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四川省泸州市2014届高三第一次教学质量诊断性考试数学(文)试题(word版,含答案)


四川省泸州市 2014 届高三第一次教学质量诊断性考试数学 (文)试题(word 版,含答案)
一、选择题:本大题共有 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则 ? (M ? N ) = U A.{5,7} C.{1,3,5,6,7} 2. 下列命题中的假命题是 A. ?x ?R , 2x?1 ? 0 C. ?x ?R , lg x ? 1 3. 2 lg 2 ? lg
1 的值为 25

B.{2,4} D.{2,4,8} B. ?x ?N? , ( x ? 1)2 ? 0 D. ?x ?R , tan x ? 2

A.1 B.2 4.下列函数与 y ? x 相等的是 A. y ? ( 3 x )3 C. y ? ( x )2

C.3 B. y ?
x2 x

D.4

D. y ? x 2

???? ??? ? ??? 1 ??? ? ? ??? ? 5.△ABC 中,若 AD ? 2DB , CD ? CA ? ? CB ,则 ? =
1 A. 3

3 2 2 1 B. C. ? D. ? 3 3 3 2 6.若曲线 f ( x) ? x ( x ? 0) 在点 (a, f (a)) 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为 54,

则a? A.3

B.6

C.9

D.18 )的部分图象,其中 A,B 两点之
y 2 A 1 O -2 x

7.如图为函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 ? ? 0,0 ≤ ? ≤ 间的距离为 5 ,那么 f (?1)= A. ?
3 2

?
2

C. ?1

1 2 D. 1

B. ?

8.设数列 {an } 是首项大于零的等比数列,则“ a1 ? a2 ”是“数列 {an } 是递增数列”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

B

9.一支人数是 5 的倍数且不少于 1000 人的游行队伍,若按每横排 4 人编队,最后差 3 人; 若按每横排 3 人编队,最后差 2 人;若按每横排 2 人编队,最后差 1 人.则这只游行队 伍的最少人数是 A.1025 B.1035 C.1045
?? x ? 1,
2

D.1055
? 1≤ x ≤ 1

10.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? f (x ), f (x ) ? ?

?? | x ? 2 | ? 1, 1? x ≤ 3.

,若关于 x

的方程 f ( x) ? ax ? 0 有 5 个不同实根,则正实数 a 的取值范围是

A. ( , ) C. (16 ? 6 7, )
1 6

1 1 4 3

1 1 6 4 1 D. ( ,8 ? 2 15) 6

B. ( , )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.复数 (m2 ? 3m ? 2) ? (m2 ? 4)i ( i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 m 的值为 12. 等比数列 {an } 中, 若公比 q ? 4 , 且前 3 项之和等于 21, 则该数列的通项公式 an ? 13.使不等式 log a
3 ? 1 (其中 0 ? a ? 1 )成立的 a 的取值范围是 4

. .


1 x ? 1 ,则不等 2

14. 设函数 f ( x) 是定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 式 f ( x) ? x 的解集用区间表示为_________.

15 . 定 义 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 [a, b] 上 存 在 x0 (a ? x0 ? b) , 满 足
f ( x0 ) ? f (b )? f ( ) a , 则称函数 y ? f ( x) 是 [a, b] 上的“平均值函数”,x0 是它的一个均值点, b?a

如 y ? x 4 是 [?1,1] 上的平均值函数,0 就是它的均值点.现有函数 f ( x) ? ? x2 ? mx ? 1 是
[?1,1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小满分 12 分) 在一次数学统考后,某班随机抽取 10 名同学的成绩进行样本分析,获得成绩数据的茎 叶图如下. (Ⅰ)计算样本的平均成绩及方差; (Ⅱ)现从 80 分以上的样本中随机抽出 2 名学生,求抽出的 2 名学生的成绩分别在 [80,90) 、 [90,100] 上的概率.

17. (本小满分 12 分) (本小题满分 12 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 6 , S10 ? 110 .设数列 {bn } 前 n 项和为 Tn ,且
Tn ? 1 ? ( 2 an ) ,求数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和公式. 2

18. 在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,满足 a2 ? b2 ? c2 ? ab ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若
??? ??? ? ? sin C 2c ,且 AB?BC ? ?8 ,求△ABC 的面积. ? cos A sin B b

19. (本小满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? 4 x3 ? 3x2 sin ? ?

