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2.1.2离散型随机变量的分布列(公开课)


高二数学 选修2-3

2.1.2离散型随机变 量的分布列(1)

【温故知新】
1. 随机变量
随着 试验结果 变化而变化的 变量 称为随机变量.

随机变量常用希腊字母

X、Y、ξ、η 等表示。

2、离散型随机变量
所有取值 可以一一列出 的随机变量,称为离散 型随机变量。 如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值, 这样的随机变量叫做连续型随机变量.

【实例引入】
在随机试验掷一枚骰子中,我们可以定义一个随机

变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.
X 取每个值的概率分别是多少?

解:X的取值有1、2、3、4、5、6
则 P ( X ? 1) ?
1 1 P ( X ? 2) ? 6 6 1 1 P ( X ? 4) ? P ( X ? 5) ? 6 6 P ( X ? 3) ? 1 6 1 P ( X ? 6) ? 6

列成 1 2 3 4 5 X 表的 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 形式 该表不仅列出了随机变量X的所有取值. 而且列出了X的每一个取值的概率.

6
1 6

X的分布列

【新授知识】
1定义:概率分布列(分布列)
设离散型随机变量X可能取的不同值 x1 , x2 ,? ? ?, xn X 取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率 P( X ? xi ) ? pi 为 则称表

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

表格 法

为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列. 也可用 P(X=xi)= pi ,i=1,2,3 …n 表示X的分布列.
2、分布列的三种表示法

(1)表格法 (2)解析式法 P ( X ? xi ) ? p( i i=1,2,…n) (3)图象法

【实例引入】 在随机试验掷一枚骰子中,定义随机变量X 的值分 别对应试验所得的点数,X的分布列: 解:X的取值有1、2、3、4、5、6 1 1 1 则 P ( X ? 1) ? P ( X ? 2) ? P ( X ? 3) ?
6 1 P ( X ? 4) ? 6 6 1 P ( X ? 5) ? 6
解析 式法

6 1 P ( X ? 6) ? 6

X p
0.2
0.1 O 1 2 3

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

表格 法

P

图象 法 4 5 6 7 8

X

可以看出 X 的取值 范围是{1,2,3,4,5,6}, 它取每一个值的概 1 率都是 。

6

【实例引入】
在随机试验掷一枚骰子中,我们可以定义一个随机

变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.
(1)X 取每个值的概率分别是多少?

解:X的取值有1、2、3、4、5、6
则 P ( X ? 1) ?
1 1 P ( X ? 2) ? 6 6 1 1 P ( X ? 4) ? P ( X ? 5) ? 6 6 P ( X ? 3) ? 1 6 1 P ( X ? 6) ? 6

X

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

(2)下列事件发生的概率是多少? <1>{X是偶数}; <2>{X<3}

3、 离散型随机变量的分布列的两个性质:
(1) pi ? 0, i ? 1,2,? ? ?, n (2) p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1
注:

1、离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机 变量所刻画的随机现象。
2、函数可以用解析式、表格或图象表示,离散型随 机变量可以用分布列、等式或图象来表示。

【典型例题】
例1. 某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下: ξ P 4
0.02

5
0.04

6
0.06

7
0.09

8
0.28

9
0.29

10
0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件 “ξ=7”, “ξ=8”, “ξ=9”, “ξ=10” 的和. 解: 根据射手射击所得环数ξ 的分布列,有 P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28, P(ξ=9)=0.29, P(ξ=10)=0.22, 所求的概率为 P(ξ≥7)=0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88

例2、随机变量X的分布列为

X
P

-1
0.16

0
a/10

1
a2

2
a/5

3
0.3

(1)求常数a;(2)求P(1<X<4) 解:(1)由离散型随机变量的分布列的性质有

a a 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 10 5
9 3 a ? ? (舍)或 a ? 解得: 10 5
(2)P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.12+0.3=0.42

课堂练习:
1、下列A、B、C、D四个表,其中能成为随机变量 ? 的 分布列的是(B )

A

?
P

0
0.6

1
0.3

B

?
P

0
0.9025

1
0.095

2
0.0025

C

?

0 1 2 … n
2 1 4
1 … 1 2 n ?1 8

D

?

2
1 3

1
1 3
i

2
1 3

P 1

P

?1? 2、设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i ) ? a? ? , i ? 1,2,3 ? 3? 27 . 则 的值为 13

a

例2: 已知随机变量?
?

的分布列如下:

-2
1 12

-1
1 4
1

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列. 2 1 1 3 1 ? ? 1 ? 、0、 、1、 ⑴由 ?1 ? ? 可得 1 的取值为 、 解: 2 2 2 2 且相应取值的概率没有变化 ∴ ? 1 的分布列为:

?1

-1
1 12

1 ? 2
1 4

0
1 3

1 2
1 12

1
1 6

3 2
1 12

P

例2: 已知随机变量?
?

的分布列如下:

-2
1 12

-1
1 4
1 2

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列.

解:⑵由 ?2 ? ? 2 可得?2 的取值为0、1、4、9
P(?2 ? 0) ? P(? ? 0) ?

P(?2 ? 4) ? P(? ? ?2) ? P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? 1

1 3

P(?2 ? 1) ? P(? ? ?1) ? P(? ? 1) ?
1 12
12 6

1 1 ? ? 4 12

1 3

P(?2 ? 9) ? P(? ? 3) ?
∴ ?2 的分布列为:

4

?2

0
1 3

1
1 3

4
1 4

9
1 12

P

例3 袋子中有3个红球,2个白球,1个黑球,这些除 颜色外完全相同,现要从中摸一个球出来,若摸到黑 球得1分,摸到白球得0分,摸到红球倒扣1分,试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列。

变式训练:一盒中放有大小相同的红,绿,黄色三种 小球,红球数是绿球数的两倍,黄球数是绿球数的一 半,现从中随机取出一球,若取出红球得1分,取出绿 球的0分,取出黄球的-1分,试写出从该盒子内随机取 出一球所得分数X的分布列。

求离散型随机变量的概率分布的方法步骤:
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2, ); 2、求出各取值的概率

P(? ? xi ) ? pi ;

3、列成表格并用分布列的性质进行检验。

深化练习:
1、将一枚骰子掷2次,求随机量概率分布. (1)求两次掷出的最大点数X. (2)求两次掷出的最小点数X.

2、一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出 3只,以X表示取出的3个球中的最小号码,试写出X的分布 列. 解: 随机变量X的可取值为 1,2,3. 当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两 只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有 2 3 P(X=1)= C4 / C5 =3/5; 同理可得 P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10. 2 3 因此,X 的分布列如下表所示 X 1 P 3/5 3/10 1/10 注:在写出X的分布列 后,要及时检查所有 的概率之和是否为1.

学习小结:
1、理解离散型随机变量的分布列的意义,会 求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质,并会用它来解决一些简单问题;

会求离散型随机变量的概率分布列:
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2, ); (2)求出各取值的概率 P(? ? xi ) ? pi ; (3)列成表格。 明确随机变量的具体取值 所对应的概率事件


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