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广东省珠海市2012届高三9月摸底考试数学(理)试题


大道景行 凡是的港湾 整理 http://dtcrf.uueasy.com

广东省珠海市 2011 年 9 月高三摸底考试

数 学 试 题(理)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 M = {x | x 2 = 9}, N = {x ∈ z | ?3 ≤ x < 3} ,则 M I N = A. ? B. {?3} C. {?3,3} ( D. {?3, ?2, 0,1, 2} ( ) )

2.对于平面 α 、 β 、 γ 和直线 a 、 b 、m、n,下列命题中真命题是 A.若 a ⊥ m, a ⊥ n, m ? α , n ? α , ,则 a ⊥ α B.若 a // b, b ? α ,则 a // α C.若 a ? β , b ? β , a // α , b // α ,则 β // α D.若 α // β , α I γ = a, β I γ = b, 则 a // b

3. f ( x ) 是奇函数, 则① | f ( x ) | 一定是偶函数; f ( x ) ? f ( ? x) 一定是偶函数; f ( x ) ? f ( ? x ) ≥ 0 ; ② ③ ④ f ( ? x ) + | f ( x ) |= 0 ,其中错误的个数有 A.1 个 B.2 个 C.4 个 4.如图,是一个几何体的正视图(主视图)、侧视图(左视图)、俯视图, 正视图(主视图)、侧视图(左视图)都是矩形,则该几何体的体积是 A.24 B.12 C.8 D.4 5.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否命题是 ( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D .“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” ( )

D.0 个

6.某种动物繁殖量 y (只)与时间 x (年)的关系为 y = a log 3 ( x + 1) ,设这种动物第 2 年有 100 只, 到第 8 年它们将发展到 A.200 只 B.300 只 ( C.400 只 D.500 只 )

2 2 7.已知直线 l1 与圆 x + y + 2 y = 0 相切,且与直线 l2 : 3 x + 4 y ? 6 = 0 平行,则直线 l1 的方程是

大道景行 凡是的港湾 整理 http://dtcrf.uueasy.com ( [来源:学科网 ZXXK] A. 3 x + 4 y ? 1 = 0 C. 3 x + 4 y + 9 = 0 B. 3 x + 4 y + 1 = 0 或 3 x + 4 y ? 9 = 0 D. 3 x + 4 y ? 1 = 0 或 3 x + 4 y + 9 = 0 )

8.对于任意两个正整数 m, n ,定义某种运算“※”如下:当 m, n 都为正偶数或正奇数时, m ※ n = m + n ; 当 m, n 中 一 个 为 正 偶 数 , 另 一 个 为 正 奇 数 时 , m ※ n = mn . 则 在 此 定 义 下 , 集 合

M = {(a, b) a ※ b = 12, a ∈ N? , b ∈ N?} 中的元素个数是
A.10 个 B.15 个 C.16 个 D.18 个 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.设数列 {an } 的前 n 项和 S n = n + n ,则 a7 的值为__
2

__.

10.已知双曲线的中心在原点,离心率为 3 ,若它的一条准线与抛物线 y 2 = 4 x 的准线重合,则该双曲 线的方程是 .

11.图 1 是某学生的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到 14 次的考试成绩依次记为 A 1,A2, A 14 .图 …, 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果 是 .

12 . ?ABC 中 , A 、B 、C 所 对 的 边 长 分 别 为 a 、b 、c , 且 a = c = 2 , AB ? BC = ?2 , 则

uuu uuu r r

b=



13.科网 x > 0 , y > 0 , 2 x + y =

1 1 1 ,则 + 的最小值是 3 x y



14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 M ( ρ ,θ ) 关于极点的对称点的极坐标 是 .

15.(几何证明选讲选做题) ?ABC 中, ∠A = 45 , ∠B = 30 ,
0 0

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CD ⊥ AB 于 D , DE ⊥ AC 于 E , DF ⊥ BC 于 F ,则 ∠CEF = .
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

1) 16.(本小题满分 12 分)已知: A(cos x , x ) ,其中 0 ≤ x < 2π , B (1 , , OA + OB = OC , sin

uuu uuu r r

uuur

uuur f ( x) =| OC |2 .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的对称轴和对称中心; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单增区间.

