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第1章1.2.4第一课时知能优化训练


1. 若直线 a?平面 α, 直线 b?平面 β, a, b 是异面直线, 则 α, β 的位置关系是________. 解析:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB?平面 ABCD,B1C1?平面 A1B1C1D1,B1C1 ?平面 BCC1B,但平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,平面 ABCD 与平面 BCC1B1 相交.故填平行 或相交. 答案:平行或相交 2

.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是________. 解析:α∥β,a?α,b?β,a 与 b 的关系不确定,可借助正方体来判断. 答案:平行或异面 3.已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,则 a 与 β 的位置关系为________. 解析:∵α∥β,∴α 与 β 没有公共点. ∵a?α,∴a 与 β 没有公共点.∴a∥β. 答案:a∥β 4.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是________. 解析: 以长方体为模型观察, 这条直线可能和这两个平面都平行, 也可能在一个平面内, 且与另一个平面平行. 答案:至少与一个平面平行 一、填空题 1.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β 的四个结论: ①若 m?α,l∩α=A,点 A?m,则 l 与 m 不共面; ②若 m、l 是异面直线,l∥α,m∥α,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥α; ③若 l⊥α,m∥β,α∥β,则 l∥m; ④若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中错误结论的序号是________. 解析:①依据异面直线判定定理知其正确.②l、m 在 α 内的射影为两条相交直线,记 为 l′、m′,则 l′∥l,m′∥m.又∵n⊥l,n⊥m,∴n⊥l′,n⊥m′.∴n⊥α.故②正确.③ 满足条件的 l 和 m 可能相交或异面,故错误.④依据面面平行的判定定理知其正确. 答案:③ 2. 若平面 α∥平面 β, 且 α, β 间的距离为 d, 则在平面 β 内, 下面说法正确的是________(填 序号). ①有且只有一条直线与平面 α 的距离为 d; ②所有直线与平面 α 的距离都等于 d; ③有无数条直线与平面 α 的距离等于 d; ④所有直线与平面 α 的距离都不等于 d. 解析: 两个平面平行, 其中一个平面内的所有直线到另一个平面的距离等于这两个平面 间的距离. 答案:② 3.已知两条直线 m,n,两个平面 α,β.给出下面四个结论:①m∥n,m⊥α?n⊥α;② α∥β,m?α,n?β?m∥n;③α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β. 其中正确结论的序号是________. 解析:由 α∥β,m?α,n?β?m∥n 或 m、n 异面,∴②错. 答案:①③ 4.平面 α∥平面 β,△ABC 和△A′B′C′分别在平面 α 和平面 β 内,若对应顶点的 连线共点,则这两个三角形________. 解析:由于对应顶点的连线共点,则 AB 与 A′B′共面, 由面与面平行的性质知 AB∥A′B′,

同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′,故两个三角形相似. 答案:相似 5.不同直线 m、n 和不同平面 α、β,给出下列命题: ? ? ? ? α∥β ? m∥n? m?α? α∥β ? ??m∥β;② ??n∥β;③ ??m、n 不共面;④ ??m∥β, ① ? ? ? ? m?α? m∥β? n?β ? m∥α? 其中错误的是________(填序号). 解析: 由面面平行与线面平行的定义知:①是正确的.对于②,n 可能在平面 β 内.对于③, 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1?平面 AD1,CC1?平面 CD1,而 AA1∥C1C,从 而 A1A 与 CC1 可确定一个平面 AA1C1C,即 AA1、C1C 可以共面.对于④,m 可能在平面 β 内.故②③④错.

答案:②③④ 6. 已知平面 α 外不共线的三点 A, B, C 到 α 的距离都相等, 则正确的结论是________(填 序号). ①平面 ABC 必平行于 α; ②平面 ABC 必与 α 相交; ③平面 ABC 必不垂直于 α; ④存在△ABC 的一条中位线平行于 α 或在 α 内. 解析:平面 α 外不共线且到 α 距离都相等的三点可以在平面 α 的同侧,也可以在平面 α 的异侧,若 A、B、C 在 α 的同侧,则平面 ABC 必平行于 α;若 A、B、C 在 α 的异侧,平面 ABC 必与 α 相交且交线是△ABC 的一条中位线所在直线,排除①②③. 答案:④ 7.已知平面 α∥β∥γ,两条直线 l,m 分别与平面 α,β,γ 相交于点 A,B,C 和 D,E, DE 2 F,已知 AB=6, = ,则 AC=________. DF 5 AB DE 解析:∵α∥β∥γ,∴ = . BC EF DE 2 DE 2 AB 2 由 = ,得 = ,∴ = . DF 5 EF 3 BC 3 而 AB=6,∴BC=9,∴AC=AB+BC=15. 答案:15 8.设平面 α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,直线 AB 与 CD 交于点 S,且 AS=8,BS =9,CD=34,当点 S 在平面 α,β 之间时,CS 等于________. 解析:

如图,由题意知, △ASC∽△BSD, ∵CD=34,∴SD=34-CS. 由 AS∶BS=CS∶(34-CS)知, 8∶9=CS∶(34-CS),∴CS=16. 答案:16

9.下列说法中,正确说法的序号是________. ①平行于同一直线的两个平面平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③平行于同一平面的两个平面平行.

解析:①不正确,如图,直线 a 与平面 α 和平面 β 都平行,且 α∩β=b(易知 a∥b);② 正确;③正确. 答案:②③ 二、解答题

10. 如图所示, 三棱柱 ABC-A1B1C1, D 是 BC 上一点, 且 A1B∥平面 AC1D, D1 是 B1C1 的中点. 求证:平面 A1BD1∥平面 AC1D. 证明:如图,连结 A1C 交 AC1 于点 E,连结 DE, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形,

∴E 是 A1C 的中点.连结 ED, ∵A1B∥平面 AC1D,平面 A1BC∩平面 AC1D=ED, ∴A1B∥ED. ∵E 是 A1C 的中点, ∴D 是 BC 的中点. 又∵D1 是 B1C1 的中点,∴BD1∥C1D,A1D1∥AD, ∴BD1∥平面 AC1D,A1D1∥平面 AC1D. 又 A1D1∩BD1=D1,∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.

11.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM= DN. 求证:MN∥平面 AA1B1B. 证明:

如图,作 MP∥BB1,交 BC 于点 P,连结 NP, CM CP ∵MP∥BB1,∴ = , MB1 PB ∵BD=B1C,DN=CM, ∴B1M=BN, CM DN CP DN ∵ = ,∴ = , MB1 NB PB NB ∴NP∥CD∥AB, ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. 又 MN?平面 MNP, ∴MN∥平面 AA1B1B.

12.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1B1 的中点是 P,过点 A1 作与截面 PBC1 平行的截面,能否确定截面的形状?如果能,求出截面的面积. 解:能.如图,取 AB,C1D1 的中点 M,N,连结 A1M,MC,CN,NA1, ∵A1N∥PC1 且 A1N=PC1, PC1∥MC,PC1=MC, ∴四边形 A1MCN 是平行四边形. 又∵A1N∥PC1,A1M∥BP, A1N∩A1M=A1,C1P∩PB=P,

∴平面 A1MCN∥平面 PBC1, 因此,过点 A1 与截面 PBC1 平行的截面是平行四边形. 连结 MN,作 A1H⊥MN 于点 H, ∵A1M=A1N= 5,MN=2 2, ∴A1H= 3. 1 ∴S△A1MN= ×2 2× 3= 6. 2 故 S?A1MCN=2S△A1MN=2 6.


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