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2005年湖南省数学竞赛试卷


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2005 年湖南省数学竞赛试卷
考生注意:1.本试卷共三大题(19 个小题) ,全卷满分 150 分。2.用钢笔、签字笔或
圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。

一、 选择题(本大题共 10 小题,每小题

6 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的) 1.命题甲: x ? 1002 或 y ? 1003 ;命题乙: x ? y ? 2005 ,则命题甲是命题乙的( A.充分不必要条件 2,如果圆 x ? y
2 2 2



B.必要不充分条件

C.充要条件
3 sin

D.既不充分又不必要条件

? n 至少覆盖函数 f ( x ) ?

?x
n

的一个最大点和一个最小点,则正

整数 n 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则其离心率为( )

A.

3 4

B.

2 3

C.

3 5

D.

9 10

4.对于 x ? R , 函数 f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,则它是周期函数,这类函数的最小正周 期是( A. 4 ) B. 6 C. 8 D. 12

5.函数 y ? f ( x ) 的图象为 C ,而 C 关于直线 x ? 1 对称的图象为 C 1 ,将 C 1 向左平移 1 个 单后得到的图象为 C 2 ,则 C 2 所对应的函数为( A. y ? f ( ? x ) B. y ? f (1 ? x ) ) D. y ? f ( 3 ? x ) )
1 b
2 3 2

C. y ? f ( 2 ? x )

6.当 a , b 是两个不相等的正数时,下列不等式中不成立的是(
1 a
3 2

A. ( a ?

)( b ?

1 b

) ? ( ab ?

1 ab

)

2

B. ( a ?

1 a

)( b ?

) ? (

a ?b 2

?

2 a ?b

)

2

C.

a a

?b ?b

3 2

?

a

2

?b

2

a ?b
2 2

D.

a

2

?b

a ?b

?

a a

?b ?b

3 2

7. A xy ? 记

(1 ? x )( 1 ? y ) xy

, a ? b ? c ? abc , A ? A bc ? A ac ? A ab 的值为 若 则 (



A. 3 B. ? 3 C. 4 D. ? 4 8.某个货场有 2005 辆车排队等待装货,要求第一辆车必须装 9 箱货物,每相邻的 4 辆车装 的货物总数为 34 箱,为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是( ) A. 17043 B. 17044 C. 17045 D. 17046
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9.若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为 90 的正方体,则正方体的一条 对角线贯穿的小长方体的个数是( ) A. 64 B. 66 C. 68 D. 70 10.一套重要资料锁在一个保险柜中,现有 n 把钥匙依次分给 n 名学生依次开柜,但其中只 有一把真的可以打开柜门,平均来说打开柜门需要试开的次数为( ) A. 1 B. n C.
n ?1 2

D.

n ?1 2

二、填空题:(本小题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把答案填在题中横线上)
11.设 x ? R ,对于函数 f ( x ) 满足条件 f ( x ? 1) ? x ? 5 x ? 3 ,那么对所有的 x ? R ,
2 4 2

f (x

2

? 1) ? _______________;

12.一张坐标纸对折一次后,点 A ( 0 , 4 ) 与点 B ( 8 , 0 ) 重叠,若点 C ( 6 ,8 ) 与点 D ( m , n ) 重叠, 则 m ? n ? _______________; 13. 一个球与正四面体的六条棱都相切, 若正四面体的棱长为 a , 则这个球的体积为______; 14.集合 X 中的元素是正整数,且有性质:若 x ? X , 则 12 ? x ? X ,这样的集合 X 共有 _____________个。

三、解答题: (本大题 5 小题,共 66 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
15. (本小题满分 12 分)数列 { a n } 满足 a 1 ?
1 2 , a n ?1 ? a n ? a n , n ? N , b n ?
2

1 1 ? an



S n ? b 1 ? b 2 ? ? ? b n , Pn ? b 1 b 2 ? b n ,试求 2 Pn ? S n 的值。

16. (本小题满分 12 分)已知 D 是面积为 1 的三角形 ? ABC 的 边 AB 上的任意一点, E 是边 AC 上任意一点, 连结 DE ,F 是线段 DE 上的任意一点,设 且y? z? x ? 大值。
B C A

AD AB

? x,

AE AC

? y,

DF DE

? z,

E

1 2

, 试求三角形 BDF 的面积的最

D

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17. (本小题满分 12 分)过点 P ( 3 ? 2 2 , 4 ) 作一条直线和 x 轴、 y 轴 分别相交于 M 、 N 两 点,试求 OM ? ON ? MN 的最大值。 (其中 O 为坐标原点)

18. (本小题满分 16 分)若正数 a , b , c 满足

a b? c

?

b a ? c

?

c a ?b

求证

b a ? c

?