17 .(本小题满分 12 分)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格: 20[ 来 源 : 学 科 网 ] 12

人数 xi

10

15

25

30

35

40

27[ 件数 yi 4 7 15 20 23

来 源 :Zxxk. Com]

其中 i = 1 , ,, , , , . 2 3 4 5 6 7 (Ⅰ)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点图; (Ⅱ)求回归直线方程;(结果保留到小数点后两位)
7

(参考数据:

∑x y
i i=1

i

= 3245 , x = 25 , y = 15.43 , ∑ xi2 = 5075 , 7( x)2 = 4375 ,
i =1

7

7 x y = 2695 )
(Ⅲ)预测进店人数为 80 人时,商品销售的件数.(结果保留整数)

18. (本小题满分 14 分)如图,?PAD 为等边三角形, ABCD 为矩形, 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,AB = 2 ,E 、F 、G 分别为 PA 、 BC 、 PD 中点, PC 与底面 ABCD 成 45 角. (Ⅰ)求证: AG ⊥ EF
0

大道景行 凡是的港湾 整理 http://dtcrf.uueasy.com (Ⅱ)求二面角 P ? DF ? A 的正切.

19.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,设点 F ( , 0) ,直线 l : x = ? 动, R 是线段 PF 与 y 轴的交点, (I)求动点 Q 的轨迹的方程 C ;

1 2

1 ,点 P 在直线 l 上移 2

RQ ⊥ FP, PQ ⊥ l .

(II)设圆 M 过 A(1 , 0) ,且圆心 M 在曲 线 C 上, 设圆 M 过 A(1 , 0) ,且圆心 M 在曲线 C 上, TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦,当 M 运动时弦长 TS 是否为定值?请说明理由.[来源: 学,科,网]

20. (本小 题满分 14 分) 设函数 f ( x) = x 2 + k ln( x + 2) , 其中 k ≠ 0

+ (Ⅰ)当 k > 2 判断 f ( x) 在 (?2 , ∞ ) 上的单调性.
(Ⅱ)讨论 f ( x) 的极值点. 21 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 定 义 在 ( ?1 , 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 f ( ) = 1 , 且 对 任 意 1)

1 2

x? y x 、y ∈ ( ? 1 , 有 f ( x ) ? f ( y ) = f ( 1) ). 1 ? xy
(Ⅰ)判断 f ( x) 在 ( ?1 , 上的奇偶性,并加以证明. 1) (Ⅱ)令 x1 =

2 xn 1 , xn +1 = ,求数列 { f ( xn )} 的通项公式. 2 1 + xn 2 2n ? 1 6 ? 3m * } 的前 n 项和,若 Tn < 对 n ∈ N 恒成立,求 m 的最大值. f ( xn ) 2

(Ⅲ)设 Tn 为 {

参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 4 0 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.

大道景行 凡是的港湾 整理 http://dtcrf.uueasy.com 1—5 BDBBC 6—8 ADB 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9.14 10.

x2 y2 ? = 1 11.10 12.2 13. 9 + 6 2 3 6

14. ( ρ ,π + θ )

15. 30

0

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.解:(Ⅰ).由题设知, OA = (cos x , x) ,………………………………………………2分 sin

uuu r

uuur uuu uuu r r uuu r OB = (1 , ,则 OC = OA + OB = (1 + cos x ,+ sin x) …………………3分 1) 1

∴ f ( x) =| OC |2 = (1 + cos x)2 + (1 + sin x) 2
= 3 + 2(sin x + cos x) ………………………………………………4分
= 3 + 2 2 sin( x + ) ………………………………………………5分 4

uuur

π

∴对称轴是 x +

π

= k π + ,k ∈ Z , 4 2

π

即对称轴是 x = kπ +

π

4

,k ∈ Z ………………………………………………7分

对称中心横坐标满足 x + 即 x = kπ ?

π
4

= k π ,k ∈ Z ,

π
4

,k ∈ Z

∴对称中心是 (kπ ? , ,k ∈ Z ………………………………………………9分 3)
(Ⅱ).当 2kπ ? 即 2 kπ ?

π

π
2

4

≤ x+

π
4

≤ 2k π +

π
2

,k ∈ Z 时 f ( x) 单增,……………10分

3π π ≤ x ≤ 2 k π + ,k ∈ Z 4 4 3π π ∴ f ( x) 的单增区间是 [2kπ ? , kπ + ] k ∈ Z ………………………12分 2 4 4

17.解: (Ⅰ).散点图如图

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[来源:学科网][来源:学。科。网] ………………………………………………4分 (Ⅱ).Q

∑ xi yi = 3245 , x = 25 , y = 15.43 , ∑ xi2 = 5075 , n( x)2 = 4375
i=1 i =1

7

7

∴b =

∑ x y ? 7x ? y
i =1 7 i i

7

≈ 0.79 ,

………………………………………………6分

∑x
i =1

2 i

? 7( x)