1 ,其中 x ? R , ? ? (0, ? ) . 32

3 (Ⅰ)若 f ?( x) 的最小值为 ? ,试判断函数 f ( x) 的零点个数,并说明理由; 4 (Ⅱ)若函数 f ( x) 的极小值大于零,求 ? 的取值范围.

20. (本小满分 12 分) 设平面向量 a ? ( 3 sin(? ? x), 2cos x) , b ? (?2cos x,cos x) ,已知函数 f ( x) ? a ? b ? m 在 ? [0, ] 上的最大值为 6. 2 (Ⅰ)求实数 m 的值; ? ? 26 (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? , x0 ? [ , ] .求 cos 2x0 的值. 4 2 5

21. (本小满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?
a ? x ? ( a ? 1) ln x ? 15a , F ( x) ? 2 x3 ? 3(2a ? 3) x 2 ? 12(a ? 1) x ? 12a ? 2 ,其 x

中 a ? 0 且 a ? ?1 . (Ⅰ) 当 a ? ?2 ,求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 若 x ? ?1 时,函数 F ( x) 有极值,求函数 F ( x) 图象的对称中心的坐标; (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ?
? F ( x), ? f ( x), x ≤1, x ? 1.

( e 是自然对数的底数) ,是否存在 a 使 g ( x) 在 [a, ?a]

上为减函数,若存在,求实数 a 的范围;若不存在,请说明理由.

一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 B 6 B 7 C 8 A 9 C 1 0 D

二、填空题 11.1; 三、解答题 16.解: (Ⅰ)样本的平均成绩 x ? 方差 s 2 ?
92 ? 98 ? 98 ? 85 ? 85 ? 74 ? 74 ? 74 ? 60 ? 60 ··· 2 ··· ? 80 , ···· 分 10

12. an ? 4n ?1 ;

3 13. (0, ) ; 4

14. (??, ?2) ? (0, 2) ;

15. (0, 2) .

1 [(92 ? 80)2 ? (98 ? 80)2 ? (98 ? 80)2 ? (85 ? 80) 2 10

?(85 ? 80)2 ?(74 ? 80)2 ? (74 ? 80)2

··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 4 ?(74 ? 80)2 ? (60 ? 80)2 ? (60 ? 80)2 ] ······················· 分 ··········· ·········· ··········· ···· 6 ·········· ··········· ··········· ···· ? 175 ; ····································· 分 (Ⅱ)从 80 分以上的样本中随机抽出 2 名学生,共有 10 种不同的抽取方法, ··· 分 ··· ·· 8 而抽出的 2 名学生的分数分别在 [80,90) , [90,100] 上共有 6 中不同的抽取方法, 因此所求的概率为
6 3 ··········· ·········· ···· ·········· ··········· ···· ? . ························· 12 分 10 5

17.解:设等差数列 {an } 的公差为 d , ··········· ·········· ····· 2 ·········· ··········· ····· ∵ a1 ? 2d ? 6 , 2a1 ? 9d ? 22 , ··························· 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· · 4 ∴ a1 ? 2 , d ? 2 , ·································· 分 ··········· ······ ·········· ······ 6 所以数列 {an } 的通项公式 an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ; ················· 分
2 an 2 1 ) ? 2 ? ( ) 2 n ? 2 ? ( ) n , ··········· ········· 7 分 ··········· ········· ·········· ·········· 2 2 2 2 3 当 n ? 1 时, b1 ? T1 ? 2 ? ( )2 ? , ························ 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 8 2 2 1 1 1 当 n ≥ 2 时, bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2 ? ( )n ? 2 ? ( )n ?1 ? ( )n , ··············10 分 ··········· ··· ·········· ··· 2 2 2 1 且 n ? 1 时不满足 bn ? ( )n , ···························· 分 ··························· 11 ·········· ··········· ······ 2 ?3 n ?1 ?2 ? 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? ? .12 分 ?( 1 ) n n ≥ 2 ? 2 ?

