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高中数学 第一章 数列的概念与简单表示法典型例题素材 北师大版必修5


数列的概念与简单表示法 典型例题
例 1、求下列数列的一个通项公式: ⑴

3,5,9,17,33,?,
1 1 1 1,0,? ,0, ,0,? ,0, ? , 3 5 7





2 4 6 8 10 , , , , , ?, 3 15 35 63 99

/>⑷

1,3,6,10,15,21,?,

【解析】 ⑴ 联想数列 2,4,8,16,32, ?, 即数列

?2 ?,可得数列的通项公式 a
n

n

? 2n ? 1 ;

⑵ 将原数列改写为

1 0 1 0 1 0 1 0 , ,? , , , ,? , , ? , 分母分别为 1,2,3,4,5, ? , 分子 1 2 3 4 5 6 7 8

分别为 1,0,1,0,1, ?, 呈周期性变化,可以用 sin

n? 2

,或 cos

( n ? 1)? 2

,或

( ?1)

n ?1

?1

2

表示. a n

?

sin

n? 2 n

(或 an

?

cos

n ?1 ? 2 n

( ?1) n ?1 ? 1 ,或 a n ? ) 2n

⑶ 分子为正偶数列,分母为 1 ? 3,3 ? 5,5 ? 7,7 ? 9,9 ? 11, ? , 得

an ?

2n ( 2n ? 1)(2n ? 1)

⑷ 观察数列可知:

a1 ? 1, a2 ? 1 ? 2, a3 ? 1 ? 2 ? 3, a4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4,?,
a 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, a5 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5,? a n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
本题也可以利用关系式 例 2、数列

n( n ? 1) 2

an ? an?1 ? n 求解.

?an ?中, an ? n2 ? 5n ? 4 .

⑴18 是数列中的第几项? ⑵

n 为何值时, an 有最小值?并求最小值.
2

【解析】 ⑴ 由n

? 5n ? 4 ? 18 ? n 2 ? 5n ? 14 ? 0 ,解得 n ? 7 ,?18 是数

列中的第 7 项.



例 3、数列 【解析】

?an ?中, an ? n ?

n 2 ? 2 ,求数列

?an ?的最大项和最小项.

an ?1 n ? 1 ? (n ? ) 2 ? 2 n ? n2 ? 2 ? ? ? 1, ?a 2 2 n? n ?2 n ? 1 ? (n ? 1) ? 2 n


? an ? n ?

n 2 ? 2 ? 0 ,? an ? an ?1 ,数列

?an ?是递增数列

?数列 ?an ?的最小项为 a1 ? 1 ? 3 ,没有最大项.
例 4、数列 【解析】

?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an .

? a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1
? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 , a4 ? 2a3 ? 1 ? 15,
a5 ? 2a4 ? 1 ? 31
由1 ?

21 ? 1,3 ? 22 ? 1,7 ? 23 ? 1,15 ? 24 ? 1,31 ? 25 ? 1,?, 可以归纳出

an ?

2 n ?1

例 5、 已知数列 出.

?an ?的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由 an ? an?1 ? an?2

(n ? 2) 给

⑴写出这个数列的前 5 项;

⑵利用上面的数列

?an ?,通过公式 bn ?

an ?1 an

构造一个新的数列 {bn } ,试写出数列

{bn }
【解析】 ⑴ 由 a1

的前 5 项.

? 1, a2 ? 2, an ? an?1 ? an?2 ,得 a3 ? a2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 3 ,

a4 ? a3 ? a2 ? 2 ? 3 ? 5 , a5 ? a4 ? a3 ? 3 ? 5 ? 8 ;
⑵ 依题意有: b1

?

a 5 a2 2 a 8 a ? ? 2 , b2 ? 3 ? 3 , b3 ? 4 ? , b4 ? 5 ? , a3 3 a1 1 a4 5 a2 2

b5 ?

a6 a5 ? a4 5 ? 8 13 ? ? ? . a5 a5 8 8

例 6、已知数列 常数且

?an ?中, a1 ? 40 , an?1 ? an

? an ? b(n ? N ? ) ,其中 a , b



a 为正整数, b 为负整数.
an ;
? 0, a6 ? 0 ,求 a , b ;

⑴求通项 ⑵若 a5

⑶对于⑵中的 a , 【解析】 ⑴ an

b 值,求此数列所有负项的和 S .

?

n(n ? 1) a ? (n ? 1)b ? 40 , 2

⑵?

?a5 ? 0 ?10a ? 4b ? 40 ? 0 5 ?? ? 0 ? a ? 4, b ? (? a ? 10,?3a ? 8) 2 ?a 6 ? 0 ?3a ? b ? 8 ? 0

所以 a

? 1,2,3 , 当 a ? 1 时,b ? (?

25 ,?11) ,所以 b ? ?12 .当 a ? 2,3 时, 2

b 不是负整数.所以 a ? 1, b ? ?12
⑶由⑴⑵知, an

?

n(n ? 1) 1 ? 12(n ?1) ? 40 ? ( n2 ? 25 n ?104) 2 2



当 6 ≤ n ≤ 19 时, an

? 0 ,故

S ? a6 ? a7 ? ? ? a19 ? 2(a6 ? a7 ? ? ? a12 ) ? ?252


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