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题,建立不等式模型,利用基本不等式求最值,基本不等 式是历年高考考查的重要内容. 【变式训练 3】某学校拟建一块周长为 400 m 的操场,如图所示,操场的两 头是半圆形,中间区域是矩形,学生做操一般安排在矩形区域,为了能让学生 的做操区域尽可能大,试问如何设计矩形的长和宽? 【解析】设中间矩形区域的长,宽分别为 x m,y m,中间的矩形区域面积为 S, πy 则半圆的周长为 , 2 πy 因为操场周长为 400,所以 2x+2× =400, 2 400 即 2x+πy=400(0<x<200,0<y< ), π 2x+πy?2 20 000 1 1 所以 S=xy= ·(2x)·(πy)≤ ·? = , 2π 2π ? 2 ? π
? x ? 100 , ?2 x ? πy , ? 由? 解得 ? 200 2 x ? π y ? 400 , ? ?y ? π ?
? x ? 100 , ? 所以当且仅当 ? 200 时等号成立, ?y ? π ?

200 即把矩形的长和宽分别设计为 100 m 和 m 时,矩形区域面积最大. π

总结提高
1.不等式应用大致可分为两类:一类是建立不等式求参数的取值范围,或解决一些实际应用问题;另 一类是建立函数关系,利用基本不等式求最值问题. 不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键 是找出综合题的各部分知识及联系,充分利用数学思想和数学方法解题. 2.建立不等式的主要途径有:利用基本不等式;利用问题的几何意义;利用判别式;利用函数的有界 性;利用函数的单调性等. 3.解答不等式的实际应用问题一般分四步,即审题、建模、求解、检验.


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