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2-5从力做的功到向量的数量积活页规范训练(北师大版必修四)


双基达标

?限时 20 分钟?? 从力做的功到向量的数量积?

1.对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中真命题是(

).

A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-bD.若 a· b=a· c,则 b=

c 解析 A 中若 a⊥b,则有 a· b=0,不一定有 a=0,b=0. C 中当|a|=|b|时,a2=b2,此时不一定有 a=b 或 a=-b. D 中当 a=0 时,a· b=a· c,不一定有 b=c.答案 B ).

2.若向量 a,b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60° ,则 a· a+a· b=( 1 A.2 3 B.2 3 C.1+ 2 D.2 B ).

1 3 解析 a· a+a· b=|a|2+|a||b|· 60° cos =1+1×1×2=2.答案

3.设 e1,e2 是两个平行的单位向量,则下面的结果正确的是( A.e1·2=1 B.e1·2=-1C.|e1·2|=1 D.|e1·2|<1 e e e e

解析 ∵e1,e2 平行,∴e1 与 e2 的夹角 θ=0° θ=180° 或 ,若 θ=0° ,则 e1·2= e |e1||e2|cos θ=1×1×cos 0° =1; 若 θ=180° 则 e1·2=|e1||e2|cos θ=1×1×cos 180° , e =-1; 综上得|e1·2|=1.答案 e 4.已知|a|=5,|b|=6,若 a∥b,则 a· b=________. 解析 由 a∥b,可知 a 与 b 的夹角为 0 或 π,故 a· b=± 30.答案 ± 30 C

5.已知 a⊥b,(3a+2b)⊥(ka-b),若|a|=2,|b|=3,则实数 k 的值为________. 解析 由已知 a· b=0,a2=4,b2=9,(3a+2b)· (ka-b)=0?3ka2+(2k-3)a· b- 3 2b2=0.∴12k-18=0,∴k=2.答案 3 2

6.已知 a、b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直, 求 a 与 b 的夹角. 解 ∵a+3b 与 7a-5b 垂直,∴(a+3b)· (7a-5b)=0, ∵a-4b 与 7a-2b 垂直,∴(a-4b)· (7a-2b)=0.
2 b-15b2=0, ?7a +16a· 于是有? 2 b+8b2=0. ?7a -30a·

① ②

①-②得 2a· 2. b=b 将③代入①得 a2=b2,∴|a|=|b|. |b|2 1 a· b ∴cos〈a,b〉=|a||b|=2|b|2=2. ∵0° ≤〈a,b〉≤180° ,∴〈a,b〉=60° .



综合提高

?限时 25 分钟?
).

→ → 7.如图所示,在 Rt△ABC 中,A=90° ,AB=1,则AB· 的值是( BC A.1 B.-1 C.1 或-1 D.不确定,与 B 的大小,BC 的长度有关 解析 法一

→ → → → → → 根据数量积的定义, 得AB· =-BA· =-|BA||BC|cos B. cos B BC BC 又

→ → → → |BA| = ,故AB· =-|BA|2=-1,故选 B. BC → |BC| → → → → → → 法二 从投影的角度来考虑, 事实上, 由于 A=90° AB· =-BA· =-|BA||BC , BC BC → → → → → |cos B,而|BC|cos B=|BA|,所以AB· =-|BA|2=-1.故选 B. BC 答案 B 8.已知|a|=3,|b|=2,? a,b? =60° ,如果(3a+5b)⊥(ma-b),则 m 的值为 ( 32 A.23 解析 23 B.43 29 C.42 21 D.16 ).

由已知可得(3a+5b)· (ma-b)=0,即 3ma2+(5m-3)a· b-5b2=0?3m·2 3

29 +(5m-3)· 3×2· 60° cos -5×22=0,解之得 m=42. 答案 C → → → 9.已知平面上三点 A、B、C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5, → → → → → → 则AB· +BC· +CA· =________. BC CA AB

→ → → 解析 因为|AB|2+|BC|2=|CA|2,所以△ABC 为直角三角形,其中∠B=90° . → → → → → → → → → → 所以AB· +BC· +CA+AB=0+|BC||CA|cos (π-C)+|CA||AB|cos(π-A)=- BC CA 4 3 4×5×5-5×3×5=-25. 答案 -25 → → → 10.在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则OA· +OC)的 (OB 最小值是________. → → → 解析 OB+OC=2 OM. → → → → → ∴OA· +OC)=2· · (OB OA OM → → =2|OA|· |· 180° |OM cos → → =-2· |· |. |OA |OM → → 而|OA|+|OM|=2, → ? → → ?→ ?|OA|+|OM|?2=1. ∴|OA|· |≤? |OM ? 2 ? ? → → 当且仅当|OA|=|OM|时“=”成立. → → → ∴OA· +OC)≥-2. (OB 答案 -2 11.对于两个非零向量 a,b,求使|a+tb|最小时的 t 的值,并求此时 b 与 a+tb 的夹角. 解 |a+tb|2=a2+2(a· b)t+t2b2 =|a|2+2(a· b)t+t2|b|2 b ?a· 2 b? ? a·? =|b|2?t+|b|2?2+|a|2- |b|2 . ? ? a· b 当 t=-|b|2时,|a+tb|2 取得最小值, 即|a+tb|取得最小值.

a· ? b ? ? 此时,b· (a+tb)=b·a-|b|2b? ? ? a· b =a· |b|2b2=a· b- b-a· b=0. 又∵b≠0,(a+tb)≠0,∴b⊥(a+tb). ∴b 与 a+tb 的夹角为 90° . 12.(创新拓展)已知|a|= 2,|b|=3,a 与 b 夹角为 45° ,是否存在实数 λ,使 a +λb 与 λa+b 所成的角为锐角?若存在,请求出 λ 所满足的条件;若不存在,请 说明理由. 解 设 a+λb 与 λa+b 的夹角为 θ. (a+λb)· (λa+b)=λa2+λb2+(λ2+1)a· b =λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)|a||b|cos 45° 2 =2λ+9λ+(λ2+1)×3 2× 2 =3λ2+11λ+3. 若 θ 为锐角,则 cos θ>0. ∵cos θ= ?a+λb?· ?λa+b? ,|a+λb||λa+b|>0, |a+λb||λa+b|

∴若 θ 为锐角,则(a+λb)· (λa+b)>0, 即 3λ2+11λ+3>0. 令 3λ2+11λ+3=0,得 λ= -11± 85 . 6 -11+ 85 和 6

由于抛物线 y=3λ2 +11λ+3 开口向上,与横轴交点的横坐标为

-11- 85 -11- 85 ,所以使 3λ2+11λ+3>0 的 λ 的取值范围为 λ< ,或 λ> 6 6 -11+ 85 . 6 当 a+λb 与 λa+b 共线时, (a+λb)· (λa+b)=|a+λb||λa+b|, 或(a+λb)· (λa+b)=-|a+λb||λa+b|, 解得 λ=1,或 λ=-1,此时不符合题意. ? -11- 85? ?-11+ 85 ? ?∪? 所以当 λ∈?-∞, ,1?∪(1,+∞)时,a+λb 与 λa+b 6 6 ? ? ? ? 所成的角为锐角.


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