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河南省洛阳市第二外国语学校2013届高三高考数学闯关密练特训7-2基本不等式试题


1.(文)(2012·重庆模拟)已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若 x<0 时,有 a >1,则 1 不等式 f(1- )>1 的解集为(

x

x

) 1 B.(1, )

1 A.( ,+∞) 1-a C.(-∞, [答案] D 1 ) 1-a

a

1 D.(1, ) 1-a

1 1 1 [解析] 依题意得 0<a<1, 于是由 f(1- )>1 得 loga(1- )>logaa,0<1- <a, 由此解得

x

x

x

1 1 1 1 <x< ,因此不等式 f(1- )>1 的解集是(1, ),选 D. 1-a x 1-a 1 a (理)“a= ”是“对任意的正数 x,均有 x+ ≥1”的( 4 x A.充分非必要条件 C.充要条件 [答案] A 1 a [解析] ∵a= ,x>0 时,x+ ≥2 4 x )

B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

a 1 x· =1,等号在 x= 时成立,又 a=4 时,x+ x 2

a 4 =x+ ≥2 x x

4 a x· =4 也满足 x+ ≥1,故选 A. x x
2 2 2 2

2.(文)(2012·内蒙包头一模)若圆 C1:x +y +2ax+a -4=0,(a∈R)与圆 C2:x +

y2-2by-1+b2=0,(b∈R)外切,则 a+b 的最大值为(
A.-3 2 C.3 [答案] D B.-3 D.3 2

)

[解析] ⊙C1:(x+a) +y =4 的圆心 C1(-a,0),半径 r1=2,⊙C2:x +(y-b) =1 的圆心 C2(0,b),半径 r2=1, ∵⊙C1 与⊙C2 外切,∴|C1C2|=r1+r2, ∴a +b =9, ∵(a+b) =a +b +2ab≤2(a +b )=18, 3 2 ∴a+b≤3 2,等号在 a=b= 时成立. 2
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

(理)(2011·厦门二检)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x-4y+1=0 截 1 1 得的弦长为 4,则 + 的最小值为(

2

2

a b

) B. 2 3 D. +2 2 2

A.

1 4

3 C. + 2 2 [答案] C

1 1 1 1 1 1 [解析] 圆的直径是 4,说明直线过圆心(-1,2),故 a+b=1, + =( a+b)( + ) 2 a b 2 a b 3 b a 3 b a = + + ≥ + 2,当且仅当 = ,即 a=2( 2-1),b=2- 2时取等号,故选 C. 2 a 2b 2 a 2b 3.(2012·河南六市联考)函数 y=logax+1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在 直线 + -4=0(m>0,n>0)上,则 m+n 的最小值为( A.2+ 2 C.1 [答案] C B.2 D.4

x y m n

)

x y 1 1 [解析] y=logax+1 过定点 A(1,1),∵A 在直线 + -4=0 上,∴ + =4,∵m>0, m n m n n>0,
1 1 1 1 n m 1 ∴m+n= (m+n)( + )= (2+ + )≥ (2+2 4 m n 4 m n 4 ∴m+n 的最小值为 1. 4.(文)(2011·太原部分重点中学联考)若正实数 a,b 满足 a+b=1,则( 1 1 A. + 有最大值 4 )

n m 1 · )=1,等号在 m=n= 时成立, m n 2

a b

1 B.ab 有最小值 4 C. a+ b有最大值 2 D.a +b 有最小值 [答案] C [解析] 由基本不等式, ab≤ 得
2 2

2 2

a2+b2 ? a+b?
2 = 2

2

-2ab 1 1 = -ab, 所以 ab≤ , B 错; 故 2 4

1 1 a+b 1 a+ b + = = ≥4, A 错;由基本不等式得 故 ≤ a b ab ab 2

a+ b
2



1 ,即 a+ b≤ 2, 2

1 1 2 2 2 故 C 正确;a +b =(a+b) -2ab=1-2ab≥1-2× = ,故 D 错.故选 C. 4 2 4 9 (理)(2011·湖北八校第一次联考)若 0<x<1,则 + 的最小值为( x 1-x A.24 C.25 [答案] C [解析] 2 4? 1-x? 4 9 4 9 4? 1-x? 依题意得 + =( + )[x +(1- x)]=13+ x 1-x x 1-x x 9x 4? · =25,当且仅当 1-x 1-x? + 9x ≥13+ 1-x B.26 D.1 )

