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上海高考数学-解析几何专题


解析几何专题 解析几何专题 2013

1

7.在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1与 ? cos ? ? 1 的公共点到极点的距离为__________ 9.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 个焦点之间的距离为________ 13.在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1)2 ? y

2 ? 1( x ? 1) 和

?
4

,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的两

( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、两条直线 y ? 1 和 y ? ?1 围成的封
闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成 的几何体为 ? ,过 (0, y )(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得截
2 面面积为 4? 1 ? y ? 8? ,试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________ 22.如图,已知曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1,P 是平面上一 2

点,若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直 线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点” ; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点” . 2

解析几何专题 2012 4.若 n ? (?2, 1) 是直线 l 的一个法向量,则 l 的倾斜角的大小为 函数值表示). 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2?的半圆面,则该圆锥的体积为 10.如图,在极坐标系中,过点 M (2, 0) 的直线 l 与极轴的夹角 .若将 l 的极坐标方程写成 ? ? f (? ) 的形式,则 ??? 6

2

(结果用反三角

. l

O

?
M x

f (? ) ?

.

22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x 2 ? y 2 ? 1 . (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的 三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切,求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2 : 4 x 2 ? y 2 ? 1. 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

2011 3.设 m 为常数,若点 F (0,5) 是双曲线

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点,则 m ? m 9



s? 5 . 在 极 坐 标 系 中 , 直 线 ? (2cos ? ? sin ? ) ? 2 与 直 线 ? c o ?
为 。

1 的夹角大小

7.若圆锥的侧面积为 2? ,底面积为 ? ,则该圆锥的体积为



解析几何专题

3

23.已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线 段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 (1)求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2)设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; ( 3 ) 写 出 到 两 条 线 段 l1 , l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} , 其 中

l1 ? AB, l2 ? CD , A, B, C, D 是下列三组点中的一组。
① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。 ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。 ③

A( 0 , 1 ) B,

( 0 ,C 0),

(D 0 , 0 )。 , (2, 0)

2010 3. 动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹方程为
2 2 5. 圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 的圆心到直线 l: 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距离 d ?
*

。 。

11. 将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、 l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )x 轴、y 轴围成的封闭 图形的面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??



解析几何专题

4

13. 如 图 所 示 , 直 线 x=2 与 双 曲 线 ? :

?2
4

? y 2 ? 1 的 渐 近 线 交 于 E1 , E2 两 点 , 记

OE1 ? e1, OE2 ? e2 ,任取双曲线 ? 上的点 P,若 OP ? ae1, ?be2 (a、b ? R) ,则 a、b 满足
的一个等式是 16.直线 l 的参数方程是 ? (A)(1,2) (B)(2,1)

? x=1+2t (t ? R) ,则 l 的方向向量是 d ? y=2-t
(C)(-2,1) (D)(1,-2)

可以是 ( )

23.已知椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为(-a,b). a 2 b2
? ? 1 ? ( PA + PB) ,求点 M 的坐标; 2

(1)若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b),B(a,0)满足 PM =

( 2 ) 设 直 线 l1 : y ? k1 x ? p 交 椭 圆 ? 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y ? k2 x 于 点 E . 若

k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2
? ? ?

(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cosθ,b sinθ) (0<θ<π) ,如果椭圆 ? 上存在不同的两 个交点 P1 、 P2 满足 PP1 + PP2 = PQ ,写出求作点 P1 、 P2 的步骤,并求出使 P1 、 P2 存在的θ 的取值范围.

2009

x2 y2 9.已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点,且 a b

PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF

解析几何专题 10. 在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? ________.
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

5

?
3

, ? cos? ? ? sin ? ? 1围成图形的面积是

13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状,相邻街距都为 1.两街道相交的点称为格点。

2) , (3, 4) , 若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系,现有下述格点 (?2, 1) , (3, (?2, 3) ,(4, 5) ,(6, 6) 为报刊零售点.请确定一个格点(除零售点外)__________为发行站,
使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 14. 将 函 数 y ?
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

6?) 的 图 像 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向 旋 转 角 4 ? 6 x ? x 2 ? 2 ( x ? ?0,

