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函数、不等式恒成立问题解法(老师用)


函数、不等式恒成立问题解法(老师用)
恒成立问题的基本类型: 类型 1:设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) , (1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2)
2

f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。
类型 2:设 f (

x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? 或? 或? 2a (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a , 2a ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?
? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0
(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? 或? 或? 2 a f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 2a ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? ?
类型 3:

f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) min ? ? f ( x) ? ?对一切x ? I恒成立 ? f ( x) max ? ? 。
类型 4:

f ( x) ? g ( x)对一切x ? I恒成立 ? f ( x)的图象在g ( x)的图象的上方或f ( x) min ? g ( x) max (x ? I )
一、用一次函数的性质 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

恒成

? f ( m) ? 0 ? f ( m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f ( n) ? 0 ? f ( n) ? 0
例 1:若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。
2

解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为: m( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 , ;
2

令 f (m) ? m( x ? 1) ? (2 x ? 1) , 则 ? 2 ? m ? 2 时 , f (m) ? 0 恒 成 立 , 所 以 只 需 ?
2
2 ? ?1? 7 1? 3 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 , )。 ,所以 x 的范围是 x ? ( ? 2 2 2 ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ?

? f ( ?2) ? 0 即 ? f ( 2) ? 0

1

二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0, x ? R) 有:
2

(1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 例 2:若不等式 (m ? 1) x ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。
2

解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数 m,所以要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9) 。

三、利用函数的最值(或值域) (1) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? f ( x) min ? m ; (2) f ( x) ? m 对任意 x 都成立 ? m ? f (x) max 。简单计作: “大的大于最大的,小的小于最小的” 。 由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例 3:在 ? ABC 中,已知 f ( B) ? 4 sin B sin (
2

?
4

?

B ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒成立,求实数 m 的 2

范围。 解析:由

f ( B) ? 4 sin B sin 2 (

?
4

?

B ) ? cos 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] , f ( B) ? (1,3] , 2

?m ? f ( B ) ? 2 恒成立,? m ? (1,3] ? f ( B) ? m |? 2 恒成立,? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 ,即 ? | ?m ? f ( B ) ? 2
例 4: (1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。 解 析 : 由 于 函 a ? sin x ? cos x ?

? ? 3? 2 sin(x ? ), x ? ? ? [? , ] , 显 然 函 数 有 最 大 值 2 , 4 4 4 4

?a ? 2 。
如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题: (2)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ?

?

? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2

?

解析:我们首先要认真对比上面两个例题的区别,主要在于自变量的取值范围的变化,这样使得

y ? sin x ? cos x 的最大值取不到 2 ,即 a 取 2 也满足条件,所以 a ? 2 。
所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利 用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数法。 四:数形结合法 对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解。
2

例 5:已知 a ? 0, a ? 1, f ( x) ? x 2 ? a x , 当x ? (?1,1)时, 有f ( x) ? 解析:由 f ( x) ? x 2 ? a x ? ,得x 2 ?

1 恒成立 ,求实数 a 的取值范围。 2

1 ? a x ,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象,如果两个函 2 1 1 数分别在 x=-1 和 x=1 处相交,则由 12 ? ? a及(?1) 2 ? ? a ?1 得到 a 分别等于 2 和 0.5,并作出函数 2 2 1 1 y ? 2 x 及y ? ( ) x 的图象,所以,要想使函数 x 2 ? ? a x 在区间 x ? (?1,1) 中恒成立,只须 y ? 2 x 在 2 2 1 区间 x ? (?1,1) 对应的图象在 y ? x 2 ? 在区间 x ? (?1,1) 对应图象的上面即可。 a ? 1时, 只有a ? 2 当 2
才能保证,而 0 ? a ? 1时,只有a ?
2

1 2

1 1 才可以,所以 a ? [ ,1) ? (1,2] 。 2 2
2

例 6:若当 P(m,n)为圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上任意一点时,不等式 m ? n ? c ? 0 恒成立,则 c 的取 值范围是( )

A、 ? 1 ? 2 ? c ? C、 c ? ? 2 ? 1

2 ?1

B、 2 ? 1 ? c ? D、 c ?

2 ?1

2 ?1

解 析 : 由 m ? n ? c ? 0 , 可 以 看 作 是 点 P(m,n) 在 直 线 x ? y ? c ? 0 的 右 侧 , 而 点 P(m,n) 在 圆

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上 , 实 质 相 当 于 是 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 在 直 线 的 右 侧 并 与 它 相 离 或 相 切 。
?0 ? 1 ? c ? 0 ? ? ?| 0 ? 1 ? c | ? c ? 2 ? 1 ,故选 D。 ? 2 2 ?1 ? 1 ?1

同步练习 1、 f ( x) ? lg 设
1 ? 2x ? a4x , 其中 a ? R , 如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义, a 的取值范围。 求 3

分析:如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,则可转化为 1 ? 2x ? a4x ? 0 恒成立,即参数分 离后 a ? ? 解。 解:如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义 ? 1 ? 2x ? a4x ? 0 ,对 x ? (??,1) 恒成立.
1 ? 2x ? a ? ? x ? ?(2? x ? 2?2 x ) x ? (??.1) 恒成立。 4 1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) , x ? (??.1) 恒成立,接下来可转化为二次函数区间最值求 x 4

1 1 令 t ? 2? x , g (t ) ? ?(t ? t 2 ) 又 x ? (??.1) 则 t ? ( , ??) ? a ? g (t ) 对 t ? ( , ??) 恒成立,又 2 2
3

