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2013华约、北约自主招生数学、物理试题及答案详解


2013“华约”自主招生试题
2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 100 分) 1.(10 分)集合 A ? {x | x ? 10, x ? N ? } , B 为 A 的子集,若集合 B 中元素满足以下条件:①任意数字都不相等;② 任意两个数之和不为 9 (1) B 中两位数有多少?三位数有多少? (2) B 中是否有五位数?六位数? (3)若将集合 B

的元素按从小到大的顺序排列,第 1081 个数为多少? 【解】将 0,1,2,…,9 这 10 个数字按照和为 9 进行配对,考虑(0,9),(1,8),(2,7),(3,6), (4,5), B 中元素的每个数位只能从上面五对数中每对至多取一个数构成. (1)两位数有 C5 ? 2 ? A2 ? C4 ? 2 ? 72 个;
2 2 2 1

三位数有 C5 ? 2 ? A3 ? C4 ? 2 ? A2 ? 432 个;
3 3 3 2 2 2

(2)存在五位数,只需从上述五个数对中每对取一个数即可构成符合条件的五位数;不存在六位数,由抽屉原 理易知,若存在,则至少要从一个数对中取出两个数,则该两个数字之和为 9,与 B 中任意一个元素的任意两个 数位的数字之和不等于矛盾,因此不存在六位数; (3)四位数共有 C5 ? 2 ? A4 ? C4 ? 2 ? A3 ? 1728 个,因此第 1081 个元素是四位数,且是第 577 个四位数,我
4 4 4 3 3 3

们考虑千位,千位为 1,2,3 的四位数有 3 ? C4 ? 2 ? A3 ? 576 个,因此第 1081 个元素是 4012.
3 3 3

1 1 , cos x ? cos y ? ,求 sin( x ? y) 与 cos( x ? y) 的值 3 5 208 1 1 【解】由 sin x ? sin y ? ……①, cos x ? cos y ? ……②,平方相加得 cos( x ? y ) ? ; 3 5 225
2.(15 分) sin x ? sin y ?

x? y x? y 1 cos ? ……③ 2 2 3 x? y x? y 1 x? y 3 由②式可得 ?2sin sin ? ……④,由③/④式得 tan ?? , 2 2 5 2 5 x? y 2 tan 15 2 也所以 sin( x ? y ) ? ? ? 即求. x? y 17 1 ? tan 2 2
另一方面由①可得 2sin

??? ??? ? ? 3.点 A 在 y ? kx 上,点 B 在 y ? ?kx 上,其中 k ? 0 , | OA | ? | OB |? 1 ? k 2 ,且 A、B 在 y 轴同侧.
(1)求 AB 中点 M 的轨迹 C ; (2)曲线 C 与 x 2 ? 2 py( p ? 0) 相切,求证:切点分别在两条定直线上,并求切线方程. 【解】(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , M ( x, y ) , 则 y1 ? kx1 , y2 ? ?kx2 , x ?
2

x1 ? x2 y ? y2 k ( x1 ? x2 ) , ,y? 1 ? 2 2 2
2 2

由 | OA | ? | OB |? k ? 1 得, x1 x2 ? 1 ,显然 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 4 ,

y2 2 于是得 x ? 2 ? 1(k ? 0) ,于是 AB 中点 M 的轨迹 C 是焦点为 (? k ? 1, 0) ,实轴长为 2 的双曲线. k
2

(2)将 x ? 2 py( p ? 0) 与 x ?
2

2

y2 ? 1(k ? 0) 联立得 y 2 ? 2 pk 2 y ? k 2 ? 0 , 2 k
2 4 2

由曲线 C 与抛物线相切,故 ? ? 4 p k ? 4k ? 0 ,即 pk ? 1 , 所以方程可化为 y ? 2ky ? k ? 0 ,即切点的纵从标均为 y ? k ,代入曲线 C 得
2 2

横坐标为 ? 2 即求.因此切点分别在定直线 x ? 两切点为 D( 2, k ), E (? 2, k ) ,又因为 y? ?

2, x ? ? 2 上,

x ,于是 p

在 D( 2, k ) 处的切线方程为 y ? k ?

