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山东省淄博市2014届高三上学期期末考试数学(理)试题


高三教学质量抽测试题 理科数学
本试卷分第Ⅰ 卷和第Ⅱ 卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟.答题前, 考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和 答题卡规定的位置。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: I.第Ⅰ 卷共 12 小题. 2.每小题选出答案后,用 2

B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一项是符合题目 要求的. ) 1.设集合 A ? {x | x ? 1} ,集合 B ? {x | y ? A. [0,??) B. (??,1)

3 ? x } ,则 A ? B ?
D. (1,3]

C. [1,??)

2.复数 z 满足 (1 ? 2i ) z ? 7 ? i ,则复数 z ? A.1+3i B. l-3i C.3+ i D.3-i

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? x
3

B. y ? 3

x

C. y ? log 2 x

D. y ? ?

1 x

4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则可输入的实数 x 的个数为

A.1

B.2

C.3

D.4 )

5.已知实数 a、b,则“a>b”是“ a 2 ? b 2 ”的(

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 6.已知,等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 , a 2 ? 2 ,则 a1 ?

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

7.如图所示的三棱柱,其正视图是一个边长为 2 的正方形,其俯视图是一个正三角形, 该三棱柱侧视图的面积为

A. 2 3

B. 3

C. 2 2

D.4

8.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是 A.两个函数的图象均关于点 (? , 0) 成中心对称 B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 (?

π 4

? 对称 4

? ?

, ) 上都是单调递增函数 4 4 ? 个单位得到函数①的图像 4

D.可以将函数②的图像向左平移 9.函数 y ? ln

1 的图象大致为 1? x

10.若 O 为△ ABC 所在平面内任一点,且满足 (OB ? OC ) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则 △ ABC 的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

11.下列四个命题:

①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以 回到原来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别 是 a、b,则这两个级部的数学平均分为

na mb ; ? m n

④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健 康检查,现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号.已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编 号是 503,则初始在第 1 小组 1~16 中随机抽到的学生编号是 7. 其中真命题的个数是 A. 0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

12.已知 A、B、P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点,且 A、B 关于坐标原点对称, a 2 b2
2 ,则该双曲线的离心率等于 3
C. 2 第Ⅱ卷(共 90 分) D.

若直线 PA、PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?

A.

5 2

B.

6 2

15 3

注意事项: 1.第Ⅱ 卷共 10 道题. 2.第Ⅱ 卷所有题目的答案,考生须用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内, 在试卷上答题不得分。 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分. 将答案填在答题卷相应位置上. ) 13.计算定积分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ____________

14.已知函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ? 1 ,函数零点的个数是________

?x ? 2 y ? 0 ? 15. 设 z=x+y, 其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 2014, 则 k 的值为_______. ?0? y?k ?
16.若实数 a、b、c 满足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则 c 的最大值是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc . (I)求 A 的大小;

(Ⅱ)若 sin B+sin C =1,试求内角 B、C 的大小.

18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形;侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点. (I)证明:PA∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 B-DE-C 平面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 请你设计一个包装盒, 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P, 正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中 E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的 两个端点,设 AE=FB= xcm. (I)某广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值; (II)某广告商要求包装盒容积 V(cm 3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的 高与底面边长的比值.

20. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中各项均为正数,b1 =1, 且 b2 ? S 2 ? 12 ,数列{bn}的公比 q ?

S2 . b2

(I)求数列 {a n } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 2 ? ? ??? ? . 3 S1 S 2 Sn 3

21. (本小题满分 13 分) 已知动圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 相外切, 与圆 C2 : ( x ? 1) ? y ? 9 相内切, 设动
2 2 2 2

圆圆心 C 的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (I)求轨迹 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上) .若以 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ln x (a 为非零常数)图像上点(e,f(e))处的切线与直线 y= 2x 平 行(其中 e= 2.71828?) . (I)求函数 f(x)解析式; (Ⅱ)求函数 f (x)在[t,2t](t >0)上的最小值; (Ⅲ)若斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ' ( x) 交于 A(x1,y1)、B ( x2,y2 )( x1 ? x2 )两点, 求证: x1 ?

