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离散型随机变量及分布列


2014 届高考数学理科试题大冲关:离散型随机变量及分布列
一、选择题 1.某射手射击所得环数 X 的分布列为:

X P

4 0.02

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28

9 0.29
<

br />10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为( A.0.28 C.0.79 B.0.88 D.0.51

)

2.在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 C7C8 个村庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是( C15 A.P(X=2) C.P(X=4) B.P(X≤2) D.P(X≤4)
4 6

)

3.一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的,从盒中任取 3 个球来用,用完后 装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,则 P(X=4)的值为( A. C. 1 220 27 220 B. D. 27 55 21 25 )
[来源:学科网 ZXXK]

)

4.设随机变量 X 等可能取值 1,2,3,?,n,若 P(X<4)=0.3,则( A.n=3 C.n=9 B.n=4 D.n=10
[来源:学§科§网]

5.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为:

X P

-1

0 1-2q

1

0.5

q2

则 q 等于( A.1 C.1- 2 2

) B.1± D .1+ 2 2 2 2

6.随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=k)= 1 5 则 P( <X< )的值为( 2 2 A. C. 2 3 4 5 ) B. D. 3 4 5 6

c ,k=1,2,3,4,其中 c 是常数, k?k+1?

二、填空题 7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没 有抢到题的 队伍得 0 分,抢到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错误的扣 1 分(即得- 1 分). 若 X 是 甲队在该轮 比赛获胜时的得分(分数高者胜), 则 X 的所有可能取值是________. 8.设随机变量 X 的概率分布列如下表所示:

X P

0

1 1 3

2 1 6

A

F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)=________.
9.由于电脑故障,使得随机变量 X 的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其表 如下:

X P

1 0.20

2 0.10

3 0.x5
源:Zxxk.Com] [来

4 0.10

5 0.1y

6 0.20

则丢失的两个数据依次为______________. 三、解答题 10.一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正 四面体面朝下的数字分别为 x1,x2,记 ξ =(x1-3) +(x2-3) . (1)分别求出 ξ 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 ξ 的分布列.
2 2

11.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分 别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件产 品的测量数据: 编号 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

x y

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y 满足 x≥175 且 y≥75 时,该产品为优等品.用上述样本 数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上 述 5 件产品中, 随机抽取 2 件, 求抽取的 2 件产品中优等品数 ξ 的 分布列.

12. 某师范大学地理学院决定从 n 位优秀毕业生(包括 x 位女 学生, 3 位男学生)中选派 2 位学生到某贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师.每一位学生被派的机会是相同 的. 3 (1)若选派的 2 位学生中恰有 1 位女学生的概率为 ,试求出 n 与 x 的值; 5 (2)记 X 为选派的 2 位学生中女学生的人数,写出 X 的分布列.

详解答案 一、选择题 1.解析:P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+ P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.

答案:C 2.解析:15 个村庄中,7 个村庄交通不方便,8 个村庄交通方便,C7C8表示选出的 10 C7C8 个村庄中恰有 4 个交通不方便、6 个交通方便的村庄,故 P(X=4)= 10 . C15 答案:C C3C9 27 3.解析:由题意取出的 3 个球必为 2 个旧球 1 个新球,故 P(X=4)= 3 = . C12 220 答案:C 1 1 1 3 4.解析:P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3,
2 1 4 6 4 6

n n n n

∴n=10. 答案:D 5.解析:由分布列的性质得: 1-2q≥0 ? ? 2 ?q ≥0 ? ?0.5+1-2q+q2=1 2 . 2 1 0<q≤ , ? 2 ? ?? 2 ? ?q=1± 2 .