17 ? 1 4

19. (本小题满分 14 分)从岳阳到郴州的快速列车包括起始和终点共有六站,将这六站分别 记为 A,B,C,D,E,F,有一天张兵和其他 18 位旅客乘同一车厢离开岳阳,这些人中有些是湖北 人,其他的是湖南人,认识所有同车厢旅客的张兵观测到:除了终点站,在每一站,当火车 到达时这节车厢上的湖南人的数目与下车旅客的数目相同, 且这次行程中没有新的旅客进入 这节车厢。张兵又进一步观测到,当火车离开车站 B 时,车厢内有 12 名旅客;当火车离开 车站 D 时,还有 7 名旅客在这一车厢内;当他准备在 F 站下车时,还有 5 名旅客在这一车 厢内。 试问开始时火车的这一节车厢有多少湖北人, 有多少湖南人?且在旅途中这些数目如 何变化?

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2005 年湖南省数学竞赛试卷(参考答案)
一:选择题
1. B 2. B 提示:从原命题的等价命题逆否命题来考虑 提示:因为 f ( x ) ?
3 sin

?x
n

为奇函数,图象关于原点对称,所以圆 x ? y
2

2

? n

2

只要覆盖 f ( x ) 的一个最值点即可,令
P( n 2 , 3 ) ,由题意 n
2

?x
n

?

?
2

,解得 f ( x ) 距原点最近的一个最大点

n 2 2 ? ( ) ? ( 3 ) 得正整数 n 的最小值为 2 2
2 2 2

3.C 4. D

提示:由 2 a ? 2 c ? 4 b , a ? b ? c ,消去 b 得 3 a ? 5 c ,所以 e ?

c a

?

3 5

提 示 : 将 x ? 2 代 替 式 中 的 x , 则 有 f ( x) ? f ( x ? 4) ? f ( x ? 2) 于 是

f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ? 4 ) ,可得 f ( x ? 6 ) ? ? f ( x ) ,所以 f ( x ? 12 ) ? f ( x )

5.B 6. B

提示: C 1 : y ? f ( 2 ? x ) , C 2 : y ? f ([ 2 ? ( x ? 1)] ? f (1 ? x ) 提示:当 a ? 1, b ? 5 时, ( a ?
1 a )( b ? 1 b ) ? 10 . 4 ,而 ( a ?b 2 ? 2 a ?b )
2

?

100 9

? 104

7.C 提示:令 a ? b ? c ?

3 ,则答案为 4

8.A 提示:设第 n 辆车装货物 a n 箱,由题意得:a 1 ? a 5 ? ? a 2005 ,a 2 ? a 6 ? ? a 2002 … 实际象以 4 为周期的数列,答案为
2004 4 ? 34 ? 9 ? 17043

9.B 提示:由 2,3,5 的最小公倍数为 30,由 2,3,5 组成的棱长为 30 的正方体的一条 对角线穿过的长方体为整数个,所以由 2。3。5 组成棱长为 90 的正方体的一条对角线穿国 的小长方体的个数应为 3 的倍数,故答案为 B 10.C 提示:当 n =2 时,打开柜门需要的次数为 或已知每一位学生打开柜门的概率为
1? 1 n ? 2? 1 n ?? ? n? 1 n ? n ?1 2 1 n 3 2

,故答案为 C

,所以打开柜门次数的平均数(即数学期望)为

,故答案为 C

二、 填空题:
11.用换元法可得 f ( x ? 1) ? x ? x ? 9
2 4 2

12 . 可 解 得 对 称 轴 方 程 为 y ? 2 x ? 6 , 由
m ? 7 . 6 , n ? 7 , 2 ,所以 m ? n ? 14 . 8

n?8 2

? (6 ? m ) ? 6,

n?8 m ?6

? ?

1 2



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13.

2 24

?a , 提示: 可把正四面体变为正方体的内接正四面体, 此时正方体的棱长为
3

2 2

a

于是球的半径为

2 4

a ,V ?