x

x

9x 2 = ,即 x= 时取等号,选 C. 1-x 5
x

5.(2013·烟台市第一学期检测)已知向量 a=(x-1,2),b=(4,y),若 a⊥b,则 9 +3 的最小值为( A.2 C.6 [答案] C [解析] 由题意知 a·b=4(x-1)+2y=0,∴2x+y=2,∴9 +3 =3 +3 ≥2 3 1 6,等号成立时,x= ,y=2,故选 C. 2
x y
2x

y

) B.2 3 D.9

y

2x+y



6.(2011·北京文,7)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每 批生产 x 件,则平均仓储时间为 天,且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件 8 产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( A.60 件 C.100 件 [答案] B [解析] ≥2 B.80 件 D.120 件 )

x

x x 800 由题意知仓储 x 件需要的仓储费为 元,所以平均费用为 y = + 8 8 x

2

x 800 × =20,当且仅当 x=80 等号成立. 8 x
7.已知 c 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的半焦距,则 [答案] [ 2 ,1) 2

x2 y2 a b

c 的取值范围是________. a+b

[解析] 由题设条件知,a+b>c,∴ ∵a +b =c ,
2 2 2

c <1, a+b

∴( ∴

c c

a+b

)=

2

c2 c2 1 ≥ = , 2 2 2 a +b +2ab 2? a +b ? 2
2

a+b



2 2 c , ≤ <1. 2 2 a+b

8.(文)(2011·温州一检)已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点,若 动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为________. [答案] 1 2

[解析] 由题意知 A(2,0),B(0,1),所以线段 AB 的方程用截距式表示为 +y=1,x∈ 2 [0,2],又动点 P(a,b)在线段 AB 上,所以 +b=1,a∈[0,2],又 +b≥2 2 2 1≥2

x

a

a

ab
2

,所以

ab
2

1 a 1 1 1 ,解得 0≤ab≤ ,当且仅当 =b= ,即 P(1, )时,ab 取得最大值 . 2 2 2 2 2
2 2

(理)设圆 x +y =1 的一条切线与 x 轴、 轴分别交于点 A, , AB 的最小值为______. y B 则 [答案] 2 [解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在,且不为零,故设切线方程为 + =1,则

x y a b

ab =1, a2+b2
∴a b =a +b ≥2ab,切线与两轴交于点 A(a,0)和(0,b),不妨设 a>0,b>0,∴ab≥2, 则 AB=|AB|= a +b ≥ 2ab≥2. 9.(文)(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 2
2 2 2 2 2 2

x

的图象交于 P、Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. [答案] 4 [解析] 由题意,P,Q 关于(0,0)对称,设直线 PQ:y=kx(k>0),从而 P( 2 , 2k),

k

Q(-

2

k

,- 2k). 8 +8k ≥4,当且仅当 k=1 时,(PQ)min=4.
2

则 PQ= [点评]

k2

(1)用基本不等式

a+b
2

≥ ab求最值时,要注意“一正、二定、三相等”,一

定要明确什么时候等号成立. (2)应用基本不等式求最值,要注意归纳常见的变形技巧,代入消元,配系数,“1”的 代换等等.

2 (3)注意到 P、Q 关于原点对称,可设 P(x0, ),x0>0,则|PQ|=2|OP|=2

x0

x2+ ≥4, 0 x0

4

x0= 2时取等号,更简捷的获解.
(理)(2011·山东日照调研)在等式“1= ? 1 ? + ? 9 ? ”的两个括号内各填入一

个正整数,使它们的和最小,则填入的两个数是________. [答案] 4 和 12 1 9 1 [解析] 设两个括号中的正整数分别为 x,y,则 x>0,y>0, + =1,x+y=(x+y)(

x y

x

9 y 9x + )=10+ + ≥10+2

y

x

y

? + =1 y 9x y 9x · =16,等号在 = ,即 y=3x 时成立,由?x y x y x y ?y=3x ?

?1 9

解得?

?x=4, ? ?y=12. ?

10.(文)(2011·洛阳模拟)若直线 ax+by+1=0(a>0,b>0)平分圆 x +y +8x+2y+1 1 4 =0,求 + 的最小值.

2

2

a b

[解析] 由 x +y +8x+2y+1=0 得 (x+4) +(y+1) =16, ∴圆的圆心坐标为(-4,-1), ∴-4a-b+1=0,即 4a+b=1, 1 4 b+4a 1 ∴ + = = ,
2 2

2

2

a b

ab

ab

1 由 1=4a+b≥2 4ab=4 ab,得 ab≤ , 16 ∴ 1

ab

1 4 ≥16,∴ + 的最小值为 16.

a b

(理)如图,互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园 ABCD,现欲将其扩建成一个更 大的三角形花园 APQ,要求 P 在射线 AM 上,Q 在射线 AN 上,且 PQ 过点 C,其中 AB=30m,

AD=20m.记三角形花园 APQ 的面积为 S.