因为 Tn ? 2 ? (

18.解:(Ⅰ) (Ⅰ)因为 a2 ? b2 ? c2 ? ab ? 0 , 所以 a2 ? b2 ? c2 ? ab , ····························· 分 ··········· ·········· ······· 1 ·········· ··········· ·······

所以 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 ab 1 ··········· ·········· · ·········· ··········· 3 ? ? , ··········· ··········· 分 2ab 2ab 2

因为 0 ? C ? ? , ································ 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ·········· 5 所以 C ? (Ⅱ)由
π ; ··········· ··········· ·········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· · 6 ·········· ··········· ··········· · 3

sin C 2c 正弦定理得: ? cos Asin B b c 2c , ··········· ··········· ·········· · 7 分 ··········· ·········· ··········· · ·········· ··········· ··········· · ? b cos A b 1 ··········· ·········· ··········· ·· 8 ·········· ··········· ··········· ·· cos A ? , ··································· 分 2 ∴ A ? 60? ,

∴△ABC 是等边三角形, ·························· 10 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· ??? ??? ? ? ? ∴ AB?BC ? c ? c ? cos120 ? ?8 , ∴ c ? 4 , ···································11 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 1 ·················· 12 ·········· ········ 所以△ABC 的面积 S ? c2 sin 60? ? 4 3 . ··················· 分 2 19.解: (I) f ?( x) ? 12 x2 ? 6 x sin ? , ····························· 分 ··········· ·········· ······· 1 ·········· ··········· ······· sin ? 3 当x? 时, f ?( x) 有最小值为 f ?( x) ? ? sin 2 ? , 4 4 3 2 3 2 所以 ? sin ? ? ? ,即 sin ? ? 1 , ······················ 分 ··········· ·········· 2 ·········· ··········· 4 4 因为 ? ? (0, ? ) ,所以 sin? ? 1 , ························ 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 3 所以 f ?( x) ? 12 x 2 ? 6 x , 1 1 所以 f ( x) 在 (0, ) 上是减函数,在 (??,0),( , ??) 上是增函数, ······· 分 ······ 4 ······ 2 2
1 1 7 ··········· ·········· 5 ·········· ··········· ? 0 , f ( ) ? ? ? 0 , ··········· ··········· 分 32 2 32 故函数 f ( x) 的零点个数有 3 个; ······················· 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · 6

而 f (0) ?

(Ⅱ)

sin ? , ·········· 7 分 ·········· ·········· 2 由 ? ? (0, ? ) 知 sin ? ? 0 ,根据(I) ,当 x 变化时, f ?( x) 的符号及 f ( x) 的变化情况如下表:
f ?( x) ? 12 x2 ? 6 x sin ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ?

x
f ?( x) f ( x)

(??,0)

0 0 极大值

(0,

sin ? ) 2

sin ? 2

(

sin ? , ??) 2

+ ↗

- ↘

0 极小值

+ ↗

sin ? sin ? 1 1 处取得极小值 f ( ······ ····· ) ? ? sin 3 ? ? , ······ 9 分 2 2 4 32 sin ? 1 1 1 要使 f ( ·········· 10 ·········· ) ? 0 ,必有 ? sin 3 ? ? ? 0 可得 0 ? sin ? ? , ··········· 分 2 2 4 32

因此,函数 f ( x) 在 x ?

? 5? 所以 ? 的取值范围是 ? ? (0, ) ? ( , ? ) . ·················· 分 ················· 12 ·········· ·······
6 6

20.解: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin(? ? x) ? (?2cos x) ? 2cos2 x ? m , ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 1 ? m , ·························· 2 分

··········· ·········· ······· 3 ·········· ··········· ······· ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? m , ····························· 分 6 ? ? ? 7? ∵ x ? [0, ], 2 x ? ? [ , ] , ························· 分 ··········· ·········· ··· 4 ·········· ··········· ··· 2 6 6 6 ? 1 ∴ 2sin(2 x ? ) ? [? ,1] 6 2 ∴ f ( x)max ? 2 ? 1 ? m ? 6 ,··························· 分 ··········· ·········· ······ ·········· ··········· ····· 5 ∴ m ? 3 ; ··········· ··········· ·········· ··· 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 6 ? (Ⅱ)因为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 4 ,
6 26 ? 26 ? 3 由 f ? x0 ? ? 得: 2sin(2 x0 ? ) ? 4 ? ,则 sin(2 x0 ? ) ? , ······· 7 分 ······· ······· 5 6 5 6 5 ? ? ? 2? 7? 因为 x0 ? [ , ] ,则 2 x0 ? ? [ , ] , ··················· 分 ··········· ········ ·········· ········ 8 4 2 6 3 6

?