1 1 3 3 ? g (t ) 在 t ? [ , ??) 上为减函数, g(t ) max ? g ( ) ? ? ,? a ? ? 。 2 2 4 4

2、设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数,如果不等式 f (1 ? ax ? x 2 ) ? f (2 ? a) 对于任意
x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。

分析: 本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为 1 ? ax ? x 2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,从而转化为二次函数区间最值求解。 解:? f ( x) 是增函数? f (1 ? ax ? x 2 ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立
? 1 ? ax ? x2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立 ? x 2 ? ax ? 1 ? a ? 0 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,令 g ( x) ? x 2 ? ax ? 1 ? a , x ? [0,1] ,所以原

问题 ? g ( x)min ? 0 , g () n im 又 x

?1 ? a,??????a ? 0 ,) ( 0 ? g0 ??????a ? ? 2 ? a ? ? a ? ? g ,)2 ? 0 ? a ? 即 g ( x) min ? ?? ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 ( ? 2 ? ? 4 ? 2 ???????????a ?2? ?2,???????????a ? ?2 ?, ?



求得 a ? 1 。 已知当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立,求实数 a 的取值范围。 方法一)分析:在不等式中含有两个变量 a 及 x,本题必须由 x 的范围(x ? R)来求另一 变量 a 的范围, 故可考虑将 a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的取值范围。 解:原不等式 ? 4sinx+cos2x<-a+5 当 x ? R 时,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 ? -a+5>(4sinx+cos2x)max 3、 设 f(x)=4sinx+cos2x 则 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2 x+4sinx+1=-2(sinx-1)2 +3 ? 3 ∴ -a+5>3?a<2 方法二)题目中出现了 sinx 及 cos2x,而 cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把 sinx 换元 成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式,从而可利用二次函数区间最值求解。 解:不等式 a+cos2x<5-4sinx 可化为 a+1-2sin2x<5-4sinx,令 sinx=t,则 t ? [-1,1], 2 ?不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 ? 2t -4t+4-a>0,t ? [-1,1]恒成立。 设 f(t)= 2t2-4t+4-a,显然 f(x)在[-1,1]内单调递减,f(t)min=f(1)=2-a,?2-a>0?a<2 设 f(x)=x2-2ax+2,当 x ? [-1,+ ? )时,都有 f(x) ? a 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:在 f(x) ? a 不等式中,若把 a 移到等号的左边,则原问题可转化为二次函数区间 恒成立问题。 解:设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当 ? =(-2a)2-4(2-a)=4(a-1)(a+2)<0 时,即-2<a<1 时,对一切 x ? [-1,+ ? ),F(x) ? 0 恒成立; ⅱ)当 ? =4(a-1)(a+2) ? 0 时由图可得以下充要条件: 4、

4

? ?? ? 0 ?( a ? 1)( a ? 2) ? 0 ? ? ? f ( ?1) ? 0 即 ?a ? 3 ? 0 ?a ? ?1, ? ? 2a ?? ? ?1, ? 2 ?

y

-1

o

x

得-3 ? a ? -2; 综上所述:a 的取值范围为[-3,1]。

5、 、当 x ? (1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,求 a 的取值范围。 分析:若将不等号两边分别设成两个函数,则左边为二次函数,右边为对数函数,故可 以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。 解:设 T1: f ( x) = ( x ? 1)2 ,T2: g ( x) ? log a x ,则 T1 的图象为右 图所示的抛物线,要使对一切 x ? (1,2), f ( x) < g ( x) 恒成立即 T1 的图象一定要在 T2 的图象所的下方,显然 a>1,并且必须也只 需 g (2) ? f (2) 故 loga2>1,a>1,?1<a ? 2.
y y1=(x-1)2 y2=logax 1 o 2 x

6、 、已知关于 x 的方程 lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解,求实数 a 的取值范围。 分析:原方程可化成 lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得 x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边 2 分别构造函数即二次函数 y= x +20x 与一次函数 y=8x-6a-3,则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。 解:令 T1:y1= x2+20x=(x+10)2-100, T2:y2=8x-6a-3,则如图 y 所示,T1 的图象为一抛物线,T2 的图象是一条斜率为定值 8,而截 距不定的直线,要使 T1 和 T2 在 x 轴上有唯一交点,则直线必须位 l1 l 于 l1 和 l2 之间。 (包括 l1 但不包括 l2) 当 直 线 为 l1 时 , 直 线 过 点 ( -20 , 0 ) 此 时 纵 截 距 为 l2 163 -6a-3=160,a= ? ; 6 1 -20 o 当直线为 l2 时,直线过点(0,0) ,纵截距为-6a-3=0,a= ? 2 1 163 ∴a 的范围为[ ? ,? ) 。 6 2 7、对于满足|p| ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x2+px+1>2p+x 恒成立的 x 的取值范围。

x

分析:在不等式中出现了两个变量:x、P,并且是给出了 p 的范围要求 x 的相应范围,直接从 x 的不等式正面出发直接求解较难,若逆向思维把 p 看作自变量,x 看成参变量,则上述问 题即可转化为在[-2,2]内关于 p 的一次函数函数值大于 0 恒成立求参变量 x 的范围的问题。 解:原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于
5

f(p)>0 在 p∈[-2,2]上恒成立,故有:
y y

-2

2

x

-2

o 2

x

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 方法一: ? 或? ∴x<-1 或 x>3. ? f (2) ? 0 ? f (?2) ? 0
? 2 ? x ? 3或x ? 1 ? f (?2) ? 0 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 方法二: ? 即? 2 解得: ? ?x ? 1 ? 0 ? f (2) ? 0 ? x ? 1或x ? ?1 ?

∴x<-1 或 x>3.

6


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