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高三数学二轮专题转化与化归思想


高考调研

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

第一部分 论方法

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第一部分

论方法

高考调研

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专题4

转化与化归思想

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第一部分

专题4

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转化与化归思想 就是把那些待解决或难解决的问题,通过某种手段,使之转 化为一类已解决或易解决的问题,最终使原问题获解.使用化归 思想的原则是:化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知. 转化与化归思想高考中占有十分重要的地位,数学问题的解 决,总离不开转化与化归,它几乎可以渗透到所有的数学内容和 解题过程中.

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第一部分

专题4

高考调研
类型一 直接转化

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典例 1 的通项公式. 【思路】

2an 已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,求数列{an} an+2

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第一部分

专题4

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2an 1 1 1 【解析】 ∵an+1= ,a1=1,∴an≠0,∴ = + , an+2 an+1 an 2 1 1 即 - = . an+1 an 2 1 1 1 又 a1=1,则 =1,∴{ }是以 1 为首项, 为公差的等差数 a1 an 2 列. 1 1 1 n 1 2 ∴ = +(n-1)× = + ,∴an= (n∈N*). an a1 2 2 2 n+1 1

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第一部分

专题4

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典例 2

求下列函数的值域:

(1)y=sinx+cosx; (2)y=sin2x-cosx+1; cosx (3)y= ; 2cosx+1 1+sinx (4)y= . 3+cosx

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第一部分

专题4

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【解析】

π (1)∵y=sinx+cosx= 2sin(x+ ), 4

∴函数的值域为[- 2, 2]. (2)∵y=sin2x-cosx+1 12 9 =2-cos x-cosx=-(cosx+2) +4,
2

9 ∴函数的值域为[0, ]. 4

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第一部分

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cosx y (3)由 y= ,得 cosx= . 2cosx+1 1-2y ∵|cosx|≤1, y 1 ∴解不等式| |≤1,得 y≤ 或 y≥1. 3 1-2y 1 ∴函数的值域为(-∞,3]∪[1,+∞).

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第一部分

专题4

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1+sinx (4)由 y= ,得 sinx-ycosx=1-3y, 3+cosx 即 1+y2· sin(x-φ)=1-3y. 1-3y ∴sin(x-φ)= 2 . 1+y 1-3y ∵|sin(x-φ)|≤1,∴| |≤1. 1+y2 平方化简得 y· (4y-3)≤0. 3 3 ∴0≤y≤4,即函数值域为[0,4].
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第一部分

专题4

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类型二
典例 1

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换元法

求函数 y=(4-3sinx)(4-3cosx)的最小值.

【思路】

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【解析】

y=16-12(sinx+cosx)+9sinxcosx,令 t=sinx+

t2-1 cosx,则 t∈[- 2, 2]且 sinxcosx= 2 , t2-1 1 2 ∴y=16-12t+9× = (9t -24t+23). 2 2 4 7 故当 t=3时,ymin=2.

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专题4

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典例 2

若关于 x 的方程 9x+(4+a)· 3x+4=0 有解, 则实数 a

的取值范围是________. 【思路】 可采用换元法,令 t=3x,将问题转化为关于 t 的 方程有正解进行解决.

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第一部分

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【解析】

设 t=3x,则原命题等价于关于 t 的方程

t2+(4+a)t+4=0 有正解,分离变量 a 得 4 4 a+4=-(t+ ),∵t>0,∴-(t+ )≤-4. t t ∴a≤-8,即实数 a 的取值范围是(-∞,-8].
【答案】 (-∞,-8]

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典例 3

(2013· 青岛模拟)设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,

则 2x+y 的最大值是________.

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第一部分

专题4

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【解析】

令 2x+y=t,则 y=t-2x,

则 4x2+y2+xy=1 变形为 6x2-3tx+t2-1=0. 8 Δ=9t -4· 6· (t -1)≥0,∴t ≤ . 5
2 2 2

2 10 2 10 2 10 ∴- 5 ≤t≤ 5 ,即 2x+y 的最大值是 5 .