2 2 1 ( x ? 2) ,即 y ? x? ; p p p 2 1 x? . p p

同理在 E ( ? 2, k ) 处的切线方程为 y ? ?

4. (15 分)7 个红球,8 个黑球,从中任取 4 个球. (1)求取出的球中恰有 1 个是红球的概率; (2)求所取出球中黑球个数 X 的分布列及期望 E ( X ) ; (3)若所取出的 4 个球颜色相同,求恰好全黑的概率; 【解】(1)由题知恰有一个红球的概率为
1 C7 C83 56 ? ; 4 C15 195

(2)易知 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,则由古典概型知, P ( X ? 0) ?

C74 5 ? , 4 C15 195

P ( X ? 1) ?

1 C7 C83 40 C 2C 2 84 C1C 3 56 ? , P ( X ? 2) ? 7 4 8 ? , P ( X ? 3) ? 7 4 8 ? , 4 C15 195 C15 195 C15 195

P( X ? 4) ?

C84 10 ? ,即 X 的分布列为: 4 C15 195

X
P
56 ? ? 4 195

0

1

2

3

4

所以其数学期望为

5 195

40 195

84 195

56 195

10 195

10 32 ? 195 15 8 32 (事实上由超几何分布期望公式可以直接得出期望为 EX ? 4 ? ? ,无须繁杂计算) 15 15 EX ? 0 ?
(3)取出四个球同色,全为黑色的概率为

5 40 ?1 ? ? 2 ? 195 195

84 ? ? 3 195

C84 2 ? 即求. 4 4 C7 ? C8 3
*

2 5. (15 分)数列 {an } 均为正数,且对任意 n ? N 满足 an ?1 ? can ? an (c ? 0 为常数).

(1) 求证:对任意正数 M ,存在 N ? N * ,当 n ? N 时有 an ? M ; (2)设 bn ?

1 1 , S n 是数列 {bn } 的前 n 项和,求证:对任意 d ? 0 ,存在 N ? N * ,当 n ? N 时, 0 ?| Sn ? |? d . can ? 1 ca1
*

2 【证明】:(1)因为对任意的 n ? N 满足 an ? 0 ,所以 an ?1 ? can ? an ? an ,又因为 c ? 0 ,

所以 an ?1 ? an ? c(an ? an ?1 ) ? an ? an ?1 ? an ? an ?1 ? ? ? a2 ? a1 ,
2 2

所以 an ? an ? an ?1 ? an ?1 ? an ?2 ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (n ? 1)(a2 ? a1 ) ? (n ? 1)a1 故对任意的正整数 M ,存在 N ? {1,[

2

M ] ? 2} ? N * ,当 n ? N 时有 an ? M ; a12

(注: ?

?M ? M 表示不超过 2 的最大正整数.) 2 ? a1 ? a1 ?
2

(2)由 an ?1 ? can ? an ? an (can ? 1) 可得,

a 1 ? n , can ? 1 an ?1

所以

2 can a ?a 1 1 1 ? ? n ?1 n ? ? ; can ? 1 can an ?1 can an ?1 can can ?1

也所以 S n ?

? b ? ca
i ?1 i
2

n

1

?

1

1 1 1 ? ?0 ,即 S n ? ca1 can ?1 can ?1

且由(1)知 an ?1 ? na1 ,所以

1 1 ? , can ?1 nca12
? ? 1 ?? ? ? 1 ,当 n ? N 时,有 0 ?| Sn ? |? d . 2 ?? ca1 ? ? dca1 ? ? ? ?

即对任意 d ? 0 ,存在 N ? max ?1, ?

6. (15 分)已知 x, y, z 是互不相等的正整数, xyz | ( xy ? 1)( xz ? 1)( yz ? 1) ,求 x, y, z . 【解】本题等价于求使

( xy ? 1)( xz ? 1)( yz ? 1) xy ? yz ? zx ? 1 为整数的正整数 x, y, z ,由 ? xyz ? ( x ? y ? z ) ? xyz xyz

