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高考数学(文科)题型复习:导数


导数复习概念及其应用
一、定义及意义 1. 定义及概念: f ?( x0 ) = lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

2. 导数的意义,①物理意义:瞬时速率,变化率 ②几何意义:切线斜率 k ? lim ③代数意义:函数增减速率 二、导数的计算 1.基本初等函数的导数公式 ① ②

(c 为常数) ,即常数的导数等于 0。 ③ ;

?x ?0

f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

④ 2.导数的运算法则







① [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ② [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ③[

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3.复合函数求导

y ? f (u ) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)
三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 一般的, 在某个区间 ( a, b) 内, 如果 f ?( x) ? 0(等于) , 那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 (等于) ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减;如果恒有 单调减区间内,可以存在 f (x)=0 ) 2.函数的极值与导数 极值:设函数 是函数 函数 在点 附近(区间)有定义,如果对 ; 如果对 。 附近的所有点,都有 附近的所有点, 都有 ,则说 , 则说 是
'

,则在这一区间上为常函数。(单调增或

的一个极大值, 记作 的一个极小值,记作

设函数 (Ⅰ)如果在点 (Ⅱ)如果在点

可导,且在点 附近的左侧 附近的左侧

处连续,判定 ,右侧 ,右侧

是极大(小)值的方法是: ,则 ,则 为极大值; 为极小值;

注意:导数为 0 的不一定是极值点,如

;函数 y=f(x)在一点的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点

取极值的既不充分又不必要条件
间上所有函数值中的最小值。 ) 4.综合:求函数最大值最小值的步骤 ①单调性: (Ⅰ) 确定函数 时,



3.函数的最大值与最小值(最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义区

的定义域; (Ⅱ) 求导数 时

(Ⅲ) ; 令

, 解出相应的 x 的范围。 当

在相应区间上为增函数;当 ; (Ⅱ)求方程

在相应区间上为减函数。 的实根及 不存在的点; 在这一点取得极

②极值: (Ⅰ)求导数 考察

在上述方程的根以及

不存在的点左右两侧的符号:若左正右负,则

大值,若左负右正,则 ③最值: ( I )求 将 的各极值与 在 ,

在这一点取得极小值。 内的极值; ( II )求 在定义区间端点处的函数值 , ; ( III )

比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值。

b 例:1、设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0.求 y=f(x)的解析式; x

2、已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. (1)当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; 2 1? (2)设函数 f(x)在区间? ?-3,-3?内是减函数,求 a 的取值范围.

3、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

1 4、已知函数 f(x)= x2+ln x-1. 2 (1)求函数 f(x)在区间[1,e](e 为自然对数的底)上的最大值和最小值; 2 (2)求证:在区间(1,+∞)上,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= x3 的图象的下方; 3


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