2

a = y ? bx = ?4.32

………………………………………………8分 ……………………………………9分

∴回归直线方程是 y = 0.79 x ? 4.32

(Ⅲ).进店人数 80 人时,商品销售的件数 y = 0.79 × 80 ? 4.32 ≈ 59 件 ………………………………………………12分 18.(Ⅰ).证明:连接 GE 、 GC Q ?PAD 是等边三角形, G 为 PD 边中点,∴ AG ⊥ PD …………………………1分 Q ABCD 为矩形,∴ CD ⊥ AD , Q 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,∴ CD ⊥ 平面 PAD ………………………………2分 ∴ CD ⊥ AG , ∴ AG ⊥ 平 面 PCD , ∴ AG ⊥ CG …………………………………3分

Q E 、F 分 别 为 PA 、 BC 中 点 , ∴ GE
CF

1 AD , 2

1 AD ,∴ GE CF ,∴四边形 CFEG 是平行四边形, 2

∴ CG EF ………………………………………………4分 ∴ AG ⊥ EF ………………………………………………5分
(Ⅱ) (理) AD 中点 H , . 取 连接 PH , 在等边 ?PAD 中,PH ⊥ AD , PH ⊥ 平面 ABCD 则

∴ PH ⊥ CH 且 ∠PCH 是 PC 与平面 ABCD 所成的角,∴ ∠PCH = 450 ,………7分
设等边 ?PAD 边长为 a ,则 PH = HC =

3 1 a , DH = a 2 2
3 2 1 2 1 2 a ? a = a 4 4 2

Q 在矩形 ABCD 中, AB = 2 ,∴ 4 = CD 2 = CH 2 ? DH 2 =

大道景行 凡是的港湾 整理 http://dtcrf.uueasy.com 解得 a = 2 2 ………………………………9分
P

Q PH ⊥ 平面 ABCD ,∴ PH ⊥ DF 过 P 做 PK ⊥ DF 于 K ,连接 HK 则 DF ⊥ 平面 PHK 则 ∠PKH 就是二面角 P ? DF ? A 的平 面角…11分 1 1 由 DF = 6 及 s?ADF = × 2 HK ? DF = AB ? AD 2 2
解得 HK =

H D K

A F C

B

2 3 3 PH 3 2 = ………………………………………12分 HK 2 3 2 ……………………………………………14分 2

∴在 Rt ?PDF 中, tan ∠PKH =

∴求二面角 P ? DF ? A 的正切值为

19.解:(I) 依题意知,直线 l 的方程为: x = ?1 .……………2 分 点 R 是线段 FP 的中点,且 RQ ⊥ FP ,∴ RQ 是线段 FP 的垂直平分线.……………4 分 ∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ = QF .……………6 分 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线, 其方程为: y 2 = 2 x ( x > 0) .……………8 分 (II) ?M ( x 0 , y 0 ) ∈ C , M 到 y 轴的距离为 d =| x 0 |= x 0 ,…………9 分 圆的半径 r =| MA |= 则 TS = 2 r ? d
2 2

( x0 ? 1) 2 + y 0 ,…………10 分
2

2 = 2 y 0 ? 2 x0 + 1 , M ( x0 , y 0 ) ∈ C ……………12 分

由(I)知 y 0 = 2 x0 ,
2

所以 TS = 2 y 0 ? 2 x0 + 1 = 2 ,是定值.……………14 分
2

20.解:(理)由题设函数 f ( x ) 定义域是 (?2 , ∞ ) ,…………………………………………1 分 + 函数 f ( x ) = 2 x +
'

k 2 x2 + 4x + k = ………………①[来源:学科网 ZXXK] x+2 x+2

……………… ………………………………2分 (Ⅰ).当 k > 2 时,①式的 ? = 16 ? 8k = 8(2 ? k ) < 0 ,

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∴ 2 x 2 + 4 x + k > 0 ,又 x + 2 > 0 ∴ f ' ( x) =
2 x2 + 4 x + k >0 x+2
………………………………………………4分

∴ f ( x) 在 (?2 , ∞) 上的单调递增.………………………………………………5分 +
(Ⅱ). (1)

2 x2 + 4 x + k 当 k ≥ 2 时,由(Ⅰ)知 f ( x) = ≥0, x+2
'

∴ f ( x) 在 (?2 , ∞) 上的单调递增,故 f ( x) 无极值点.……………………………7分 +
(2) 当 k < 2 时, 2 x + 4 x + k = 0 解得 x = 由
2

