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北京市房山区2015届高三第一次模拟考试数学(理)试题


房山区 2015 年高三第一次模拟试题 高三数学(理科)
考 生 须 知 1. 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分, 共 150 分,考试时间为 120 分钟 。 2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置,在试卷上作答无效。 3. 考试结束后,将答题卡交回,试卷按学校要求自己保存好。

第I卷
<

br />选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项,直接涂在答题卡上。

1, n ? Z},则 M 1. 已知集合 M= {x ? R | x 2 ? x ? 0} , N ? {x | x ? 2n+
A. ?0? B. ?0,1? C. ?1? )

N 为(
D. ?

)

2.双曲线 x2 ? my 2 ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m =( A.4 B.2 C.

1 2

D.

1 4


? y?x ? 3. 设变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为( ? y ? 3x ? 6 ?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 4.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛,其中学生甲不参加物理、化学竞 赛,则不同的参赛方案 种数为( ) A. 24 B. 48 C. 72 D. 120 2 ( 1, ? ?) 5. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ,则“ f (2) ? 0 ”是“函数 f ( x) 在 上为增函数”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 6.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截 去部分后所得几何体的三视图如图所示,则该 几何体的体积为( ) 22 7 A. B. C. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

47 6

3 23 D. 3

1 / 10

7.向量 a ? (2,0) , b ? ( x, y) ,若 b 与 b ? a 的夹角等于

? ,则 b 的最大值为( 6
D.



A. 4

B. 2 3

C. 2

4 3 3

8.一个人骑车以 6 米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车 25 米时,交通信号 灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻 t 的速度 v(t ) ? t 米 /秒,那么此人( ) A.可在 7 秒内追上汽车 C.不能追上汽车,但其间最近距离为 14 米

B.不能追上汽车,但其间最近距离为 16 米 D.不能追上汽车,但其间最近距离为 7 米

第 II 卷 非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡指定位置。 9.已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ,则复数 z ? ____ . 10.执行如下图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出 s 的值为 ____ .

11.如图所示,四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成 一个边长为 2 的 大正方形,若直角三角形中较小的锐角 ? ? 形区域内随机地
2 / 10

?

6

,现在向该正方

投掷一支飞镖,飞镖落在小正方形内的概率是 ____ .

12.如图所示,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A 、 B 两点,割 线 PCD 经过圆心. 已 知 PA ? 6 , AB =

R ? ____ .

22 , PO ? 12 . 则 圆 O 的 半 径 3

O 为坐标原点, 13. 已知直线 l 过点 P(3,2 ) , 且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点, 则 ? OAB
面积的最小值为 ____ ,此时,直线 l 的方程为 ____ . 14.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,对 ?x ? R ,都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (2) 成立.当 x1 , 且 x1 ? x2 时, 都有 x2 ?[0, 2] ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 给出下列命题: (1) f (2) ? 0 ; (2) 直线 x ? ?4 ? 0, x1 ? x2

是 函 数 y ? f ( x) 图 象 的 一 条 对 称 轴 ; ( 3 ) 函 数 y ? f ( x) 在 [?4, 4] 上 有 四 个 零 点 ; ( 4 )

f ? 2015? ? f ?1? .其中所有正确命题的序号为 ____ .
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? 2 cos 2 x ? 1( x ? R ) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,三个内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 f ? A ? ? 圆的半径为 3 ,求 a 的值.

1 ,且△ ABC 外接 2

16.(本小题共 13 分) 为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分 布直方图如图所示,已知图中从左到右的前 3 组的频率之比为 1: 2 : 3 , 其中第 2 组的频数为12 . (Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数; (Ⅱ) 以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很 多)任选三人,设 X 表示体重超过 60 公斤的学生人数,求 X 的分布列和数学期望.

3 / 10

17.(本小题共 14 分) 在如图所示的多面体中, EA ⊥平面 ABC , DB ⊥平面 ABC, AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2 AE ? 2 , M 是 AB 的 中点. (Ⅰ)求证: CM ⊥ EM ; E (Ⅱ)求平面 EMC 与平 面 BCD 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)在棱 DC 上是否存在一点 N ,使得直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60 ? .若存在,指出点 N 的位置;若不存在,请说明理由.

D

A M
18.(本小题共 13 分)

C B

1 2 已知 f ( x) ? ? ax ? x ? ln(1 ? x) ,其中 a ? 0 . 2 (Ⅰ)若函数 f ( x ) 在点 (3, f (3)) 处切线斜率为 0 ,求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 在 ?0, ??? 上的最大值是 0 ,求 a 的取值范围. 19.(本小题共 14 分) 动点 P( x, y) 到定点 F (1,0) 的距离与它到定直线 l : x ? 4 的距 离之比为 (Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程;

1 . 2

(Ⅱ) 已知定点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,动点 Q(4, t ) 在直线 l 上,作直线 AQ 与轨迹 C 的另一个交 点为 M ,作直线 BQ 与轨迹 C 的另一个交点为 N ,证明: M , N , F 三点共线.