于 x, y, z 是 互 不 相 等 的 正 整 数 , 因 此 xyz | xy ? yz ? zx ? 1 , 不 失 一 般 性 不 妨 设 x ? y ? z , 则

xyz ? xy ? yz ? zx ? 1 ? 3 yx ,于是 z ? 3 ,结合 z 为正整数,故 z ? 1, 2 ,
当 z ? 1时, xy | xy ? y ? x ? 1 ,即 xy | y ? x ? 1 ,于是 xy ? xy ? y ? x ? 1 ? 2 x ,所以 y ? 2 , 但另一方面 y ? z ,且为正整数,所以 y ? 2 矛盾,不合题意. 所以 z ? 2 ,此时 2 xy | xy ? 2 y ? 2x ?1 ,于是 2 xy ? xy ? 2 y ? 2 x ? 1 ,即 xy ? 2 y ? 2 x ? 1 ,

也所以 xy ? 2 y ? 2 x ? 4 x ,所以 y ? 4 ,又因为 y ? z ? 2 ,所以 y ? 3 ; 于是 6 x | 5x ? 5 ,所以 6 x ? 5 x ? 5 ,即 x ? 5 ,又因为 x ? y ? 3 ,所以 x ? 4,5 , 经检验 x ? 5 符合题意,于是符合题意的正整数 x, y, z 有

( x, y, z ) =(2,3,5)、(2,5,3)、(3,2,5)、(3,5,2)、(5,2,3)、(5,3,2)
注:该题与 2011 年福建省高一数学竞赛试题雷同. 7. (15 分)已知 f ( x) ? (1 ? x)e x ? 1 求证:(1)当 x ? 0 , f ( x) ? 0 ; (2)数列 { xn } 满足 xn e xn?1 ? e xn ? 1, x1 ? 1 ,求证:数列 {xn } 单调递减且 xn ?
x

1 . 2n

【解】(1)当 x ? 0 时, f ?( x) ? ? xe ? 0 ,所以 f ( x) 在 (0, ??) 上递减,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 .

(2)由 xn e

xn?1

? e ?1 得 e
xn

xn?1

e xn ? 1 x ? ,结合 x1 ? 1 ,及对任意 x ? 0, e ? x ? 1 ,利用数学归纳法易得 xn ? 0 对 xn
x x

任意正整数 n 成立,由(1)知 f ( xn ) ? 0 ,即 e n ? 1 ? xn e n , 即 xn e
xn?1

? xn e xn ,因为 xn ? 0 ,所以 e xn?1 ? e xn ,即 xn ? xn ?1 ,所以数列 { xn } 递减,

下面证明 xn ?

ex ?1 xe x ? e x ? 1 f ( x) 1 ?? 2 , ,用数学归纳法证,设 g ( x) ? ,则 g ?( x) ? 2 n x x x 2

由(1)知当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (0, ??) 递增,由归纳假设 xn ?

1 2n

1 1 n?1 n?1 得 g ( xn ) ? g ( n ) ,要证明 xn ?1 ? n ?1 只需证明 e xn?1 ? e 2 ,即 g ( xn ) ? e 2 , 2 2
x x x 1 2 2n?1 2 ,因为当 故只需证明 g ( n ) ? e ,考虑函数 h( x) ? xg ( x) ? xe x ? 0 时 e ? ?1 , 2 2
x x x

1

1

1

所以 h( x) ? e ? (1 ? )e 2 ? e 2 [e 2 ? (1 ? )] ? 0 ,故 h( x ) 在 (0, ??) 上递增,又
x

x 2

x 2

1 ?0, 2n

所以 h(

1 1 1 n?1 ) ? 0 ,即 g ( n ) ? e 2 ,由归纳法知, xn ? n 对任意正整数 n 成立. n 2 2 2

1

注:此题的函数模型与 2012 年清华大学保送生考试试题的函数模型相似.

2013“北约”自主招生试题
2013-03-16 (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(每题 8 分,共 48 分) 1.以 2 和 1 ? 3 2 为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( A. 2 B. ) D.

3

C.

