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高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)


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高三数学第一轮复习——数列
一、知识梳理
数列概念
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 通项公式,即 an

?an ?的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的
,且任何一项 an 与它的前一

项 a n ?1 (或前几 ?an ?的第一项(或前几项)

? f (n) .

3.递推公式:如果已知数列

项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an 列

?an ?的递推公式.

? f (an?1 ) 或 an ? f (an?1 , an?2 ) ,那么这个式子叫做数 如数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ? 2an ? 1,其中 an ? 2an ? 1 是数列 ?an ? 的递推
? S1 ( n ? 1) . ? S n ? S n ?1 ( n ? 2)

公式. 4.数列的前 n 项和与通项的公式

① S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ; ② a n ? ?

5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界 数列. ①递增数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ②递减数列:对于任何 n ? N ? ,均有 a n ?1 ③摆动数列:例如: ? 1,1,?1,1,?1, ?. ④常数数列:例如:6,6,6,6,??. ⑤有界数列:存在正数 M 使

? an . ? an .

an ? M , n ? N ? .

⑥无界数列:对于任何正数 M ,总有项 an 使得

an ? M .

等差数列
1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起, 每一项与它前一项的差等于同一个常数 d , 这个数列叫做等差数列, 常数 d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式 an

? a1 ? (n ? 1)d , a1 为首项, d
?

为公差.

⑵前 n 项和公式 S n 3.等差中项

n ( a1 ? a n ) 1 或 S n ? na1 ? n ( n ? 1)d . 2 2
A 叫做 a 与 b 的等差中项.

如果 a, A, b 成等差数列,那么 即:

A 是 a 与 b 的等差中项 ? 2 A ? a ? b ? a , A , b 成等差数列.

4.等差数列的判定方法 ⑴定义法: an?1

? an ? d

( n ? N ? , d 是常数) ?

?an ?是等差数列;

⑵中项法: 2an?1 ⑴数列

? an ? an?2 ( n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数列.

5.等差数列的常用性质

?an ?是等差数列,则数列 ?an ? p?、 ?pan ? ( p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ? 为等
差数列,公差为 kd . ⑶ an

? am ? (n ? m)d ;an ? an ? b ( a , b 是常数);Sn ? an2 ? bn ( a , b 是常数,a ? 0 )

⑷若 m ? n

? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;
1

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⑸若等差数列

Sn ? ?an ?的前 n 项和 Sn ,则 ? ? ? 是等差数列; ?n?

⑹当项数为 2n(n ? N ? ) ,则 S偶

? S奇 ? nd,

S偶 an?1 ? S奇 an



当项数为 2n ? 1(n ? N ? ) ,则 S奇

? S偶 ? an ,

S偶 n ? 1 . ? S奇 n

等比数列
1.等比数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q 列,常数 q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式: an

? 0) ,这个数列叫做等比数

? a1qn?1 , a1 为首项, q 为公比 .
? 1 时, Sn ? na1

⑵前 n 项和公式:①当 q

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ②当 q ? 1 时, S n ? . ? 1? q 1? q
3.等比中项 如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 即: G 是 a 与 b 的等差中项 ? a , 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:

A , b 成等差数列 ? G 2 ? a ? b .

a n ?1 ? q ( n ? N ? , q ? 0 是常数) ? ?an ? 是等比数列; an
2

⑵中项法: an?1 ⑴数列

? an ? an?2 ( n ? N ? )且 an ? 0 ? ?an ? 是等比数列.

5.等比数列的常用性质

?an ?是等比数列,则数列 ?pan ? 、 ?pan ? ( q ? 0 是常数)都是等比数列; ⑵在等比数列 ?an ? 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an , an?k , an?2k , an?3k , ? 为等
比数列,公比为 q .
k

? am ? qn?m (n, m ? N ? ) ⑷若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;
⑶ an ⑸若等比数列

?an ?的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、 S3k ? S2k 、 S4k ? S3k 是等比数列.

二、典型例题 A、求值类的计算题(多关于等差等比数列)
1)根据基本量求解(方程的思想) 1、 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a4 ? 9, a9 ? ?6, Sn ? 63 ,求 n ;

2、等差数列 ?an ? 中, a4 ? 10 且 a3,a6,a10 成等比数列,求数列 ?an ? 前 20 项的和 S 20 .