? 因此 cos(2 x0 ? ) ? 0 ,
6

所以 cos(2 x0 ? ) ? ? , ···························· 分 ··········· ·········· ······ 9 ·········· ··········· ······
6

?

4 5

? ? 于是 cos 2 x0 ? cos[(2 x0 ? ) ? ] , ······················ 10 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· ·
6 6 ? cos(2 x0 ? ) cos ? sin(2 x0 ? )sin 6 6 6 6

?

?

?

?

4 3 3 1 3?4 3 . ··········· ··········· ··· 分 ························ 12 ·········· ··········· ··· ?? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 21.解:(Ⅰ) (Ⅰ) 当 a ? ?2 , 2 3 x 2 ? 3x ? 2 ,························ 1 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ··· f ?( x) ? 2 ? 1 ? ? x x x2 设 f ?( x) ? 0 ,即 x2 ? 3x ? 2 ? 0 ,

所以 x ? 1 ,或 x ? 2 , ····························· 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ······· 2 ··········· ·········· 4 ·········· ··········· f ( x) 单调增区间是 (0,1) , (2, ??) ;······················ 分 (Ⅱ) 当 x ? ?1 时,函数 F ( x) 有极值, 所以 F ?( x) ? 6 x 2 ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) , ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 5 3 且 F ?(?1) ? 0 ,即 a ? ? , ·························· 6 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ····· 2 所以 F ( x) ? 2 x3 ? 6 x ? 16 , F ( x) ? 2 x3 ? 6 x ? 16 的图象可由 F1 ( x) ? 2 x3 ? 6 x 的图象向下平移 16 个单位长度 得到,而 F1 ( x) ? 2 x3 ? 6 x 的图象关于(0,0)对称, ············ 7 分 ··········· · ·········· ·· 3 所以函数 F ( x) ? 2 x ? 6 x ? 16 的图象的对称中心坐标为 (0, ?16) ; ······ 8 分 ······ ······ (Ⅲ)假设存在 a 使 g ( x) 在 [a, ?a] 上为减函数, F ?( x) ? 6 x 2 ? 6(2a ? 3) x ? 12(a ? 1) , ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ ? 6( x ? 1)( x ? 2a ? 2) , ····························· 9 分 当 g ( x) 在 [a, ?a] 上为减函数,则 F ( x) 在 [a,1] 上为减函数, f ( x) 在 [1, ?a] 上为 减函数,且 F (1) ≥ f (1) ,则 a ≥ ?3 . ····················10 分 ··········· ········· ·········· ········· 由(Ⅰ)知当 a ? ?1 时, f ( x) 的单调减区间是 (1, ?a) , 1 (1)当 a ? ? 时, F ?( x) ? 6( x ? 1)2 ≥ 0 , F ( x) 在定义域上为增函数, 2 不合题意; ··································11 分 ··········· ·········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·

1 (2)当 a ? ? 时,由 F ?( x) ? 0 得:1 ? x ? 2a ? 2 , F ( x) 在 (??,1] 上为增函数,则 2 在 [a,1] 上也为增函数,也不合题意; ····················12 分 ··········· ········· ·········· ········· 1 (3)当 a ? ? 时,由 F ?( x) ? 0 得: 2a ? 2 ? x ? 1 , F ( x) 在 [2a ? 2,1] 上为减函数, 2 如果 g ( x) 在 [a, ?a] 上为减函数,则 F ( x) 在 [a,1] 上为减函数,则: ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· 2a ? 2 ? a ,所以 a ≤ ?2 . ··························13 分 综上所述,符合条件的 a 满足 [?3, ?2] .··················· 分 ·················· 14 ·········· ········


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