1 ? x2 . k

2014 届高三上学期期末考试数学试题 答案(文理) (阅卷)
一、选择题 1. D 理)C 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. C 9. D 10. C B 11. (文

12. D

二、填空题: 13. (理)

2 , (文)0;14. 2;15. 1007;16. (理) 2 ? log 2 3 , (文)①④. 3

17. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)∵ a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , 故 cos A ? ?

1 2 , A ? 120 π? 2 3

??????6 分

(Ⅱ)∵ sin B ? sin C ? 1 ,∴ sin B ? sin( ∴ sin B ? sin

?
3

? B) ? 1 ,

?
3

cos B ? cos

?

1 3 cos B ? 1 ,??????8 分 sin B ? 1 , sin B ? 2 2 3

方法一:∴ sin

?
3

cos B ? cos

?
3

sin B ? 1 ,∴ sin( B ?

?
3

) ?1,

??????10 分

π π 2 ? B? ? π, 3 3 3 π π π 故 B ? ? ,从而 B ? C ? . 3 2 6
又∵ B 为三角形内角, 方法 2: ?

??????12 分

? ?sin B ? 3 cos B ? 2 ? ?sin B ? cos B ? 1
2 2

,解得 cos B ?

3 2

??????10 分

又∵ B 为三角形内角,故 B ? C ? (注:处理角 C 同等对待! ) 18. (本小题满分 12 分) (理)

π . 6

?????12 分

解析: (Ⅰ)如图,连接 AC 交 BD 于 F,再连接 EF; 因为四边形 ABCD 为正方形,所以 F 为 AC 中点; 又因为 E 为 PC 中点,所以 EF//PA; 因为 EF ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE,且 EF//PA, 所以 PA //平面 BDE; (Ⅱ)

????????1 分 ????????3 分 ????????5 分 ????????6 分

方法一:如图所示,以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系.

设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) . ??? ? ???? ???? PA ? (2, 0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2, 0) . (只建系无坐标不得分) ??????7 分 设 n ? ( x, y,1) 是平面 BDE 的一个法向量,

?

? ???? ? ? ? y ?1 ? 0 ?n?DE ? 0 则由 ? ? ??? ,得 ? ,即 n ? (1, ?1,1) ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n?DB ? 0
??? ? ? 又 n 2 ? DA ? (2, 0, 0) 是平面 DEC 的一个法向量.

??????9 分

?????10 分

设二面角 B―DE―C 的平面角为 ? ,
? ? ? ? n1 ? n 2 2 3 ? ? ? ? ∴cos ? ? cos ? n 1 , n 2 ?? | n . 3 | ? | n | 3 ? 2 1 2

故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

3 . 3

?????12 分

方法二:因为 BC ? CD , BC ? PD ,所以 BC ? 平面 CDP, DE ? BC ; 又因为△CDP 为等腰直角三角形,E 为 CP 的中点,所以 DE ? PC ; 因为 DE ? PC , DE ? BC ,所以 DE ? 平面 BCP, DE ? BE ; 由于 DE ? BE ,DE ? PC , 故二面角 B―DE―C 的平面角为 ?BEC ; ?????? 8分 在△BCE 中, ?BCE ? 90o , CE ?

1 2 CP ? BC , 2 2

BE ? BC 2 ? CE 2 ? BC 2 ? (
CE 3 , ? BE 3

2 6 BC ) 2 ? BC , 2 2
?????10 分

所以 tan ?BEC ?

