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【金版学案】2016高考数学理科二轮复习课件:专题8第二讲 极坐标与参数方程


随堂讲义
专题八 选修专题 第二讲 极坐标与参数方程

从历年高考题全国卷可知,极坐标与参数方程 在选考题中相对容易,选此题同学较多,且重点考 查参数方程与普通方程互化,极坐标与普通坐标的 互化,另重点考几类曲线的参数方程与极坐标方程, 应争取拿满分!

例1

把极坐标方程 ρ=2cos θ -4sin

θ 化成直角坐标方程.

? ?x=ρcos θ, 思路分析:利用公式? 可得. ? ?y=ρsin θ

解析:把 ρ=2cos θ-4sin θ两边都乘 ρ,得 ρ2=2ρcos θ- 4ρsin θ,即 x2+y2=2x-4y,即 x2+y2-2x+4y=0.

? π? 1. 在坐标中, 圆 ρ=4cos θ 的圆心 C 到直线ρ sin?θ + ?=2 2 4? ?

的距离为 2. 解析:由 ρ=4cos θ,化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0,共
? π? 2 2 圆心是 A(2,0). 由 ρsin?θ+ ?=2 2得 ρsin θ+ ρcos θ= 2 2 4? ?

2 2,化为直角坐标方程为 x+y-4=0.由点到直线的距离公式,得 |2+0-4| = 2. 2

例 2 如图所示,AB 是半径为 1 的圆的一条直径,点 C 是此圆 上的任意一点,作射线 AC,在 AC 上存在一点 P,使得 AP· AC=1. 以点 A 为极点,射线 AB 为极轴建立极坐标系,求出动点 P 的轨迹 方程.

思路分析:点 P 随着点 C 的运动而运动,而点 C 的轨迹的形状 是已知的圆,故可以先写出圆的方程,再采用代入法即可示得点 P 的轨迹方程. 解析:在圆上任取一点 M,设 M(ρ,θ),则∠AMB=90°,从 而|AB|cos θ=ρ,即圆的方程为 ρ=2cos θ.设 C(ρ1,θ1),P(ρ2, θ1),将 C(ρ1,θ1)代入圆的方程,得 ρ1=2cos θ1. 1 由题意,可得 ρ1ρ2=1.所以 ρ1= . ρ2 代入ρ1=2cos θ1 并化简,得 2ρ2cos θ1=1. 1 所以动点 P 的轨迹方程为 ρcos θ= . 2

2. 从极点 O 作直线与另一直线 ρcos θ =4 相交于点 M, 在 OM 上取一点 P,使|OM|· |OP|=12,求点 P 的轨迹方程. 解析:设动点 P 的坐标为(ρ,θ),M(ρ0,θ). 12 ∵|OM|·|OP|=12,∴ρ0ρ=12,即 ρ0= . ρ 12 又 M 在直线 ρcos θ=4 上,∴ cos θ=4. ρ ∴ρ=3cos θ,即是点 P 的轨迹方程.

解决这类问题一般有两种思路: 一是将极坐标方程化为直角坐标 方程, 求出交点的直角坐标, 再将其化为极坐标; 二是利用相关点法, 即将动点的极坐标表示为相关点的极坐标,再代入极坐标方程中即 可.

例3

? 求直线? (t 为参数)被曲线 ρ= 3 y =- 1 - t ? 5
4 x=1+ t, 5

? π? 2cos?θ + ?所 4? ?

截得的弦长. 思路分析:将参数方程化为普通方程之后再数形结合求解.

? 解析: 将方程? ρ= 3 y =- 1 - t, ? 5
4 x=1+ t, 5
2 2

? π? 2cos?θ+ ?分别化为普通方 4? ?

?1 1? 2 程为 3x+4y+1=0,x +y -x+y=0,圆心 C?2,-2?,半径为 , 2 ? ?

1 圆心到直线的距离为 d= ,弦长=2 r2-d2=2 10

1 1 7 - = . 2 100 5

解决参数方程、极坐标方程为背景的问题时常常要先化 为直角坐标系中的普通方程,然后数形结合求解.

? ?x=-1+2cos θ , 3.若圆的方程为? (θ 为参数),直线的方程为 ? y = 3 + 2sin θ ? ? ?y=t-1, ? (t 为参数),则直线与圆的位置关系是(B) ? ?y=3t-1

A.相交过圆心 B.相交且不过圆心 C.相切 D.相离

1. 求曲线的极坐标方程的步骤: (1)建立适当的极坐标系, 设 P(ρ, θ )是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上 任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式;(3)将列出的关系式进行 整理、化简,得出曲线的极坐标方程. 2.直线的极坐标方程. 若直线过点 M(ρ0, θ 0)且极轴到此直线的角为α , 则它的方程为 ρ sin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).

几个特殊位置的直线的极坐标方程: ①直线过极点:θ=θ0 和 θ=π -θ0; ②直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ =a;
? π ? ③直线过 M b, 2 ? ? ?且平行于极轴:ρsin θ =b. ?

3.圆的极坐标方程. 若圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆方程为:
2 ρ 2-2ρ0cos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程:

①当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; ②当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos θ ;
? π? ? ③当圆心位于 M a, ?,半径为 a:ρ=2asin θ . 2? ?

4.参数方程化为普通方程的关键是消参数,要根据参数的特点 进行. 5.利用参数方程解决问题,竞争是选准参数,理解参数的几何 意义. 6.对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下,我们可 以先化成直角坐标的普通方程,这样思路可能更加清晰.


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