3、设 ?an ? 是公比为正数的等比数列,若 a1 ? 1, a5 ? 16 ,求数列 ?an ? 前 7 项的和.
2

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4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为 37 ,中间 两数之和为 36 ,求这四个数.

2)根据数列的性质求解(整体思想) 1、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a6 ? 100,则 S11 ? 2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 ?an ? 、 ?an ? 的前 n 项和, 3、设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 ; .

S n 7n ? 2 a ,则 5 ? ? Tn n?3 b5

a5 5 S ) ? ,则 9 ? ( a3 9 S5 S a 2n 4、等差数列 {an } , {bn } 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,若 n ? ,则 n = ( ) Tn 3n ? 1 bn 5、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? m, Sm ? n(n ? m) ,则 S m?n ?
6、在正项等比数列 ?an ? 中, a1a5 ? 2a3a5 ? a3a7 ? 25 ,则 a3 ? a5 ? _____ __。 7、已知数列 ?an ? 是等差数列,若

.

a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a4 ? a5 ? a6 ? ? ? a12 ? a13 ? a14 ? 77 且 ak ? 13 ,则 k ? _________。
8、已知 Sn 为等比数列 ?an ? 前 n 项和, Sn ? 54 , S 2 n ? 60 ,则 S 3n ? 9、在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( 10、在等比数列中,已知 a9 ? a10 ? a(a ? 0) , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 ? 11、已知 ?an ? 为等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20 ,则 a75 ? 12、等差数列 ?an ? 中,已知 . ) .

S S4 1 ? ,求 8 . S8 3 S16

B、求数列通项公式
1) 给出前几项,求通项公式

1,0,1,0,……

1,3,6,10,15,21,?, 3,-33,333,-3333,33333??

2)给出前 n 项和求通项公式
3

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1、⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1.

2、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? …+3 an ?
2 n-1

n (n ? N * ) ,求数列 ?an ? 的通项公式 3

3)给出递推公式求通项公式 a、⑴已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭加法或迭代法; 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 1(n ? 2) ,求数列 ?an ? 的通项公式; b、已知关系式 an?1 ? an ? f (n) ,可利用迭乘法. an ? 例、已知数列 ?an ? 满足:

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1

an an ?1 an ?2 a a ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ?2 an ?3 a2 a1

an n ?1 ? (n ? 2), a1 ? 2 ,求求数列 ?an ? 的通项公式; an?1 n ? 1

c、构造新数列 1°递推关系形如“ an?1 ? pan ? q ” ,利用待定系数法求解

例、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

2°递推关系形如“,两边同除 p
n

n ?1

或待定系数法求解

例、

a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ?an ? 的通项公式.

3°递推已知数列 ?an ? 中,关系形如“ an?2 ? p ? an?1 ? q ? an ” ,利用待定系数法求解 例、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? 3an?1 ? 2an ,求数列 ?an ? 的通项公式.

4°递推关系形如" an ? pan?1 ? qan an? ( 1 p,q ? 0),两边同除以 an an?1

例1、 已知数列 ?an ? 中, an ? an?1 ? 2an an? ( an ? 的通项公式. 1 n ? 2),a1 ? 2 ,求数列 ?

4

海豚教育 例 2、数列 ?an ?中, a1 ? 2, an ?1 ?

2a n (n ? N ? ) ,求数列 ?an ?的通项公式. 4 ? an

d、给出关于 Sn 和 am 的关系 求数列 ?bn ?的通项公式.

例 1、 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? a, an?1 ? Sn ? 3n (n ? N ? ) , 设 bn ? Sn ? 3n ,

2 例 2、设 Sn 是数列 ?an ?的前 n 项和, a1 ? 1 , S n ? an ? S n ?

⑴求 ?an ?的通项; ⑵设 bn ?

? ?

1? ?(n ? 2) . 2?

Sn ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

C、证明数列是等差或等比数列
1)证明数列等差 例 1、 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,bn ?