(1)当 DQ 的长度是多少时,S 最小?并求 S 的最小值; (2)要使 S 不小于 1600m ,则 DQ 的长应在什么范围内? [解析] (1)设 DQ=xm(x>0),则 AQ=x+20, ∵
2

QD AQ x x+20 = ,∴ = , DC AP 30 AP x+20? 1 15? x+20? ,则 S= ×AP×AQ= x 2 x x
2

30? ∴AP=

400 =15(x+ +40)≥1200,当且仅当 x=20 时取等号. 20 2 (2)∵S≥1600,∴3x -200x+1200≥0,∴0<x≤ 或 x≥60 3 答:(1)当 DQ 的长度是 20m 时,S 最小,且 S 的最小值为 1200m ; (2)要使 S 不小于 1600m ,则 DQ 的取值范围是 0<DQ≤ 能力拓展提升 11.(文)已知-1<a<0, =1+a , =1-a , = A B C A.A<B<C C.A<C<B [答案] B 1 5 3 [解析] 不妨设 a=- ,则 A= ,B= ,C=2,由此猜想 B<A<C. 2 4 4 由-1<a<0 得 1+a>0,
2 2 2 2

20 或 DQ≥60. 3

1 , 比较 A、 、 的大小结果为( B C 1+a

)

B.B<A<C D.B<C<A

A-B=(1+a2)-(1-a2)=2a2>0 得 A>B,
1 a? 2 C-A= -(1+a )=- 1+a

a2+a+1? 1+a

=-

a??a+2? + ? 4

?? ??

1?2 3?

?

?

1+a

>0,得 C>A,∴B<A<C.
x y x+1

(理) (2012·济南一模)若实数 x、y 满足 4 +4 =2 是( ) A.0<t≤2 C.2<t≤4 [答案] C

+2

y+1

,则 t=2 +2 的取值范围

x

y

B.0<t≤4 D.t≥4

? a+b? x 2 2 2 2 [解析] 设 a=2 , =2 , a>0, >0, b y 则 b 由条件得 a +b =2(a+b), a +b ≥ ∵ 2 ∴(a+b) ≤4(a+b),∴a+b≤4, 又(a+b) -2(a+b)=2ab>0,∴a+b>2, ∴2<a+b≤4.
2 2

2



12.(2011·福建文,10)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x -ax -2bx+2 在 x=1 处有极 值,则 ab 的最大值等于( A.2 [答案] D [解析] f ′(x)=12x -2ax-2b=0 的一根为 x=1,即 12-2a-2b=0. ∴a+b=6,∴ab≤(
2

3

2

) C.6 D.9

B.3

a+b
2

) =9,当且仅当 a=b=3 时“=”号成立.

2

2y 8x 2 13.(文)(2011·湛江调研)已知 x>0, y>0,若 + >m +2m 恒成立,则实数 m 的取

x

y

值范围是(

) B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2

A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 [答案] D [解析] ∵x>0,y>0, ∴ 2y 8x + ≥2

x

y

2y 8x 2 · =8,由条件知 m +2m<8,

x

y

解得-4<m<2,故选 D. (理)(2010·东北三校联考、泰安模拟)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存 1 4 在两项 am,an 使得 aman=4a1,则 + 的最小值为(

m n

) B. 5 3

A.

3 2

C.

25 6

D.不存在

[答案] A 2a6 2 [解析] 由已知 an>0,a7=a6+2a5,设{an}的公比为 q,则 a6q=a6+ ,∴q -q-2=

q

0,∵q>0,∴q=2, ∵ aman=4a1,∴a1·q ∴m+n=6, 1 4 1 ?1 4? 1? n 4m? 1? ∴ + = (m+n)? + ?= ?5+ + ?≥ ?5+2 m n 6 ?m n? 6? m n ? 6? =4 时成立. 14.如图所示,已知 D 是面积为 1 的△ABC 的边 AB 的中点,E 是边 AC 上任一点,连接
2

m+n-2

=16a1,∴m+n-2=4,

2

n 4m n 4m? 3 即 · ?= ,等号在 = , n=2m m n m n? 2

DF AE 1 DE,F 是线段 DE 上一点,连接 BF,设 =λ 1, =λ 2,且 λ 1+λ 2= ,记△BDF 的面积为 DE AC 2 S=f(λ 1,λ 2),则 S 的最大值是________.