20.(本小题共 13 分) 下表给出一个“等差数阵”: 4 7 ( ) ( ) ( ) ?

a1 j

?

4 / 10

7 ( ) ( ) ?

12 ( ( ? ) )

( ( ( ?

) ) )

( ) ( ) ( ) ?

( ) ( ) ( ) ?

? ? ? ? ? ?

a2 j a3 j a4 j
?

? ? ? ? ? ?

ai1
?

ai 2
?

ai 3
?

ai 4
?

ai 5
?

aij
?

其中每行、每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (I)写出 a45 的值; (II)写出 aij 的计算公式; (III)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是 1 的正整数之 积..

房山区 2015 年高三第一次模拟试题 高三数学(理科) 参考答案
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题 号 答 案 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. ? i ; 10. 8; 11. 1 ? C A B C B D A D 1 2 3 4 5 6 7 8

3 ; 2

12. 8 ;

13. 12, 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 ;

14. (1)(2)(4) 三、解答题(写出必要的文字说明,计算或证明过程。共 80 分) 15. (本小题共 13 分)
? 3 1 解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x
6 2 2
5 / 10

??????2 分

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 6

??????3 分

由?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

?

?
2

? 2k? (k ? Z)得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z) 5 分
??????7 分

∴ f ( x) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ)∵ f ( A) ? sin(2 A ? 于是 2 A ? ∴ A?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z)

?
6

)?

1 ? ? ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

?
6

?

5? 6
??????10 分

?
3

∵ ?ABC 外接圆的半径为 3 由正弦定理

a ? 2 R ,得 sin A

a ? 2 R sin A ? 2 3 ?
16.(本小题 共 13 分)

3 ? 3, 2

??????13 分

解:(I)设报考飞行员的人数为 n ,前三小组的频率分别为 p1 , p2 , p3 ,则由条件可得:

? p2 ? 2 p1 ? ? p3 ? 3 p1 ? p ? p ? p ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? 1 2 3 ? 1
解得, p1 ? 0.125, p2 ? 0.25, p3 ? 0.375. 又因为 p2 ? 0.25 ?

12 , 故 n ? 48 n

??????5 分

(II)由(I)可得,一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为

5 p ? p3 ? (0.037 ? 0.013) ? 5 ? , 8
k ? 5? ? 3? 故X服从二项分布, P? X ? k ? ? C3 ? ? ? ? ?8? ?8? k 3?k

∴随机变量 X 的分布列为:

X
p

0

1

2

3

27 512

135 512

225 512

125 512

6 / 10

则 EX ? 0 ?

27 135 225 125 15 5 15 ? 1? ? 2? ? 3? ? ,或 EX ? np ? 3 ? ? . 512 512 512 512 8 8 8
??????13 分

17.(本小题共 14 分) (I)证明:

AC ? BC, M 是 AB 的中点? CM ? AB .

又? EA ? 平面 ABC , CM ? EA . EA AB ? A ? CM ? 平面 AEM ∴ CM ? EM (Ⅱ)以 M 为原点,分别以 MB , MC 为 x,y 轴,如图建立坐标系 M - xyz , 则 M (0,0,0), C(0, 2,0), B( 2,0,0), D( 2,0, 2), E(- 2,0,1) ??????4 分

ME=(- 2.0.1), MC=(0, 2,0), BD=(0,0, 2), BC=(- 2, 2,0)
设平面 EMC 的一个法向量 m=( x1, y1, z1 ) ,则 ? 取 x1 ? 1, y1 ? 0, z1 ? 2 所以 m ? (1,0, 2) 设平面 DBC 的一个法向量 n = ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ? 取 x1 ? 1, y1 ? 1, z1 ? 0 ,所以 n ? (1,1.0)

? ?? 2 x1 ? z1 ? 0 ? ? 2 y1 ? 0

? ? 2 x2 ? 2 y2 ? 0 ? ? ? 2 y2 ? 0

cos m, n ?

m?n mn

?

1 2? 3

?

6 6
6 . 6
??????9

所以平面 EMC 与平面 BCD 所成的锐二面角的余弦值 分 (Ⅲ)设 N ( x, y, z ) 且 DN ? ? DC , 0 ? ? ? 1

? (x ? 2, y, z ? 2) ? ? (? 2, 2, ?2), x ? 2 ? 2? , y ? 2? , z ? 2 ? 2 ?

MN ? ( 2 ? 2?, 2?, 2 ? 2?)
若直线 MN 与平面 EMC 所成的角为 60 ,则
0

7 / 10

cos MN , m ?
解得: ? ?

2 ? 2? ? 2 ?2 ? 2? ? 3 2?1 ? ? ? ? 2?2 ? 4?1 ? ? ?
2 2

? sin 600 ?

