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4简单的线性规划1


江苏省大丰高级中学高中数学必修五

编制人: 李春梅

审核人:陈玉存

4 课题 简单的线性规划(一) (总第 4 课时)
【使用说明及学法指导】 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 学习目标:1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性目标函数的最值. 3.会求一些简单的非线性函数的最值.



班级 学号 姓名

【预习案】 【自学】
1. 二元一次不等式组是一组对变量 x、 y 的约束条件, 这组约束条件都是关于 x、 y的 等式,所以又称为线性约束条件. 2.z=ax+by (a、b 是实常数)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫做 函数.由于 z=ax+by 又是 x、y 的一次解析式,所以又叫做 目标函数. 不

3.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.满 足线性约束条件的解(x,y)叫做 ,由所有可行解组成的集合叫做 .分别使目

标函数 z=ax+by 取得最大值和最小值的可行解叫做这个问题的最优解. 4. 线性目标函数 z=ax+by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 截距是 得最 ,当 z 变化时,方程表示一组 值,截距最小时,z 取得最 值. 【探究案】 探究一 线性目标函数的最值问题 问题 1 直线 l1,l2,l3,l4 的图象如图所示,α 1,α 2,α 3,α 4 依次是它们的倾斜角.k1, ,在 y 轴上的

的直线.当 b>0 时,截距最大时,z 取 值,截距

值;当 b<0 时,截距最大时,z 取得最

最小时,z 取得最

k2,k3,k4 分别是 l1,l2,l3,l4 的斜率.试按从小到大的顺序排列 k1,k2,k3,k4.

题型一 求目标函数的最大值或最小值

1

江苏省大丰高级中学高中数学必修五

编制人: 李春梅

审核人:陈玉存

y≤1 ? ? 例 1 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≥0 ? ?x-y-2≤0 x-4y≤-3, ? ? 训练 1 已知 x,y 满足?3x+5y≤25, ? ?x≥1

,则 z=x-2y 的最大值为________.

z=2x-y,求 z 的最大值和最小值.

小结:利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域,将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等 式表示的区域,然后求出所有区域的交集. (2)令 z=0,作出一次函数 ax+by=0. (3)求出最终结果. 在可行域内平行移动一次函数 ax+by=0, 从图中能判定问题有唯一最优 解,或者是有无穷最优解,或是无最优解. 题型二 非线性目标函数的最值问题 问题 一些非线性目标函数的最值可以赋予几何意义,利用数形结合的思想加以解决,例 如:z=x2+y2 表示可行域中的点(x,y) z=(x-a)2+(y-b)2 表示可行域中点(x,y)

y-b z= 表示可行域内的点(x,y) x-a
b? y-? ay+b ?-a? a z= (ac≠0),可以先变形为 z=c · d ,可知 z 表示可行域内 cx+d - ? x-? ? c? 点(x,y) ;

|ax+by+c| z=|ax+by+c| (a2+b2≠0),可以化为 z= a2+b2· 的形式,可知 z 表示可行域内 a2+b2 的点(x,y) x-y+2≥0 ? ? 例 2 已知?x+y-4≥0 ? ?2x-y-5≤0 (2)z= 2y+1 的范围. x+1


,求:(1)z=x2+y2-10y+25 的最小值;

(3) z ? x ? y 的最值
2 2

题型三 已知目标函数的最值求参数

2

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审核人:陈玉存

2x+y-2≥0 ? ? 例 3 若实数 x,y 满足?y≤3 ? ?ax-y-a≤0

且 x2+y2 的最大值为 34,求正实数 a 的值.

4 课题 简单的线性规划(一)
【训练案】 x+y-2≥0, ? ? 1.若实数 x,y 满足?x≤4, ? ?y≤5, 班级 姓名

则 s=x+y 的最大值为________

x+y≥2, ? ? 2. 若实数 x,y 满足不等式组?2x-y≤4, ? ?x-y≥0,

则 2x+3y 的最小值是________

? ?y≤1, 3.已知实数 x、y 满足? ,则 3x-y 的最大值是________. ?y≥|x-1| ?

4.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大 值的最优解有无穷多个,则 a 的值为________.

x+2y-5≤0, ? ?x≥1, 5.已知实数 x,y 满足? y≥0, ? ?x+2y-3≥0,

y 则x的最大值为____.

6.已知-1<x+y<4 且 2<x-y<3,则 z=2x-3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)

?0≤x≤ 7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组?y≤2, ?x≤ 2y
→→

2, 给定.若 M(x,y)为 D

上的动点,点 A 的坐标为( 2,1),则 z=OM· OA 的最大值为________.

3

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x-y+5≥0, ? ? 8.画出不等式组?x+y≥0, ? ? x≤ 3 (1)指出 x、y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点?

表示的平面区域,并回答下列问题:

2x+y-2≥0, ? ? 9 已知 x,y 满足约束条件?x-2y+4≥0, ? ?3x-y-3≤0, (1)z= y+1 ;(2)z=|x+2y-4|. x+2

求下列函数 z 的最值.

x+2y-3≤0 ? ? 10 已知变量 x, y 满足的约束条件为?x+3y-3≥0. ? ?y-1≤0 (3,0)处取得最大值,求 a 的取值范围.

若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点

4


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