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等比数列的前n项和(第一课时)


课题:等比数列的前n项和

这15堆扑克牌共有多少张?

情 景 创 设
1 2

8

4


(4) (15)

(1)

(2)

(3)

情 景 创 设

1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ??? ? 2 ? 2 ?
13 14

方案:

记S15 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 2 3 14 15 2S15 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ②
2 3 14 ①



① 得

S15 ? ?1 ? 0 ? 0 ???? ? 0 ? 2 ? 2 ?1
15 15

常数列

探 等比数列{an }的首项为a1,公比为q 究 新 如何求它的前n项和Sn呢? 知
探究活动二:

探究等比数列求和的方法,准备 交流展示

思路1

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? an?1 ? an
由通项公式,上式可写为

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ????? a1q ? a1q ① 2 n ?2 n?1 n a1q ? a1q ??? a1q ? a1q ? a1q ② qSn ?
2

n ?2

n?1



② 得 1 ? q)Sn (

? a1 ? 0 ? 0 ????? 0 ? a1q
n

n

( ? q)Sn ? a1 ? a1q 1
错位相减法

常数列

思路2

a3 an a2 等比数列定义: ? ??? ?q a1 a2 an?1
由比例,得

a1 ? an q 当q ? 1时, S n ? 1? q 当q ? 1时,Sn ? na1

S n ? a1 即 ?q S n ? an ?(1 ? q)Sn ? a1 ? an q

a2 ? a3 ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1

思路3

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2

n?1

? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?? a1q

n? 2

)

? a1 ? qSn?1

? Sn ? a1 ? q( Sn ? an ) 即(1 ? q)Sn ? a1 ? an q

Sn?1

a1 ? an q 当q ? 1时, S n ? 1? q 当q ? 1时,Sn ? na1

结论

等比数列前n项和公式

? a (1 ? q n ) a ? an q ? 1 (q ? 1) ? 1 ? 1? q Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 ?

新 知 应 用

1 1 1 1 例题:求等比数列 , , , ??? 前8项的和. 2 4 8 16

1 1 (1 ? 8 ) 2 2 ? 255 . 解:S8 ? 1 256 1? 2
变式1:求等比数列 第6项到第10项的和.
1 1 1 1 , , , ??? 2 4 8 16

变式1:求等比数列 第6项到第10项的和.

1 1 1 1 , , , ??? 2 4 8 16

1 1 31 思路1:S10 -S5 ? 5 ? 10 ? 2 2 1024 1 5 a6 [1 ? )] ( 31 2 思路2:原式= ? 1 1024 1? 1 5 2 31 思路3:原式 ? ( ) S5 ? 2 1024

变式2
1 1 1 63 1、 等比数列 , , ,?前多少项的和是 ? 2 4 8 64

解:

1 1 a1 ? , q = 2 2

1 ? 1 n? ? ?1 ? ( ) ? 2 ? 2 ? Sn ? 1 1? 2

63 ? 64

?n?6

1 1 1 1 ??? 变式2:求数列 1 , 2 ,3 , 4 , 2 4 8 16 的前n项和.

1 2 3 4 n ??? 变式3:求数列 2 , 4 , 8 , 16 , , 2 n 的前n项和.

提高

1 1 1 2 n 求和:( x ? ) ? ( x ? ) ??? (x ? n ) 2 y y y ( x ? 0, x ? 1, y ? 1).

解:当

x ? 0, x ? 1, y ? 1 时, ?1 1 1 ? 2 n 原式= ( x ? x ? ? ? x ) ? ? ? 2 ? ? ? n ? ?y y y ? ? ? 1? 1 ? n x(1 ? x ) y ?1 ? y n ? ? ? ? ? ? ? 1? x 1 1? y

x?x y ?1 ? ? n ?1 . 1? x y ?y
n

n ?1

1 1 1 2 n 变形1. 求和: ( x ? y ) ? ( x ? y 2 ) ? ? ? ( x ? y n ) ( x ? 0, y ? 1).
分析:当

x ? 0, y ? 1 时,对x分两种情况讨论 ⑴. x ? 1 ?1 1 1 ? 原式 ? ?1 ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? n ? ?y y y ? ? ?
1? 1 ? ?1 ? n ? y? y ? ? ? n? ? 1 1? y
同练习

⑵.

x ?1

变形2.

1 1 1 2 n ( 求和: x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0, x ? 1).

分析:当

x ? 0, x ? 1 时,对y分两种情况讨论 ⑴. y ? 1
原式=

( x ? x ? ? ? x ) ? (1 ? 1 ? ? ? 1)
2 n

x 1? x ? 1? x
⑵.

?

n

?? n

y ?1

同练习

1 1 1 2 n ( 变形3. 求和:x ? ) ? ( x ? 2 ) ? ? ? ( x ? n ) y y y ( x ? 0).
分析:当 x ? 0 时,对x,y分四种情况讨论


⑵ ⑶ ⑷

x ? 1, y ? 1 原式 ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? (1 ? 1 ? ? ? 1) ? n ? n ? 2n x ? 1, y ? 1 同变形1.(1) x ? 1, y ? 1
同变形2.(1) 同练习

x ? 1, y ? 1

课 时 小 结

主要知识
等比数列前n项和公式 ? a (1 ? q n ) a ? an q ? 1 (q ? 1) ? 1 ? 1? q Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1 ?

主要方法

错位相减法、特殊---一般---特殊 主要思想

方程的思想、分类讨论的思想


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