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第一部分

专题4

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类型三 数形结合法

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典例 1

2-sinx 求函数 f(x)= 的值域. 2+cosx

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第一部分

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2-sinx 【解析】 函数 f(x)= , 可看作点(2,2), (-cosx, sinx) 2+cosx 两点连线的斜率. 点(-cosx,sinx)的轨迹为 x2+y2=1.

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第一部分

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函数值域即为(2,2)与单位圆 x2+y2=1 上点连线斜率的范围, 由图可知,过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在,不妨设为 k. ∴切线方程为 y-2=k(x-2)即 kx-y-2k+2=0. |2-2k| 4± 7 ∴满足 =1,解之得 k= 3 . 1+k2 4- 7 4+ 7 ∴函数 f(x)的值域为[ 3 , 3 ].

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第一部分

专题4

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典例 2

设 f(x)= 1+x2,求证:对于任意实数 a、b,a≠b,

都有|f(a)-f(b)|<|a-b|.

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第一部分

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【解析】

设 A(x1,1),B(x2,1),

2 则|OA|= 1+x2 , | OB | = 1 + x 1 2,|AB|=|x1-x2|. 2 在△AOB 中, ||OA|- |OB||<|AB|,即有 | 1+x2 1 - 1+x2 |<|x1

-x2|,所以|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,即|f(a)-f(b)|<|a-b|.

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第一部分

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高考调研
类型四 构造法

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典例 1

在三棱锥 P-ABC 中,PA=BC=2 34,PB=AC=

10,PC=AB=2 41,则三棱锥 P-ABC 的体积为________. 【思路】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时,

无法求出三棱锥的高.但若换个角度来思考,注意到三棱锥的三 对棱两两相等,我们可以构造一个特定的长方体,将问题转化为 长方体中的某个问题.

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第一部分

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【解析】

如图所示,把三棱锥 P-ABC 补成一个长方形

AEBG-FPDC, 易知三棱锥 P-ABC 的各棱分别是长方体的面对 角线,不妨令 PE=x,EB=y,EA=z,则由已知有:

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第一部分

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?x2+y2=100, ? 2 2 ?x +z =136, ?y2+z2=164, ?

?x=6, ? 解得?y=8, ?z=10. ?

所以 VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC 1 =VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4× ×6×8×10=160. 6 故所求三棱锥 P-ABC 的体积为 160.

【答案】 160

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第一部分

专题4

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典例 2

(2012· 辽宁)已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C

都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心 到截面 ABC 的距离为________.

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【解析】

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先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥,再利用正方 体的性质解题.如图,满足题意的正三棱锥 P-ABC 可以是正方 体的一部分, 其外接球的直径是正方体的体对角线, 且面 ABC 与 体对角线的交点是体对角线的一个三等分点,所以球心到平面 1 1 ABC 的距离等于体对角线长的6,故球心到截面 ABC 的距离为6 3 ×2 3= 3 .
【答案】
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3 3
第一部分 专题4

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类型五 等价转化法

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典例 1

设 f(x)为定义在(-∞,3]上的减函数,已知 f(a2-

sinx)≤f(a+1+cos2x)对于 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

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第一部分

专题4

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【解析】

由函数的单调性定义去掉函数符号 f,进而将参

数 a 与变量 x 的关系式进行分离,再转化为求函数的最值. 原式等价于 a+1+cos2x≤a2-sinx≤3,对 x∈R 恒成立
2 ? ?a ≤3+sinx, ?? 2 2 ? ?a -a≥1+cos x+sinx,

① 对 x∈R 恒成立. ②

令 t(x)=3+sinx,则 ①对 x∈R 恒成立?a2≤[t(x)]min=2.③ 12 9 9 令 g(x)=1+cos x+sinx=-(sinx-2) +4≤4,
2
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第一部分

专题4

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9 ②对 x∈R 恒成立?a -a≥ .④ 4
2

由③④可得所求实数 a 的取值范围是 1- 10 - 2≤a≤ . 2

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第一部分

专题4

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典例 2

(2013· 四川)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两

串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮.那 么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是( 1 A.4 3 C. 4
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) 1 B.2 7 D. 8
第一部分 专题4

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【解析】

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第一部分

专题4

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设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,则由题意可得, 0≤x≤4,0≤y≤4;而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒”,即|x-y|≤2,可行域如图阴影部分所示. 1 4 -2×?2×2×2? 3 由几何概型概率公式,得 P(A)= =4. 42
2

【答案】 C

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第一部分

专题4

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类型六 坐标法

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典例 1

正方形 ABCD, ABEF 的边长都是 1, 并且平面 ABCD

⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若 CM =BN=a(0<a< 2). (1)求 MN 的长度; (2)当 a 为何值时,MN 的长度最短.