故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

3 . 3

?????12 分

(文) 证明:(Ⅰ)由已知,M 为 AB 的中点,D 为 PB 的中点, 所以 MD 是△ ABP 的中位线,所以 MD∥AP. ?????????3 分 又 MD ? 平面 APC,AP ? 平面 APC,故 MD∥平面 APC. ?????????6 分 (Ⅱ)因为△ PMB 为正三角形,D 为 PB 的中点,所以 MD⊥PB. 又因为 MD∥AP,所以 AP⊥PB. ?????????7 分 又 AP⊥PC,AP⊥PB,PB∩PC=P,所以 AP⊥平面 PBC. ?????????8 分 因为 BC?平面 PBC,所以 AP⊥BC. ?????????9 分 又 BC⊥AC,且 BC⊥AP,AC∩AP=A,所以 BC⊥平面 APC. ?????????11 分 因为 BC?平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 APC. ??????????12 分 19. (本小题满分 12 分) (理) 解析:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) , 由已知得: a ?

? 2 (30 ? x),0 ? x ? 30. 2 (Ⅰ) S ? 4ah ? 8 x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) 2 ? 1800,
所以当 x ? 15 时,S 取得最大值. (Ⅱ) V ? a h ? ?2 2 x ? 60 2 x . a h ? 2 2 ? ( x ? 30 x ),V ? ? 6 2 x(20 ? x). 由 V ? ? 0 得: x ? 0 (舍)或 x=20.
2 3 2
2 2 2 由

2 x, h ?

60 ? 2 x

????2 分 ????4 分 ????6 分 ????8 分

当 x ? (0, 20) 时, V ? ? 0 ; 当 x ? (20,30) 时, V ? ? 0 ; 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最小值. ????10 分 ????12 分 ????4 分

1 . h 1 1 ? 即 此时 ,装盒的高与底面边长的比值为 2 a 2 2
(文) 解析: (Ⅰ)4,6,6;

(Ⅱ)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为 A3,A4,A5,A10,A11,A13.

从中随机抽取 2 人,所有可能的抽取结果有:{A3,A4},{A3,A5},{A3,A10},{A3, A11},{A3,A13},{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A4,A13},{A5,A10},{A5,A11}, {A5,A13},{A10,A11},{A10,A13},{A11,A13},共 15 种. ????8 分

②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取 2 人,这 2 人得分之和大于 50” (记为 事件 B)的所有可能结果有:{A4,A5},{A4,A10},{A4,A11},{A5,A10},{A10,A11}, 共 5 种. 5 1 所以 P(B)= = . 15 3 20. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ)由于 S 2 ? 12 ? b2 ? 12 ? q ,可得 q ? 解得: q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) , ????12 分

12 ? q ,??????2 分 q

?????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分 ?????????6 分

S 2 ? 9 , d ? a2 ? a1 ? S 2 ? 2a1 ? 3 , ? an ? 3 ? (n ? 1)3 ? 3n
bn ? 3n ?1
(Ⅱ)证明:由 an ? 3n ,得 ? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 分 ? ????????? ? ? ( 7? ) 2 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 S n n(3 ? 3n) 3 n n ? 1 ? 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ?…? ? (1 ? ? ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? ) S1 S 2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ?1
????9 分

? n ? 1 ?0 ?

1 1 1 2 1 2 ? ? ? (1 ? )? n ?1 2 3 3 n ?1 3 1 1 1 1 2 故 ? ? ?…? ? 3 S1 S 2 Sn 3

????11 分 ????12 分

21. (本小题满分 12 分) 解析: (Ⅰ) CC1 ? r ? 1 , CC 2 ? 3 ? r ,∴ CC1 + CC 2 分 ∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点(c=1) ,长轴长 2a= 4 的椭圆 分
]

=4

???2

??????4

∴点 C 的轨迹 T 的方程是 6分

x2 y2 ? ?1 4 3

??????????????