[答案]

1 32

[解析] 连接 BE.因为△ABC 的面积为 1, =λ 2,所以△ABE 的面积为 λ 2.因为 D 是

AE AC

AB 的中点,所以△BDE 的面积为

λ 2 DF 1 .因为 =λ 1,所以△BDF 的面积 S=f(λ 1,λ 2)= 2 DE 2

1 λ 1+λ 2 2 1 1 λ 1λ 2≤ ( ) = ,上式当且仅当 λ 1=λ 2= 时取等号. 2 2 32 4 15.(文)

(2011·三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、 舒适的生活环境, 计划建一个正 八边形的休闲小区, 它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 m 的十字型区域.现计划在正方形 MNPQ 上建一花坛,造价为 4200 元/m ,在四个相同 的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为 210 元/m ,再在四个空角上铺草坪,造价 为 80 元/m . (1)设总造价为 S 元,AD 的长为 xm,试建立 S 关于 x 的函数关系式; (2)计划至少投入多少元,才能建造这个休闲小区. [解析] (1)设 DQ=y, 200-x 2 则 x +4xy=200,∴y= . 4x
2 2 2 2 2

S=4200x2+210×4xy+80×4× y2
400000 2 =38000+4000x + (0<x<10 2). 2

1 2

x

400000 2 (2)S=38000+4000x + 2

x

≥38000+2 16×10 =118000, 400000 2 当且仅当 4000x = ,即 x= 10时, 2

8

x

Smin=118000(元),
答:计划至少要投入 11.8 万元才能建造这个休闲小区. (理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量 Q(万件)与广 3x+1 告费 x(万元)之间的函数关系为 Q= (x≥0).已知生产此产品的年固定投入为 3 万元, x+1 每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元,若每件销售价为“年平均每件生产成本的 150%” 与“年平均每件所占广告费的 50%”之和. (1)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数;

(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少? [解析] (1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件销售价为 32Q+3

Q

×150%+ ×50%, 32Q+3 x ∴年销售收入为( ×150%+ ×50%)·Q

x Q

Q

Q

3 1 = (32Q+3)+ x, 2 2 3 1 ∴年利润 W= (32Q+3)+ x-(32Q+3)-x 2 2 1 -x +98x+35 = (32Q+3-x)= (x≥0). 2 2? x+1? (2)令 x+1=t(t≥1),则
2

W=

-?

t-1?

2

+98? 2t

t-1? +35

?t 32? =50-? + ?. ?2 t ?

t 32 ∵t≥1,∴ + ≥2 2 t

t 32 · =8,即 W≤42, 2 t

t 32 当且仅当 = ,即 t=8 时,W 有最大值 42,此时 x=7. 2 t
即当年广告费为 7 万元时,企业利润最大,最大值为 42 万元. 16.(文)已知 α 、β 都是锐角,且 sinβ =sinα cos(α +β ). π (1)当 α +β = ,求 tanβ 的值; 4 (2)当 tanβ 取最大值时,求 tan(α +β )的值. [解析] (1)∵由条件知,sinβ = 2 ?π ? sin? -β ?, 2 ?4 ?

3 1 1 整理得 sinβ - cosβ =0,∵β 为锐角,∴tanβ = . 2 2 3 (2)由已知得 sinβ =sinα cosα cosβ -sin α sinβ , ∴tanβ =sinα cosα -sin α tanβ , sinα cosα sinα cosα ∴tanβ = = 2 2 2 1+sin α 2sin α +cos α = tanα 1 1 2 = ≤ = . 2 2tan α +1 1 2 2 4 2tanα + tanα
2 2

1 当且仅当 =2tanα 时,取“=”号, tanα

∴tanα =

2 2 时,tanβ 取得最大值 , 2 4

tanα +tanβ 此时,tan(α +β )= = 2. 1-tanα tanβ (理)函数 f(x)对一切实数 x、y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立,且 f(1)=0. (1)求 f(0); (2)求 f(x); (3)当 0<x<2 时,不等式 f(x)>ax-5 恒成立,求 a 的取值范围. [解析] (1)令 x=1,y=0, 得 f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2, ∴f(0)=f(1)-2=-2. (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x +x, ∴f(x)=x +x-2. (3)f(x)>ax-5 化为 x +x-2>ax-5,
2 2 2

ax<x2+x+3,∵x∈(0,2),
∴a<

x2+x+3 3 =1+x+ . x x x x

3 3 当 x>0 时,1+x+ ≥1+2 3,当且仅当 x= ,即 x= 3时取等号,∵ 3∈(0,2),∴ 3 (1+x+ )min=1+2 3.

x

∴a<1+2 3.