3 2
??????14

1 ,所以符合条件的点 N 存在,为棱 DC 的中点. 2

分 18.(本小题共 13 分) -ax2-?a-1?x 解:(Ⅰ)由题意得 f ′(x)= ,x∈(-1,+∞), x+1 1 由 f ′(3)=0?a= . 4 1 (Ⅱ )令 f ′(x)=0?x1=0,x2= -1, a ①当 0<a<1 时,x1<x2, f(x)与 f ′(x)的变化情况如下表 1 x 0 (-1,0) (0, -1) a f ′(x) 0 - + f(x) f(0)

………………3 分

1 -1 a 0 1 f( -1) a

1 ( -1,+ ∞) a -

1 ∴f(x)的单调递增区间是(0, -1), a 1 f(x)的单调递减区间是(-1,0)和( -1,+∞); a ②当 a=1 时,f(x)的单调递减区间是(-1,+∞); ③当 a>1 时,-1<x2<0 f(x)与 f ′(x)的变化情况如下表 1 1 1 x 0 (-1, -1) -1 ( -1,0) a a a f ′(x) 0 0 - + 1 f(x) f(0) f( -1) a 1 ∴f(x)的单调递增区间是( -1,0), a 1 f(x)的单调递减区间是(-1, -1)和(0,+∞). a 1 综上,当 0<a<1 时,f(x)的单调递增区间是(0, -1). a 1 f(x)的单调递减区间是(-1,0),( -1,+∞), a 1 当 a>1,f(x)的单调递增区间是( -1,0). a 1 f(x)的单调递减区间是(-1, -1),(0,+∞). a 当 a=1 时,f(x)的单调递减区间为(-1,+∞). ………………9 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 1 当 0<a<1 时,f(x)在(0,+∞)的最大值是 f( -1), a 1 但 f( -1)>f(0)=0,所以 0<a<1 不合题意, a 当 a≥1 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减, 由 f(x)≤f(0)可得 f(x)在[0,+∞)上的最大值为 f(0)=0,符合题意,
8 / 10

(0,+∞) -

∴f(x)在[0,+∞)上的最大值为 0 时,a 的取值 范围是 a≥1. 分 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由题意得

??????13

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , | x?4| 2

??????2 分

化简并整理,得

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ? 1. 4 3
??????5 分

所以动点 P( x, y) 的轨迹 C 的方程为椭圆

(Ⅱ)当 t ? 0 时,点 M与B 重合,点 N与A 重合,

M , N , F 三点共线.
当t ? 0时

???7 分

根据题意: QA : y = ( x+2), QB : y = ( x - 2)

t 6

t 2

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 由? ? y ? t ? x ? 2? ? 6 ?
消元得: 3x +
2
2

t2 ( x + 2)2 - 12 = 0 9
2 2 2

整理得: (t + 27) x + 4t x + 4t - 108 = 0 该方程有一根为 x = - 2, 另一根为 xM ,根据韦达定理,

- 2 xM =

4t 2 - 108 54 - 2t 2 , x = M t 2 + 27 t 2 + 27

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 由? ? y ? t ? x ? 2? ? ? 2
消元得: 3x + t ( x - 2) - 12 = 0 整理得: (t + 3) x - 4t x + 4t - 12 = 0
2 2 2 2 2 2 2

9 / 10

该方程有一根为 x = 2, 另一根为 xN ,根据韦达定理,

2 xN =

4t 2 - 12 2t 2 - 6 , x = N t2 +3 t2 +3 54 - 2t 2 2t 2 - 6 = 2 t 2 + 27 t +3

当 xM = xN 时,由

得: t 2 = 9, xM = xN = 1 , M , N , F 三点共线; 当 xM ?

kMF

t 18t t - 6t , y N = ( xN - 2) = 2 xN 时, yM = ( xM + 2) = 2 6 t + 27 2 t +3 18t - 6t 2 yN y 6t t 2 + 3 = 6t ; = M = t + 27 = k = = NF xM - 1 54 - 2t 2 9 - t2 xN - 1 2t 2 - 6 9 - t2 1 1 t 2 + 27 t2 +3

k MF ? K NF , M , N , F 三点共线.
综上,命题恒成立. ??????14 分 20.(本小题共 13 分) (I)解:a45=49. ??????3 分 (II)解:该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列:a1j=4+3(j-1),第二行是首项 为 7,公差为 5 的等差数列:a2j=7+5(j-1), ?? 第 i 行是首项为 4+3(i-1),公差为 2i+1 的等差数列, 因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j. ??????7 分 (III)证明:必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i、j 使得 N= i(2j+1)+j, 从而 2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1), 即正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积. 充分性:若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1 是奇数,则它必为两个不是 1 的奇数之积,即存在正整数 k、l,使得 2N+1=(2k+1)(2l+1), 从而 N=k(2l+1)+l=akl, 可见 N 在该等差数阵中. 综上所述,正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N +1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积 ??????13 分

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