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得: (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .
2 2 2

?8km 4m 2 ? 12 . (*式) ? x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? 4k ? 3 4k 2 ? 3

???????????8 分

, ? MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0) ???? ? ???? ? AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 . ???????????10 分

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m 2 ,代入(*式)
得: 7 m 2 ? 16km ? 4k 2 ? 0 ,

?

m 2 m ? ? 或 ? ?2 都满足 ? ? 0 , k 7 k m , ,0 ) k

????????12 分

由于直线: y ? kx ? m 与 x 轴的交点为( ? 当

m ? ?2 时,直线 l 恒过定点 (2, 0) ,不合题意舍去, k m 2 2 2 ? ? ? ,直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) .?????????13 分 k 7 7 7
22. (本小题满分 13 分) (理) 解析 :(Ⅰ ) 由点 (e, f (e)) 处的切线方程与直线 2 x ? y ? 0 平行,得该切线斜率为 2 ,即

f ' (e) ? 2.
且 f ?(e) ? k (ln e ? 1) ? 2 ? k ? 1 , 所以 f ( x) ? x ln x , ???? ? f ?( x) ? k (ln x ? 1) , 1分

f ?( x) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增

?????????2 分 ①0?t ? ②

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x) min ? f ( ) ? ? ;?????????3 分 e e e e 1 1 ?t ?t?2 , 即 t ? 时 , f ( x) 在 [t , t ? 2] 上 单 调 e e



增, f ( x) min ? f (t ) ? t ln t ;?????4 分 ( Ⅱ ) 立;

2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 恒 成 立 等 价 于

a ? 2 ln x ? x ?

3 x

恒 成

?????????5 分

3 ( x ? 3)( x ? 1) ( x ? 0) ,则 h '( x) ? ; x x2 当 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增;
设 h( x) ? 2ln x ? x ? 所 以
n

h( m x) ? i
分 因 为

h ?( . 1 )
一 切

4
x ? (0, ?? )
,

?????????6



2 f ( x) ? g ( x)













a ? h( x) min ? 4 .?????????8 分

1 2 x 2 ? 恒成立等价于 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) 恒成立; x e ex e e 1 1 由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? (当且仅当 x ? 取等号) ?10 e e
(Ⅲ) ln x ? 分

x 2 1? x ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x ; x e e e 1 易得 m( x) max ? m(1) ? ? (当且仅当 x ? 1 取等号). e
设 m( x ) ? 分 由于

?????12

1 1 2 ? 1 ,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立. e ex e

?????

13 分 (文) 解析:(Ⅰ)当 a ? 5 时 g ( x ) ? ( ? x ? 5 x ? 3) ? e , g (1) ? e .
2 x

???1



g ?( x ) ? ( ? x 2 ? 3 x ? 2) ? e x ,故切线的斜率为 g ?(1) ? 4e .
所以切线方程为: y ? e ? 4e( x ? 1) ,即 y ? 4ex ? 3e . (Ⅱ) f ?( x ) ? ln x ? 1 ,

???2 分 ???4 分

x
f ?( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e

1 ( , ??) e

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增
???6 分

①当 t ?

1 时,在区间 ( t , t ? 2) 上 f ( x ) 为增函数, e
???7 分

所以 f ( x )min ? f ( t ) ? t ln t ②当 0 ? t ?

1 1 1 时,在区间 ( t , ) 上 f ( x ) 为减函数,在区间 ( , e ) 上 f ( x ) 为增函数, e e e 1 e 1 e
2

所以 f ( x )min ? f ( ) ? ?
x

???8 分

(Ⅲ) 由 g ( x ) ? 2e f ( x ) ,可得: 2 x ln x ? ? x ? ax ? 3 ,

???9 分

a ? x ? 2 ln x ?

3 , x 3 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) , h ?( x) ? 1 ? ? 2 ? . x x x x2
(1,e)

令 h( x) ? x ? 2 ln x ?

x
h ?( x)

1 ( ,1) e

?
单调递减

0
极小值(最小值)

?
单调递增
???11 分

h( x)

1 1 3 h( ) ? ? 3e ? 2 , h(1) ? 4 , h(e) ? ? e ? 2 . e e e 1 2 h(e) ? h( ) ? 4 ? 2e ? ? 0. e e
? 实数 a 的取值范围为 4 ? a ? e ? 2 ?
???12 分

3 . e

???13 分


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