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2.2.1 等差数列


课时训练 7 等差数列
一、等差数列通项公式的应用
1.等差数列{an}中,a2=-5,d=3,则 a5 为( A.-4 答案:B 解析:a5=a1+4d=(a1+d)+3d=a2+3d=-5+3×3=4. 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为( A.49 答案:D 解析:∵2an+1=2an+1,∴an+1=an+ .
1 2

) C.5 D.6

B.4

) D.52

B.50

C.51

∴an+1-an=2. ∴数列{an}是首项为 2,公差为2的等差数列. ∴a101=a1+(101-1)d=2+
100 =52. 2 1

1

3.(2015 福建厦门高二期末,2)已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+3(n≥2),则 a100 等于( A.297 答案:B 解析:由 an=an-1+3(n≥2),得 an-an-1=3(n≥2), 即数列{an}是以 3 为公差的等差数列. 又 a1=1,∴a100=1+(100-1)×3=298. 4.若等差数列{an}的公差为整数,首项为 19,从第 6 项开始为负值,则公差为( A.-5 答案:B 解析:设等差数列{an}的公差为 d(d∈Z), 依题意得 a6=a1+5d=19+5d<0, 即 d<- 5 ,a5=a1+4d=19+4d≥0, 即 d≥- 4 ,所以- 4 ≤d<- 5 , 又 d∈Z,所以 d=-4. 5.等差数列{an}中,a2=5,a4=a6+6,则 a1= 答案:8 .
19 19 19 19

)

B.298

C.299

D.300

)

B.-4

C.-3

D.-2

1

解析:由 a4=a6+6,得 2d=a6-a4=-6,∴d=-3. 又∵a1=a2-d=5-(-3)=8,∴a1=8.

二、等差中项的应用
6.(2015 福建宁德五校联考,1)已知实数 m 是 1 和 5 的等差中项,则 m 等于( A. 5 答案:C 解析:因为实数 m 是 1 和 5 的等差中项, 所以 2m=1+5=6,则 m=3.故选 C. 7.已知 m 和 2n 的等差中项是 4,2m 和 n 的等差中项是 5,则 m 和 n 的等差中项是( A.2 答案:B 解析:依题意可得 m+2n=8,2m+n=10,故 3m+3n=18?m+n=6,故 m 和 n 的等差中项是 3. 8.若 lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则 x 的值为 A.1 答案:D 解析:由题意得 lg 2+lg(2x+3)=2lg(2x-1), 所以 2(2x+3)=(2x-1)2, 解得 2x=5 或 2x=-1(舍去),所以 x=log25. B.0 或 32 C.32 D.log25 ( ) B.3 C.6 D.9 ) B.± 5 C.3 D.±3 )

三、等差数列的判断与证明
9.(2015 山东威海高二期中,21)数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2-an=1+(-1)n(n∈N*).令 bn=a2n,求证{bn}是 等差数列,并求{bn}的通项公式. 解:当 n≥2 时,bn-bn-1=a2n-a2n-2=2,

∴{bn}是等差数列,且 b1=a2=2, ∴bn=2n.
10.已知+ , + , +成等差数列,求证:a2,b2,c2 成等差数列. 证明:∵+ , + , +是等差数列,
1 1 1 1 1 1

∴+ + + = +. ∴(a+b)(c+a)+(b+c)(c+a)=2(a+b)(b+c). ∴(c+a)(a+c+2b)=2(a+b)(b+c). ∴2ac+2ab+2bc+a2+c2=2ab+2ac+2bc+2b2. ∴a2+c2=2b2.∴a2,b2,c2 成等差数列.

