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2016-2017学年人教A版必修五 1.1.1正弦定理 课件(23张)


A

B

C

D

A

B

75

?

45?

C

20m

D

一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b

,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形

直角三角形的边与角之间有什么数量关系?
a sin A ? c
b sin B ? c
B c a

A
b C

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

a b c   ? ? sin A sin B sin C

这么优美的等式对直角三角成立,

对斜三角形是否成立呢?

合作学习:
a b c 证明: ? ? sin A sin B sin C

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

定理结构特征: 含三角形的三边及三内角

a b c   ? ? sin A sin B sin C
已知三角形中的哪些元素,可以利用正弦定理 解三角形: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角

② 已知两角和一边,求其他角和边

定理的应用举例

例1 已知, ? ? 75 ? ? 45 CD=20m
?
?

求AB

A

?

?

B

C

D

例2
在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 2, b ? 3, 求B

变式:

B=60°或120° B=30°

(1)在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 6, b ? 3, 求B 6 , b ? 3, 求B 2

(2)在?ABC中,已知A ? 450 , a ?

B=90°
1 (3) (2)在?ABC中,已知A ? 45 , a ? , b ? 3, 求B 2
0

无解

a b c ? ? 正弦定理: sin A sin B sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边,大边对大角 3、A为三角形的内角,则 0 ? sin A ? 1

小结:
? 正弦定理
? 主要应用 (1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。

a b c ? ? sin A sin B sin C

课后探究: (1)解三角形什么时候一解,
两解,无解 a b c ? ? ?k ( 2) sin A sin B sin C 那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?

台风中心位于某沿海城市正东方向 240 3 km处, 正以60km/h的速度向北偏西60度方向移动,距 离台风中心240km范围内将会受其影响。如果台 风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响? 已 知:
AB ? 240 3km AC ? 240km ?CBA ? 30?
A

C

B

求 BC

台风中心位于某沿海城市正东方向 240 3 km处, 正以60km/h的速度向北偏西60度方向移动,距离 台风中心240km范围内将会受其影响。如果台风 风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响? 这种影响持续多长时间?

C

A

250 3

B




C2

C1
A B





C2

C1
A B

定理证明:

下图中CD为三角形ABC的高,用向量怎 C 么表示呢?

a
B D

b
A

得到

a b ? sin A sin B

当 ?ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

b
a
D

B

c

A

当 ?ABC是锐角三角形时,结论是否还成立呢? 如图:作AB上的高是CD,根椐 C 三角形的定义,得到 E b a CD ? a sin B, CD ? b sin A

所以 a sin B ? b sin A
得到 a b ? sin A sin B

B

D

A

c

b c 同理, 作AE ? BC .有 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C


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