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2.2.2 等差数列的性质


课时训练 8 等差数列的性质
一、等差数列性质的应用
1.在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= A.12 答案:B 2.等差数列{an}中,若 a2+a4 024=4,则 a2 013=( A.2 答案:A 解析:2a2 013=a2+a4 024=4,∴a2 013=2. 3.在等差数列{an}中,a3+3a8+a13=120,则

a3+a13-a8 等于( A.24 答案:A 解析:根据等差数列的性质可知 a3+a13=2a8,所以已知等式可变为 2a8+3a8=120,解得 a8=24,所以 a3+a13-a8=2a8-a8=a8=24. 4.如果等差数列{an}中,a1=2,a3=6,则数列{2an-3}是公差为 答案:4 解析:设数列{an}的公差为 d,则 a3-a1=2d=4,∴d=2.∴数列{2an-3}的公差为 4. 5.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则 a6= 答案:13 6.(2015 河南郑州高二期末,14)若 2,a,b,c,9 成等差数列,则 c-a= 答案:2
7

( D.24 ) D.-2

)

B.16

C.20

B.4

C.6

) D.-8

B.22

C.20

的等差数列.

. .

二、等差数列的综合应用
7.已知等差数列{an}中,a7=4,则 tan(a6+a7+a8)等于 ( A.- 3
3 π

) D.1

B.- 2

C.-1

答案:C 解析:在等差数列中,a6+a7+a8=3a7= 4 ,


∴tan(a6+a7+a8)=tan 4 =-1.
8.已知数列{an}是等差数列,a4=15,a7=27,则过点 P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率为( A.4 答案:A B.4
1



)

C.-4

D.-4

1

1

解析:由数列{an}是等差数列,知 an 是关于 n 的一次函数,其图象是一条直线上的等间隔的点(n,an),因 此过点 P(3,a3),Q(5,a5)的直线斜率即过点(4,15),(7,27)的直线斜率,所以直线的斜率 k= 9.在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=90,则 a10-3a14 的值为( A.12 答案:A 解析:由等差数列的性质及 a4+a6+a8+a10+a12=90 得 5a8=90,即 a1+7d=18,∴a10-3a14=a1+9d1 2 2 (a +13d)=3(a1+7d)=3×18=12,故选 A. 3 1 1 1 27-15 =4. 7-4

)

B.14

C.16

D.18

10.数列{an}满足 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求 λ 与 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由. 解:(1)由条件得 a2=(2-λ)a1,又 a1=1,a2=-1,所以 λ=3,从而 a3=(22+2-3)a2=-3. (2)假设数列{an}是等差数列,由 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an 得 a2=2-λ, a3=(6-λ)(2-λ), a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 由假设知 2a2=a1+a3, 即 2(2-λ)=1+(6-λ)(2-λ),解得 λ=3, 于是 a2=-1,a3=-3,a4=-27,所以 a2-a1=-2,而 a4-a3=-24,与数列{an}是等差数列矛盾,故数列{an}不可 能是等差数列.

(建议用时:30 分钟)
1.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( A.4 答案:C 解析:由等差数列性质得 a2+a8=2a5=12,所以 a5=6. 2.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则 3a9-a11 的值为( A.6 答案:D 解析:∵a1+a15=2a8,∴a1+3a8+a15=5a8. B.12 C.24 ) D.48 B.5 C.6 ) D.7

∴5a8=120,a8=24.
而 3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48.

∴选 D.
3.若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则 ap+q 为( A.p+q B .0 C.-(p+q) ) D. 2
+

2

答案:B 解析:公差 d=
- =-1,∴ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0. -

4.由公差 d≠0 的等差数列 a1,a2,…,an,…组成一个数列 a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是( A.该新数列不是等差数列 B.是公差为 d 的等差数列 C.是公差为 2d 的等差数列 D.是公差为 3d 的等差数列 答案:C 解析:∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,

)

∴数列 a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为 2d 的等差数列.
5.已知{an}为等差数列,若 a1+a5+a9=8π,则 cos(a3+a7)的值为( A. 2
3

)

B.- 2

3

C.2

1

D.-2

1

答案:D 解析:∵{an}为等差数列,a1+a5+a9=8π,

∴a5=3π,cos(a3+a7)=cos(2a5)=cos

8

16 1 π=-2. 3

6.等差数列{an}中,已知 a3=10,a8=-20,则公差 d= 答案:-6 解析:由题知 d=
8 -3 8-3

.

= 5 =-6. .

-30

7.在等差数列{an}中,已知 a8+m=10,a8-m=6,其中 m∈N*,且 1≤m≤7,则 a8= 答案:8 解析:∵a8+m+a8-m=2a8,∴a8=8.

8.如果有穷数列 a1,a2,…,am(m 为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,…,am=a1,则称其为“对称”数列.例如 数列 1,2,5,2,1 与数列 8,4,2,4,8 都是“对称”数列.已知在 21 项的“对称”数列{cn}中,c11,c12,…,c21 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,c2= 答案:19 解析:因为 c11,c12,…,c21 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,又{cn}为 21 项的对称数列,所以 c2=c20=c11+9d=1+9×2=19. 9.已知等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式. 解:∵a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15.∴a4=5. 又∵a2a4a6=45,∴a2a6=9. 即(a4-2d)(a4+2d)=9, 即(5-2d)(5+2d)=9,解得 d=±2. 若 d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3; 若 d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n. 3 .

10.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求 a75. 解:解法一:因为{an}为等差数列,

∴a15,a30,a45,a60,a75 也成等差数列,设其公差为 d,a15 为首项,则 a60 为其第 4 项,∴a60=a15+3d,得
d=4.

∴a75=a60+d=20+4=24.
解法二:设{an}的公差为 d,因为 a15=a1+14d,a60=a1+59d, 1 = , + 14 = 8, 15 ∴ 1 解得 4 1 + 59 = 20, = .
15 64

故 a75=a1+74d=15+74×15=24.

64

4

4


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