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一道平面几何题的向量论证


2003 年第 9 期               学 通 讯 数

21

一道平面几何题的向量论证
孙  敏
( 襄樊铁一中 , 湖北   441000)

中图分类号 :O123 - 1      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2003) 09 - 0021

- 01

   《数学通报》 1212 问题如下 :如图 1 设 第 △A B C 的一边 A B 上 有 P1 , P2 两 点 , 另 一 边 A C 上有 Q 1 , Q 2 两
AB AC 点, 若 + = A P1 A Q1 AB AC + = 3, 则 A P2 A Q2
图1  三角形

令 μ=

m

1+ m 则 λ+ μ = 1 .

,λ =

1 , 1+ m

∴ OA = λ OB + μ O C. 反之 , 若存在实数 λ, μ,λ + μ = 1 , 使得
OA = λ OB + μ O C , ) 则由 OA = λ OB + ( 1 - λ O C , 得 OA - O C = λ( OB - O C) ,

P1 Q 1 与 P2 Q 2 的交点 G 是 △A B C 的重心 .

∴ CA = λ CB , A , B , C 三点共线 . 下面证明 , 上述重心性质 . 必要性  ( 仍用 A B 表示 A B 的长度等) 延长 A G 交 B C 于 F , 如图 3 , ∵PQ 过重心 G , P , G , Q 三点共线 , ∴ 存在 λ,μ,λ+ μ = 1 , 使得
A G = λA P + μ A Q .

上述问题可概述为 : P , Q 为 △A B C 的 两边 A B , A C 上的两点 , 则 PQ 过 △A B C 的
AB AC + = 3 , 本文将 A P AQ 利用向量给出它的证明 .

重心 G 的充要条件是

结 论 1  设 OA ,
OB , O C 为平面上不共

线的三个非零向量 , 则
A , B , C 三点共线的充

要条件是存在实数 λ, μ, 使得 OA = λ OB + μ
O C , 其中 λ + μ = 1 .
图2  结论 1 图

2 2 1 AF= × ( A B + A C) 3 3 2 1 1 AB AC = ( A B + A C) = ? P+ A ?Q A 3 3 AP AQ

又因 A G =

( 1)

∴λ =
A μ= 1 ? C , 3 AQ

证  不妨设 A 在 B C 之间 , 若 A , B , C 三点共线 , 则
B A = m A C ( m > 0) ,

1 AB ? , 3 AP

从而 ,
AB AC + = 3. A P AQ
图3  三角形

∴ OA - OB = m ( O C - OA ) , ∴ ( 1 + m ) OA = m O C + OB , ∴ OA =
m

1+ m

OC +

1 OB . 1+ m

充分性   由等式 ( 1) 的可逆性立得 .

收稿日期 :2003 - 01 - 15 作者简介 :孙敏 ( 1968 - ) , 女 , 河南漯河人 , 湖北襄樊铁一中一级教师 , 学士 .


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