∴q=1- 答案:C

c c c c 5 6.解析:由题意,得 + + + =1,即 c= ,于是 2 6 12 20 4
1 5 c c 2 2 5 5 P( <X< )=P(X=1)+P(X=2)= + = c= × = . 2 2 2 6 3 3 4 6 答案:D 二、填空题
[来源:Zxxk.Com]

7.解析:甲获胜且获得最低分的情况是:甲抢到一题并回答错误,乙抢到两题并且都 回答错误,此时甲得-1 分,故 X 的所有可能取值为-1,0,1,2,3. 答案:-1,0,1,2,3 1 1 8.解析:∵a+ + =1, 3 6 1 ∴a= .∵x∈[1,2), 2 1 1 5 ∴F(x)=P(X≤x)= + = . 2 3 6 5 答案: 6

9.解析:由于 0.20+0.10+0.x5+0.10+0.1y+0.20=1, 得 0.x5+0.1y=0.4 0,于是两个数据分别为 2,5. 答案:2,5 三、解答题 10.解:(1 )掷出点数 x 可能是:1,2,3,4.则 x-3 分别得:-2,-1,0,1.于是(x-3) 的所有取值分别为:0,1,4.因此 ξ 的所有取值为:0,1,2,4,5,8. 1 1 1 2 2 当 x1=1 且 x2=1 时,ξ =(x1-3) +(x2-3) 可取得最大值 8,P(ξ =8)= × = ; 4 4 16 当 x1=3 且 x2=3 时,ξ =(x1-3) +(x2-3) 可取得最小值 0,
2 2 2

P(ξ =0)= × = .
(2)由(1)知 ξ 的所有取值为:0,1,2,4,5,8.

1 1 4 4

1 16

P(ξ =0)=P(ξ =8)= ;
4 当 ξ =1 时,(x1,x2)的所有取值为(2,3)、(4,3 )、(3,2)、(3,4).即 P(ξ =1)= ; 16 4 当 ξ =2 时,(x1,x2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4).即 P(ξ =2)= ; 16 当 ξ =4 时,(x1,x2)的所有取值为(1,3)、(3,1). 2 即 P(ξ =2)= ; 16 4 当 ξ =5 时,(x1,x2)的所有取值为(2,1)、(1,4)、(1,2)、(4,1).即 P(ξ =2)= . 16 所以 ξ 的分布列为: 1 ξ 0 2 4 5 8

1 16

P
[来源:学科网]

1 16

1 4

1 4

1 8

1 4

1 16

14 5 11.解:(1)设乙厂生产的产品数量为 m 件,依题意得 = ,∴m=35. 98 m 答:乙厂生产的产品数量为 35 件. (2)∵上述样本数据中满足 x≥175 且 y≥75 的只有 2 件, 2 ∴估计乙厂生产的优等品的数量为 35× =14 件. 5 (3)依题意,ξ 可取值 0,1,2,则

P(ξ =0)= 2= ,P(ξ =1)=
∴ξ 的分布列为 ξ

C3 C5

2

3 10

C2C3 3 C2 1 , 2 = ,P(ξ =2)= 2= C5 5 C5 10

1 1

2

0 3 10

1 3 5

2 1 10

P

12.解:(1)从 n 位优秀毕业学生中选派 2 位学生担任第三批顶岗实习教师的总结果数 为 Cn=
2

n?n-1?
2

,2 位学生中恰有 1 位女学生的结果数为 Cn-3C3=(n-3)×3.
1

1

1

Cn-3C3 ?n-3?×3 3 2 依题意可得 2 = = ,化简得 n -11n+30=0,解得 n1=5,n2=6. Cn n?n-1? 5 2 当 n=5 时,x=5-3=2;当 n=6 时,x=6-3=3, 故所求的值为?
?n=5 ? ? ?x=2 ? ?n=5 ?x=2 ?

1

或?

? ?n=6 ?x=3 ?

.
0 2

(2)当? 3 = , 10

C2C3 时, X 可能的取值为 0,1,2.X=0 表示只选派 2 位男生, 这时 P(X=0)= 2 C5

C2C3 3 X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)= 2 = , C5 5

1 1

X=2 表示选派 2 位女生,这时 P(X=2)= 2= . X 的分布列为: X P
0 3 10 1 3 5 2 1 10

C2 1 C5 10

2

? ?n=6 当? ?x=3 ?

C3C3 时, X 可能的取值为 0,1,2.X=0 表示只选派 2 位男生, 这时 P(X=0)= 2 = C6

2 0

1 , 5

X=1 表示选派 1 位男生与 1 位女生,这时 P(X=1)=

C3C3 3 2 = , C6 5

1 1

X=2 表示选派 2 位女生,这时 P(X=2)= X 的分布列为: X P
0 1 5

C3C3 1 2 = . C6 5

2 0

1 3 5

2 1 5


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