1

1

2

(建议用时:30 分钟)
1.数列{an}的通项公式 an=4n-7,则此数列是( A.公差为 4 的等差数列 2 )

B.公差为-7 的等差数列 C.首项为-7 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列 答案:A 解析:an+1-an=4(n+1)-4n=4.故选 A. 2.等差数列 1,-1,-3,…,-89 的项数是( A.45 答案:B 解析:由题可知,等差数列的首项 a1=1,公差 d=-2,且 an=-89. 由 an=a1+(n-1)d,解得 n=46.故选 B. 3.{an}为等差数列,且 a7-2a4=-1,a3=0,则公差 d= A.-2 答案:B 1 = 1, 1 + 6-2(1 + 3) = -1, 即 1 = - 2 . 1 + 2 = 0, 4.等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a,b 的值分别是( 解析: A.2,7 C.0,5 答案:A 解析:由等差中项知识得 2 + 6 = + + 1, = 2, 解得 2 = 2 + + 3, = 7. ) B.1,6 D.无法确定 B.1 2

) C.47 D.92

B.46

( D.2

)

C.

1 2

)

5.首项为-24 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差 d 的取值范围为( A.d>
8 3 8 3

B.d<3 D. <d≤3
8 3

C. ≤d<3 答案:D

解析:设公差为 d,an=-24+(n-1)d,



9 ≤ 0, -24 + 8 ≤ 0, 10 > 0, -24 + 9 > 0,

∴3<d≤3.
6.已知等差数列{an}中,a1<a2<…<an,且 a3,a6 为 x2-10x+16=0 的两个实根,则此数列的通项公式 是 答案:an=2n-4 解析:由题意得 3 + 6 = 10, 3 6 = 16, 3

8

又 a1<a2<…<an,所以解得 a3=2,a6=8, 所以 1 + 2 = 2, a =-2,d=2. 1 + 5 = 8, 1 .

从而 an=-2+2(n-1),即 an=2n-4. 7.已知 a,b,c 成等差数列,那么二次函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴的公共点的个数是 答案:1 或 2 解析:∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 二次函数 y=ax2+2bx+c 的判别式 Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,

∴图象与 x 轴有一个或两个公共点.
8.若 x≠y,且 x,a1,a2,y 和 x,b1,b2,b3,y 各自都成等差数列,则 答案:
4 3 - - ,b -b =d = , 3 2 1 2 4 2 -1 = 2 -1

.

解析:由题知 a2-a1=d1=



2 -1 2 -1

= 3.

4

9.某公司经销一种数码产品,第 1 年可获利 200 万元.从第 2 年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润 每年比上一年减少 20 万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该 公司经销这一产品将亏损? 解:由题设可知第 1 年获利 200 万元,第 2 年获利 180 万元,第 3 年获利 160 万元,…,每年获利构成等差 数列{an},且当 an<0 时,该公司会出现亏损. 设从第 1 年起,第 n 年的利润为 an,则 a1=200,an-an-1=-20(n≥2,n∈N*), 所以每年的利润 an 可构成一个等差数列{an},且公差 d=-20, 从而 an=a1+(n-1)d=220-20n. 若 an<0,则该公司经销这一产品将亏损, 所以由 an=220-20n<0,得 n>11, 即从第 12 年起,该公司经销此产品将亏损. 10.如果一个数列的各项都是实数,且从第二项开始,每一项与它前一项的平方差是相同的常数,则称 该数列为等方差数列,这个常数叫做这个数列的公方差. (1)设数列{an}是公方差为 p 的等方差数列,求 an 和 an-1(n≥2)的关系式; (2)若数列{an}既是等方差数列,又是等差数列,证明该数列为常数列.
2 2 解:(1)由等方差数列的定义可知: ? =p(n≥2). -1

(2)∵{an}是等差数列,设公差为 d, 则 an-an-1=an+1-an=d(n≥2). 又{an}是等方差数列,
2 2 2 2 ∴ ? = +1 ? (n≥2), -1

∴(an+an-1)(an-an-1)=(an+1+an)(an+1-an),
4

即 d(an+an-1-an+1-an)=-2d2=0.

∴d=0,即{an}是常数列.

5


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