1 1 1 1.若 a>0,b>0,a,b 的等差中项是 ,且 α =a+ ,β =b+ ,则 α +β 的最小值 2 a b 为( ) A.2 [答案] D 1 [解析] ∵ 为 a、b 的等差中项,∴a+b=1. 2 1 1 1 1 a+b 1 α +β =a+ +b+ ? 1+ + =1+ =1+ , B.3 C.4 D.5

a

b

a b

ab

ab

∵ ab≤

a+b

? a+b? ,∴ab≤ 2 4

2

1 = . 4

1 当 a=b= 时取等号. 2

1 ∴α +β =1+ ≥1+4=5.

ab

∴α +β 的最小值为 5.故选 D. 2.已知 R1、R2 是阻值不同的两个电阻,现分别按图①②连接,设相应的总阻值分别为

RA、RB,则 RA 与 RB 的大小关系是(

)

A.RA>RB C.RA<RB [答案] A

B.RA=RB D.不确定

[解析] RA=

R1+R2
2

,RB=

2R1R2 , R1+R2
2

RA-RB=


R1+R2
2
2

2R1R2 ? R1+R2? -4R1R2 - = R1+R2 2? R1+R2?

? R1-R2? >0,所以 RA>RB. 2? R1+R2?

3.若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy· A.P=Q C.P≤Q [答案] C [解析] Q= ax+cy· = B.P≥Q D.P>Q

b d + ,则( x y

)

b d + x y

adx bcy ab+cd+ + y x

≥ ab+cd+2 abcd= ab+ cd=P. [点评] 可用特值法求解,令所有字母全为 1,则 P=2,Q=2,∴P=Q,排除 D;令 a =b=c=d=1,x=1,y=4,则 P=4,Q=5,∴P<Q,排除 A、B,选 C.

? 1? 2 4.若不等式 x +ax+1≥0 对一切 x∈?0, ?成立,则 a 的最小值为( ? 2?
A.0 B.-2 5 C.- 2 D.-3

)

[答案] C [分析] 将不等式进行变形,变为不等式的一边为参数,另一边为含 x 的代数式 a≥-

x- ,x∈?0, ?,a 只要大于或等于 y=-x- ,x∈?0, ?的最大值就满足题设要求. x x ? 2? ? 2?
1 ? 1? ? 1? 2 [解析] 若 x +ax+1≥0,x∈?0, ?恒成立,则 a≥-x- ,x∈?0, ?恒成立. x ? 2? ? 2? 1 1 ? 1? ? 1? 令 y=-x- ,x∈?0, ?,则 y′=-1+ 2,当 x∈?0, ?时 y′>0, x x ? 2? ? 2? 1 1 5 ? 1? ∴y=-x- ,x∈?0, ?为增函数,∴ymax=y′|x= =- , 2? x 2 2 ? 5 1 当 a≥- 时,a≥-x- 恒成立, 2 x

1

?

1?

1

?

1?

? 1? 2 即 x +ax+1≥0,x∈?0, ?恒成立,∴选 C. ? 2?
5.如图在等腰直角△ABC 中,点 P 是斜边 BC 的中点,过点 P 的直线分别交直线 AB、AC → → → → 于不同的两点 M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则 mn 的最大值为( )

A.

1 2

B.1

C.2

D.3

[答案] B [解析] 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系,设等腰直角△ABC 的腰长为 2,则 P 点 → → → → 坐标为(1,1),B(0,2)、C(2,0),∵AB=mAM,AC=nAN, → → → AB → AC ? 2? ?2 ? ∴AM= ,AN= ,∴M?0, ?、N? ,0?,

m

n

?

m?

?n

?

∴直线 MN 的方程为 + =1, 2 2 ∵直线 MN 过点 P(1,1),∴ + =1,∴m+n=2, 2 2 ? m+n? ∵m+n≥2 mn,∴mn≤ 4 1. → → → 6.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A、B、
2

my nx

m n

=1,当且仅当 m=n=1 时取等号,∴mn 的最大值为

C 三点共线,则 + 的最小值是________. a b
[答案] 8 → → → → → → [解析] AB=OB-OA=(a-1,1),AC=OC-OA=(-b-1,2), → → ∵AB与AC共线,∴2(a-1)+b+1=0,即 2a+b=1. 1 2 1 2 b 4a ∵a>0,b>0,∴ + =( + )(2a+b)=4+ + ≥4+2

1 2

a b

a b

a

b

b 4a b 4a · =8,当且仅当 = , a b a b

1 1 即 b= ,a= 时等号成立. 2 4


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