? (0 ? ? ? ? ) , 得到曲线 C .若对于每一个旋转角 ? , 曲线 C 都是一个函数的图像, 则? 的
最大值为__________.
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

18.过圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于 点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足

S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有(
(A) 0 条 (B) 1 条

) (D) 3 条

(C) 2 条

21.已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2,0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2

解析几何专题 2008

6

10.某海域内有一孤岛,岛四周的海平面(视为平面)上有一浅水区(含边界) ,其边界是 长轴长为 2 a ,短轴长为 2b 椭圆。已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为 h1 , h2 ,且两个 导航灯在海平面上的投岸恰好落在椭圆的两个焦点上。 现有船只经过该海域 (船只的大小忽 略不计) ,在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为 ?1、?2 ,那么船只已进入该浅水区的判别 条件是___________________ 15.如图,在平面直角坐标系中, ? 是一个与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点

C、D 的定圆所围成的区域(含边界) , A、B、C、D 是被圆

'x ,' y ) ' 的四等分点。 若点 P( x, y) 、 点 P(

)满足 x ? x ' 且 y ? y ' ,

y

A ·

则称 P 优于 P ' 。如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点 优于 Q ,那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧 ( ) (B) BC (D) DA O D·

?
· C

·B

(A) AB (C) CD

x

20.设 P(a, b)(b ?0) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,l 是经过原点与点 (1, b) 的直线,记 Q
2 是直线 l 与抛物线 x ? 2 py ( p ≠0)的异于原点的交点.

(1)已知 a ? 1, b ? 2, p ? 2 .,求点 Q 的坐标; (2)已知点 P(a, b)(ab ? 0) 在椭圆

x2 1 2 2 ? y 2 ? 1上, p ? . 证:Q 落在双曲线 4x ? 4 y =1 上; 4 2ab

(3)已知动点 P (a, b) 满足 ab ? 0 , p ?

1 ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物 2ab

线上,试问动点 P 的轨迹落在哪条双曲线上,并说明理由.

解析几何专题 2007 2、已知 l1 : 2 x ? my ? 1 ? 0 与 l2 : y ? 3x ? 1 ,若两直线平行,则 m 的值为 _____ 8、已知双曲线 为 _____

7

x2 y 2 ? ? 1 ,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 4 5

2 11、已知圆的方程 x ? ? y ? 1? ? 1 , P 为圆上任意一点(不包括原点) 。直线 OP 的倾斜 2

角为 ? 弧度, OP ? d ,则 d ? f

?? ? 的图象大致为 _____

21、 已知半椭圆
2 2

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 x ? 0 ? ? 1? x ? 0 ? 组成的曲线称为 与半椭圆 “果圆” , ? ? a 2 b2 b2 c2
2

其中 a ? b ? c , a ? 0, b ? c ? 0 。如图,设点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与 x , y 轴的交点, (1)若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)若 A 1A ? B 1 B ,求

b 的取值范围; a

(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 k ,使得斜率 为 k 的直线交果圆于两点, 得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在, 求出所有 k 的值;若不存在,说明理由。 y

B2

.F
A1

2

O

.

M

F0

A2

x

F1 B1

解析几何专题 2006 2. 已知圆 x -4 x -4+ y 2 =0 的圆心是点 P, 则点 P 到直线 x - y -1=0 的距离是
2

8



7.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是 .

5? ) , 则△OAB 的面积是 . 6 11 .若曲线 y 2 = | x | + 1 与直线 y = kx + b 没有公共点,则 k 、 b 分别应满足的条件
8. 在极坐标系中, O 是极点, 设点 A (4, ) , B (5, - 是 . 16.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的距离,则称有序非负实数对( p , q )是点 M 的“距离坐标” .已知常 l 1 数 p ≥0, q ≥0,给出下列命题: ①若 p = q =0,则“距离坐标”为(0,0)的点 M( p , q ) 有且仅有 1 个; l2 ②若 pq =0,且 p + q ≠0,则“距离坐标”为 O ( p , q )的点有且仅有 2 个; ③若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 4 个. 上述命题中,正确命题的个数是 ( ) (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 20.在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点. (1)求证: “如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
?? ? ?? ?