?2 ± 4 ? 2 k ' , 此时 f ( x) = 0 2

当x<

?2 ? 4 ? 2 k ?2 + 4 ? 2 k 2 或x> 时, 2 x + 4 x + k > 0 2 2



?2 ? 4 ? 2 k ?2 + 4 ? 2k 2 <x< 时, 2 x + 4 x + k < 0 2 2

………………………………………………8分 ① 当 k ≤ 0 时,

?2 ? 4 ? 2 k ≤ ?2 , 2

?2 < x <

?2 + 4 ? 2 k 2 x2 + 4 x + k ' 时, f ( x ) = <0, 2 x+2

?2 + 4 ? 2 k 2 x2 + 4 x + k ' x> , f ( x) = >0 2 x+2

∴ f ( x) 在 (?2 , ∴x=

?2 + 4 ? 2k ?2 + 4 ? 2 k ) 上单减,在 ( , ∞) 上单增, + 2 2

?2 + 4 ? 2k 为极小值点,无极大值点.………………………………10分 2
当 0 < k < 2 时,



?2 ? 4 ? 2 k > ?2 , 2

当 ?2 < x <

?2 ? 4 ? 2 k ?2 + 4 ? 2 k 2 x2 + 4 x + k ' 或x> 时, f ( x ) = >0 2 2 x+2

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?2 ? 4 ? 2 k ?2 + 4 ? 2k 2 x2 + 4 x + k ' <x< 时, f ( x) = <0 2 2 x+2

∴ f ( x) 在 (

?2 ? 4 ? 2k ?2 + 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2k , ) 上 单 减 , 在 (?2 , ) 和 2 2 2

(

?2 + 4 ? 2 k , ∞) 上单增, + 2 ?2 ? 4 ? 2 k ?2 + 4 ? 2k 为极大值点, x = 为极小值点.……………12分 2 2
?2 + 4 ? 2k ?2 ? 4 ? 2 k 为极小值点, 无极大值点;0 < k < 2 时,x = 2 2

∴x=

综上,k ≤ 0 时,x =

为极大值点, x =

?2 + 4 ? 2k 为极小值点; 2
………………………14分

k ≥ 2 时, f ( x) 无极值点.

21.解:(Ⅰ).Q 对任意 x 、y ∈ ( ?1 , 有 f ( x ) ? f ( y ) = f ( 1)

x? y ) …………① 1 ? xy

∴令 x = y = 0 得 f (0) = 0 ;………………………………………………1分
令 x = 0 由①得 f ( ? y ) = ? f ( y ) , 用 x 替换上式中的 y 有 f ( ? x ) = ? f ( x) ………………………………………2分

∴ f ( x) 在 (?1 , 上为奇函数.………………………………………………3分 1)
(Ⅱ). { f ( xn )} 满足 x1 =

2 xn 2x 1 < 1 ,则必有 xn +1 = < n =1 2 2 1 + xn 2 xn

否则若 xn +1 = 1 则必有 xn = 1 ,依此类推必有 x1 = 1 ,矛盾

∴ 0 < xn < 1 ………………………………………………5分 ∴ f ( xn+1 ) = f ( ∴
2 xn x ? (? xn ) )= f( n ) = f ( xn ) ? f (? xn ) = f ( xn ) + f ( xn ) = 2 f ( xn ) 2 1 + xn 1 ? xn ? (? xn )

f ( xn +1 ) 1 = 2 ,又 f ( x1 ) = f ( ) = 1 [来源:学科网] f ( xn ) 2

∴ { f ( xn )} 是 1 为首项, 2 为公比的等比数列,…………………………………7分

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∴ f ( xn ) = 2n ?1
(Ⅲ).

………………………………………………8分

2n ? 1 2 n ? 1 2n ? 1 = n ?1 = 2 × n ………………………………………………9分 f ( xn ) 2 2

3 5 2n ? 1 + 3 + L + n ) ……………………………………② 2 2 2 2 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn = 2 × ( 2 + 3 + 4 + L + + n +1 ) ………………………③ 2 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ② ? ③得 Tn = 2 × ( + + 2 + 3 + L + n ?1 ? n +1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2n + 3 = 3 ? n ………………………………………………11分 2 2n + 3 ∴ Tn = 6 ? n ?1 < 6 ………………………………………………12分 2 6 ? 3m 6 ? 3m * ∴若 Tn < 对 n ∈ N 恒成立须 ≥ 6 ,解得 m ≤ 2 ……………………13分 2 2 ∴ m 的最大值为 2 . ………………………………………………14分
故 Tn = 2( +

1 2


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