2 24

?a

3

14.63 个 提示:记 Y ? {( 1,11 ), ( 2 ,10 ), ( 3 , 9 ), ( 4 ,8 ), ( 5 , 7 ), 6 } ,故满足条件的集合为
2 ? 1 ? 63 个
6

三、 解答题:
15.解:因为 a 1 ? 所以 b n ?
1 1 ? an ?

1 2

, a n ? 1 ? a n ? a n , n ? N ,所以 a n ? ? a ? n ? 0 , a n ? 1 ? a n ( a n ? 1)
2

an

2

?

a n ?1 ? a n a n a n?

?

1 an

?

1 a n ?1



a n a n ?1

Pn ? b 1 b 2 ? b n ?

a1 a2

?

a2 a3

?? ?

an a n ?1

?

1 2 a n ?1
1 a2 ?



S n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n ? (

1 a1 1

?

1 a2

)? (

1 a3

)?? ? (

1 an

?

1 a n ?1

) ? 2?

1 a n ?1



故 2 Pn ? S n ?

1 a n ?1

? (2 ?

) ? 2

a n ?1

16.解:连结 BE ,则三角形 BDF 的面积为
S ? BDF ? zS
? BDE

? z (1 ? x ) S ? ABE ? z (1 ? x ) yS
z ? (1 ? x ) ? y 3

? ABC

? z (1 ? x ) y
1 8 1 8

由均值不等式, z (1 ? x ) y ? [ 得 即x ? y ? z ?
1 2

] ?
3

, 当且仅当 z ? 1 ? x ? y , y ? z ? x ? 。

1 2

时等号成立,所以三角形 BDF 的面积的最大值为

17.解:过点 P ( 3 ? 2 2 , 4 ) 作一圆与 x 轴、 y 轴分别相切于点 A、B,且使点 P ( 3 ? 2 2 , 4 ) 在优弧 AB 上,则圆的方程为 ( x ? 3 ) ? ( y ? 3 ) ? 9 ,于是过点 P ( 3 ? 2 2 , 4 ) 作圆的切线
2 2

和 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 M 1 , N 1 两 点 , 圆 为 Rt ? OM 1 N 1 的 内 切 圆 , 故
OM
1

? ON

1

? M 1N1 ? 6

若过点 P 的直线 MN 不和圆相切,则作圆的平行于 MN 的切线和 x 轴、 y 轴分别相交于

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M 0 , N 0 两点,则 OM

0

? ON

0

? M 0N0 ? 6

由折线 M 0 MNN

0

的长大于 M 0 N 0 的长及切线长定理,得
0

OM ? ON ? MN ? ( OM ? ( OM ? ON

? MM

0

) ? ( ON

0

? NN

0

) ? MN )] ? OM ? ON ? M 0N0 ? 6

0

0

? M 0 N 0 ) ? [ M 0 N 0 ? ( M 0 M ? MN ? NN

0

0

0

所以, OM ? ON ? MN 的最大值为 6。 18.证明:由条件,有 则a ?
x? y z

b a ? c

?

c a ?b

?

a b? c

,令 a ? b ? x , b ? c ? y , c ? a ? z ; ,从而原条件可化为:
x? y z

x? z ? y 2
? y ? z x ?

,b ?

x? y ? z 2

,c ?
z y

y ? z ? x 2

z ? x y
1?

?1?

z x

?

?1?

4z x? y

? 1, 令

? t, 则

t ?

4 t

? 1 ,解得 t ?

17 2

或t ?

1? 2

17





b a ? c

?

x? y ? z 2z

?

t 2

?

1 2

?

17 ? 1 4

19.解:由条件得在 B 站有 7 人下车,即 19 个旅客中有 7 个湖南人,在 E 站有 2 人下车, 即在 D—E 途中有 2 位湖南人,C—D 中至少有 2 位湖南人,在 D 站至少有 2 人下车,所以 C 站后车厢内至少有 9 个人,又因为
12 ? 7 2 ? 2 ,所以 B—C 途中至少有 3 个湖南人,因此

经过 C 站后车厢内至多 9 人,故经过 C 站后车厢内有 9 人 综上所述,AB 段有 7 个湖南人,12 个湖北人,B 站有 4 个湖南人,3 个湖北人;C 站有 1 个 湖南人,2 个湖北人下车,D 站有 2 个湖北人下车,E 站有 2 个人下车。

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