? 3

2005 3、直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2) 与动点 P( x, y) 满足 OP ? OA ? 4 ,则点 P 的轨迹 方程是__________。 5 、若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 _______。 6、将参数方程 ?
2

? 10,0? ,则双曲线的方程是

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? 为参数)化为普通方程,所得方程是__________。 y ? 2 sin ? ?

15、过抛物线 y ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等 于 5,则这样的直线( ) A.有且仅有一条 B.有且仅有两条

C.有无穷多条

D.不存在

解析几何专题

9

2 2 19、点 A、B 分别是椭圆 x ? y ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆

36

20

上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2) 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。

2004 2、设抛物线的顶点坐标为 (2, 0) ,准线方程为 x ? ?1 ,则它的焦点坐标为 7、在极坐标系中,点 M (4, . .

?
3

) 到直线 l : ? (2cos? ? sin ? ) ? 4 的距离 d ?

8、圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4) , B(0, ?2) ,则圆 C 的方程 为 . 11.“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是

.

22. 设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) ,…, P n ( xn , yn ) ( n ? 3, n ? N ) 是 二 次 曲 线 C 上 的 点 , 且

a1 ? OP1 , a2 ? OP2 , …, an ? OPn 构成了一个公差为 d ( d ? 0 ) 的等差数列, 其中
O 是坐标原点. 记 Sn ? a1 ? a2 ?
? an .

2

2

2

2 2 (1)若 C 的方程为 x ? y ? 1 , n ? 3 . 点 P 1 (3, 0) 及 S3 ? 255 , 求点 P 3 的坐标;

100
2

25

2 (2)若 C 的方程为 x ? y ? 1 (a>b>0). 点 P 1 (a,0) , 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化时, 2 2 a b

求 Sn 的最小值; (3) 请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件 的点 P 1, P 2,

, Pn 存在的充要条件,并说明理由.

解析几何专题 2003 4.在极坐标系中,定点 A (1, 时,点 B 的极坐标是 11.已知点 A(0, ), B (0,? ), C (4 ? 积,则 lim S n =
n??

10

?
2

), 点 B 在直线 ? cos? ? ? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 最短
王新敞
奎屯 新疆

2 n

2 n

2 ,0), 其中 n 的为正整数.设 Sn 表示△ABC 外接圆的面 n

.

x2 y2 ? 12.给出问题:F1、F2 是双曲线 =1 的焦点,点 P 在双曲线上.若点 P 到焦点 F1 的距 16 20
离等于 9,求点 P 到焦点 F2 的距离.某学生的解答如下:双曲线的实轴长为 8,由||PF1| -|PF2||=8,即|9-|PF2||=8,得|PF2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确?若正确,请将他的解题依据填在下面空格内,若不正确,将正 确的结果填在下面空格内 . 20.如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 米,要求通行车辆限高 4.5 米,隧道全 长 2.5 千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状. (1)若最大拱高 h 为 6 米,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 米,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最最小?(半个椭圆的面积公式为 S ? 本题结果精确到 0.1 米)

?
4

lh ,柱体体积为:底面积乘以高.

解析几何专题

11

21. 在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|, 且点 B 的纵坐标大于零. (1)求向量 AB 的坐标; (2)求圆 x 2 ? 6x ? y 2 ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程; (3)是否存在实数 a,使抛物线 y ? ax2 ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存在, 说明理由:若存在,求 a 的取值范围.

2002 6.已知圆 (x+1)2+y2=1 和圆外一点 P (0,2),过点 P 作圆的切线,则两条切线夹角的正切是 8.曲线 ?

?x ? t 2 ? 1 (t 为参数)的焦点坐标是 ? y ? 2t ? 1

.

9.若 A、B 两点的极坐标为 A(4, (极角用反三角函数表示)

? ) 、B(6,0) ,则 AB 中点的极坐标是 3

.

18.已知点 A(— 3 ,0)和 B( 3 ,0) ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2, 点 C 的轨迹与直线 y=x—2 交于 D、E 两点.求线段 DE 的长.


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