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第一部分

专题4

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【思路】 代入两点间 建立空 利用二次函 得到点M, 的距离公式, 间直角 ―→ ―→ ―→ 数的性质求 N的坐标 得到MN长 坐标系 得最小值 度的代数式

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第一部分

专题4

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【解析】 因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,且交线为 AB,BE ⊥AB,所以 BE⊥平面 ABCD,所以 BA,BC,BE 两两垂直.

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取 B 为坐标原点,BA,BE,BC 所在直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为|BC|=1,|CM|=a,点 M 在坐标平面 zBx 上且在正方形 ABCD 的对角线上, 2 2 所以点 M( a,0,1- a). 2 2 因为点 N 在坐标平面 xBy 上且在正方形 ABEF 的对角线上, 2 2 |BN|=a,所以点 N( a, a,0). 2 2
第36页

第一部分

专题4

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(1)由空间两点间的距离公式,得 |MN| = 2 2 2 2 2 2 ? 2 a- 2 a? +?0- 2 a? +?1- 2 a-0?2 =

a2- 2a+1,即 MN 的长度为 a2- 2a+1. (2)由(1)得|MN|= a - 2a+1= 2 当 a= (满足 0<a< 2)时, 2 2 MN 的长度最短,最短为 . 2
第37页

2

22 1 ?a- ? + , 2 2

22 1 ?a- ? + 取得最小值,即 2 2

第一部分

专题4

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典例 2

2π → → 给定两个长度为 1 的平面向量OA和OB,它们的夹角 3 .如图 所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 其中 x,y∈R,求 x+y 的最大值. → → → 上运动.若OC=xOA+yOB,

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第一部分

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第39页

第一部分

专题4

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【解析】

→ 以 O 为坐标原点,OA所在的直线为 x 轴建立平

1 3 面直角坐标系,如图所示,则 A(1,0),B(- , ). 2 2

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第一部分

专题4

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2π 设∠AOC=α(α∈[0, ]),则 C(cosα,sinα). 3 → → → 由OC=xOA+yOB, 1 ? ?cosα=x-2y, 得? ?sinα= 3y. 2 ?

第41页

第一部分

专题4

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3 2 3 所以 x=cosα+ sinα, y= sinα, 所以 x+y=cosα+ 3sinα 3 3 π =2sin(α+6). 2π π 又 α∈[0, ],所以当 α= 时,x+y 取得最大值 2. 3 3

第42页

第一部分

专题4

高考调研
类型七 参数法

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

典例 1

已知直线 l 过点 A(2,3)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别

交于 M、 N 两点, 则当|AM|· |AN|最小时, 直线 l 的方程为________.

第43页

第一部分

专题4

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高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

【解析】

π 设∠AMO 为 θ,则 θ∈(0, ), 2

3 2 ∴|AM|=sinθ,|AN|=cosθ. 6 12 ∴|AM|· |AN|=sinθ· cosθ=sin2θ≥12. π 当且仅当 sin2θ=1,即 θ= 时取“=”号. 4 此时 kl=-1,∴l 的方程为 x+y-5=0.
【答案】
第44页

x+y-5=0
第一部分 专题4

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典例 2

已知抛物线 y2=4px(p>0),O 为顶点,A,B 为抛物

线上的两动点,且满足 OA⊥OB,OM⊥AB 于 M 点,求点 M 的 轨迹方程. 【思路】 设 M(x,y),考虑直接找 x,y 的关系不容易,故 寻找其他变量建立 x,y 之间的联系.