Sn ( n ? N ? ) .求证: 数列 ?bn ?是等差数列. n

例 2、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2Sn·Sn-1=0(n≥2) ,a1= 求证:{

1 . 2

1 }是等差数列; Sn

5

海豚教育 2)证明数列等比

?1? 例 1、设{an}是等差数列,bn= ? ? ,求证:数列{bn}是等比数列; ?2?

an

例2、 数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,若 an+Sn=n.设 cn=an-1,求证:数列{cn}是 等比数列;

例 3、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1 , Sn ? 4an ? 2 . ⑵设数列 ?cn ?中, cn ?

⑴设数列 ?bn ?中, bn ? an?1 ? 2an ,求证: ?bn ?是等比数列;

an ,求证: ?cn ?是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 2n

n 项和.

例 4、设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 ban ? 2 ? ? b ?1? Sn
n
n ?1 ⑴证明:当 b ? 2 时, an ? n ? 2 是等比数列;

?

?

⑵求 ?an ? 的通项公式

6

海豚教育 例 5、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). ⑴证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式; ⑶若数列 ?bn ? 满足 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列.

D、求数列的前 n 项和
基本方法: 1)公式法, 2)拆解求和法. 例 1、求数列 {2n ? 2n ? 3} 的前 n 项和 Sn .

2 , 3 , ?, (n ? 例 2、求数列 1 ,

1 2

1 4

1 8

1 ), ? 的前 n 项和 Sn . 2n

例 3、求和:2×5+3×6+4×7+?+n(n+3)

2 ) 裂 项 相 消 法 , 数 列 的 常 见 拆 项 有 :

1 1 1 1 ? ( ? ) ; n( n ? k ) k n n ? k

1 n ? n ?1

? n ?1 ? n ;

1 1 1 ? ??? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 1 1 1 1 ? ? ??? 例3、 求和: . 2 ?1 3? 2 4? 3 n ?1 ? n
例 1、求和:S=1+

7

海豚教育 3)倒序相加法, 例、设 f ( x ) ?

x2 ,求: 1 ? x2 1 1 ⑴ f (1 4 ) ? f ( 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ; 1 1 1 ⑵ f ( 2010 ) ? f ( 2009 ) ? ?? f ( 1 ) ? f (2010 ). 3 ) ? f ( 2 ) ? f (2) ? ? ? f (2009

4)错位相减法, 例、若数列 ?an ?的通项 an ? (2n ? 1) ? 3n ,求此数列的前 n 项和 Sn . 5)对于数列等差和等比混合数列分组求和 2 例、已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n ,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.

E、数列单调性最值问题

例 1、数列 ?an ? 中, an ? 2n ? 49 ,当数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最小值时, n ? 值; 例4、 数列 ?an ? 中, an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ,求 an 取最小值时 n 的值.

.

例 2、已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 25, a4 ? 16. 当 n 为何值时, Sn 取得最大

例5、 数列 ?an ? 中, a n ? n ?

n 2 ? 2 ,求数列 ?an ? 的最大项和最小项.

8

海豚教育 例 5、设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N .
*

(Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式;
*

(Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N ,求 a 的取值范围.

例 6、已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 3 , Sn Sn?1 ? 2an (n ? 2) . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵数列 ?an ? 中是否存在正整数 k ,使得不等式 ak ? ak ?1 对任意不小于 k 的正整数都成立? 若存在,求最小的正整数 k ,若不存在,说明理由.

例 7、非等比数列 {an } 中,前 n 项和 Sn ? ? (an ? 1)2 , (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 4

1 (n ? N*) ,Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在最大的整数 m,使得对任意 n(3 ? an)

的 n 均有 Tn ?

m 总成立?若存在,求出 m;若不存在,请说明理由。 32

9

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F、有关数列的实际问题
例 1、用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一 块,? 依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完, 问共用 了多少块?

例 2、2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的 40 %,从 2003 年开始,计划每年将非绿化 面积的 8%绿化,由于修路和盖房等用地,原有绿化面积的 2%被非绿化. ⑴设该县的总面积为 1,2002 年底绿化面积为 a1 ?

4 ,经过 n 年后绿化的面积为 an ?1 ,试用 10

⑵求数列 ?an ?的第 n ? 1 项 an ?1 ; ⑶至少需要多少年的努力,才能使绿化率超过 60%(参考数据: lg 2 ? 0.3010 , lg 3 ? 0.4771)

an 表示 an ?1 ;

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