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2013届高考数学压轴题练习10


高考数学压轴题练习 10
1 2 已知函数 f(x)=
1
a?x x
2

1 ? ? ? ln x ? a ? R , x ? [ , 2] ? 2 ? ?

(1)当 a ? [ ? 2, ) 时, 求 f ( x ) 的最大值;
4

(2) 设 g ( x ) ? [ f ( x ) ? ln x ] ? x 2 , k 是 g ( x ) 图象上不同两点的连线的斜率,否 存在实数 a ,使 得 k ? 1 恒成立?若存在,求 a 的取 值范围;若不存在,请说明理由.
[来源:Z+xx+k.Com]

[来源:学科网]

[来源:学§科§网]

[来源:学科网 ZXXK]

(2)存在 a ? ( ?? , 解:

7 4

] 符合条件

因 为 g ( x ) ? [ f ( x ) ? ln x ] ? x 2 = ax ? x 3

[来源:Z.xx.k.Com]

不妨设任意不同两点 p1 ( x1 , y1 ), p 2 ( x 2 , y 2 ) ,其中 x1 ?
k ? y1 ? y 2 x1 ? x 2
2

x2



?

a ( x1 ? x 2 ) ? ( x 2 ? x1 )
3 3

x1 ? x 2
2

? a ? ( x1 ? x1 x 2 ? x 2 )

由 k ? 1 知: a ? 1+ ( x12 ? x1 x 2 ? x 22 ) 又
1 4 ? x2 ? 4 故 a ?
2

7 4

故存在 a ? ( ?? ,

7 4

)

符合条件.…12 分
g ( x ) 图象上 总可以在找一点 P ( x 0 , y 0 ) 使以

解法 二: 据题意在 y ?

P 为切点的切线
2

平行图象上任意两点的连线,即存在 k ?
? a ? 1 ? 3 x0 ?
2

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) x1 ? x 2

? g '( x 0 ) ? a ? 3 x 0 ? 1

7 4

故存在 a ? ( ?? ,

7 4

)

符合条件.


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