第45页

第一部分

专题4

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【解析】

设 M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方

y 程为 y=kx+b.由于 OM⊥AB,则 kOM· k=-1,又 kOM=x,所以 k x =- . y
? ?y=kx+b, 由? 2 ? ?y =4px

消去 y 整理得 k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,则

b2 x1x2=k2 .

第46页

第一部分

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? ?y=kx+b, 由? 2 ? ?y =4px

消去 x 整理得 ky2-4py+4pb=0,则 y1y2=

4pb . k 4pb b2 由 OA⊥OB, 得 y1y2=-x1x2, 即 k =-k2 , 整理得 b=-4kp. 即直线 AB 的方程是 y=kx-4kp,即 y=k(x-4p).

第47页

第一部分

专题4

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x ? ?k=- , x y 由? ,消去 k 得 y=-y(x-4p),整理得 x2+y2 ? ?y=k?x-4p? -4px=0(x≠0),即点 M 的轨迹方程为 x2+y2-4px=0(x≠0).

第48页

第一部分

专题4

高考调研

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【点拨】 在选择参数时,选用的变量意义上可以有某种物 理或几何性质,如时间、速度、距离、角度、直线的斜率、点的 横(纵)坐标等,也可以没有具体的意义,但要特别注意它的取值 范围对动点坐标取值范围的影响.

第49页

第一部分

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高考调研
类型八

高考总复习· 二轮专题· 数学· 理

一般与特殊的转化

典例 1 (2013· 广州模拟)在△ABC 中,三边长 a,b,c 满足 A C a+c=3b,则 tan tan 的值为( 2 2 1 A. 5 1 C.2 1 B. 4 2 D.3 )

第50页

第一部分

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高考调研

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【解析】

令 a=4,c=5,b=3,则符合题意.

C 4 A 1 则由∠C=90° ,得 tan 2 =1,由 tanA=3,得 tan 2 =2. A C 1 1 ∴tan · tan = · 1= ,选 C. 2 2 2 2

第51页

第一部分

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典例 2

(2013· 临川模拟)在定圆 C: x2+y2=4 内过点 P(-1,1)

|AB| |MN| 作两条互相垂直的直线与 C 分别交于 A, B 和 M, N, 则|MN|+ |AB| 的范围是________.

第52页

第一部分

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【解析】

|AB| 设 =t,考虑特殊情况:当 AB 垂直 OP 时, |MN|

MN 过 O,|AB|最小,|MN|最大, 2 2 所以 t 最小= ,t 最大= 2.所以 t∈[ , 2]. 2 2 1 又因为 t+ t ≥2
【答案】

1 1 3 2 t· t =2,所以 t+ t ∈[2, 2 ].

3 2 [2, ] 2

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第一部分

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高考调研
类型九 正难则反

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典例 1

已知函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-

1,1]上至少存在一个实数 x0,使 f(x0)>0,求 p 的范围.

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第一部分

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【解析】

记 p 的范围是 I,原题可作为命题:若 p∈I,则

函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]上至少存在一 个实数 x0,使 f(x0)>0. 等价命题为: 函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[- 1,1]上对任意的 x 都有 f(x)≤0,则 p∈?RI.

第55页

第一部分

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由对任意的 x 都有
2 ? ?2p -p-1≥0, ? 2 ? ?2p +3p-9≥0

? ?f?-1?≤0, f(x)≤0 ,结合图形知 ? ? ?f?1?≤0

?

3 3 ?p≤-3 或 p≥2, 即?RI={p|p≤-3 或 p≥2},

3 3 所以 I=(-3, ),故所求的 p 的范围为(-3, ). 2 2

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典例 2

(2011· 湖北)在 30 瓶饮料中, 有 3 瓶已过了保质期. 从

这 30 瓶饮料中任取 2 瓶,则至少取到一瓶已过保质期的概率为 ________.(结果用最简分数表示)

第57页

第一部分

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C2 27 【解析】 所取的 2 瓶中都是不过期的饮料的概率为 P= 2 C30 117 28 =145,则至少有 1 瓶为已过保质期饮料的概率 P =1-P=145.

【答案】

28 145

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专题集训?作业(word)

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第一部分

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