5

6

【解】由 x1 ? 2 ,可知 x 2 ? 2 ,同理由 1 ? 3 2 ? x 可知 (1 ? x)3 ? 2 ; 所以方程 ( x 2 ? 2)[(1 ? x)3 ? 2] ? 0 的次数最小,其次数为 5,故选 C. 2.在 6 ? 6 的表中停放 3 辆完全相同的红色和 3 辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占 一格,共有 种停放方法. A. 720 B. C. D. 20 518400 14400 【解】红色车选 3 列有 C63 ? 20 种方法,再从这三列中选三行有 C63 ? 20 种方法,另外将红色车放在已选好的 三列三行中有 3 ? 2 ? 6 种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有 3 ? 2 ? 6 种方法,因此方 法数有 (20 ? 20 ? 6) ? 6 ? 14400 种.故选 D. 3.已知 x2 ? 2 y ? 5 , y 2 ? 2 x ? 5 ( x ? y ),则 x3 ? 2 x 2 y 2 ? y 3 值为( A. ) D.

?10

B.

?12

C.

?14

?16

【解】由 x2 ? 2 y ? 5 与 y 2 ? 2 x ? 5 两式作差得 x ? y ? ?2( x ? y) ,代入两式中分别化出 、 x2 ? 2x ? 1? 0 y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以 x, y 是方程 t 2 ? 2t ? 1 ? 0 的两个不等实根,于是 ,也所以 x? y? ?, xy? ? 2 1
2 2 x3 ? 2 x2 y 2 ? y3 ?( x? )y[ ( x y ? 3 x y 2 ( x y ? ? 2 ) ? .故选 D. 6 ? ) ]? ) ( ? 7 ? ? 1 2

4.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 2 ( n ? 1 ),则 a2013 值为( A.

) D. 无法确定

3019 ? 22012

B.

3019 ? 22013

C.

3018 ? 22012

【解】由 a1 ? 1 , Sn?1 ? 4an ? 2 ( n ? 1 )……①可知, 当 n ? 1 时, S2 ? 4a1 ? 2 ,所以 a2 ? 5 ; 当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2(n ? 2) ……②,由①-②式得,

an ?1 ? 4an ? 4an ?1 (n ? 2) ,即 an ?1 ? 2an ? 2(an ? an ?1 )(n ? 2) ,且 a2 ? 2a1 ? 3
所以 an ?1 ? 2an ? 3 ? 2n ?1 ( n ? N * ),同除以 2 n 得, 所以

an ?1 an a 3 ? n ?1 ? ,且 1 ? 1 ; n 2 2 2 20

an ?1 3 ? 1 ? n ,故令 n ? 2012 时,得 a2013 ? 22012 ? 3019 ,故选 A. n 2 2 5.在 ?ABC 中, D 为 BC 中点, DM 平分 ?ADB 交 AB 于点 M , DN 平分 ?ADC 交 AC 于 N ,则 BM ? CN 与
B M D

MN 的关系为( ) A. BM ? CN ? MN B. MN ? CN ? MN C. BM ? CN ? MN D.无法确定 【解】如图,在 DA 取 DE ? DB ,连接 ME, NE, MN B 则显然可证 ME ? MB, EN ? NC , M 且有 ME ? NE ? MN ,即 BM ? CN ? MN , 上述不等式当且仅当 ?MED ? ?DEN ? 180? , E 也即 ?B ? ?C ? 180? , A 这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选 A. BC ? AC ? AB 6.模长都为 1 的复数 A, B, C 满足 A ? B ? C ? 0 ,则 的模长为( A? B ?C 1 A. B. C. D. 无法确定 ? 1 2 2
【解】由题知 AA ? BB ? CC ? 1 ,所以

D

N

C

)

BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB ? ? , A? B ?C A? B ?C A? B ?C
2

也即

BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB BC ? AC ? AB ? ? A? B ?C A? B ?C A? B ?C
2

?

3 ? B A ? C A ? AB ? CB ? AC ? BC ? 1 ,故选 B. 3 ? AB ? AC ? B A ? BC ? C A ? CB

二、解答题(每题 18 分,共 72 分) 7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论. 【解】:至多有 4 个.首先可以取 1,3,7,9 这四个数,它们任意三个数之和分别为 11,13,17,19 符合质数定义.下 面再证明 5 个正整数是不符合题意的. 若有 5 个正整数,则考虑质数被 3 除的余数,如果有一个数的余数为 0,那么考虑余下的 4 个数被 3 除的 余数,如果余数既有 1 也有 2,那么这两个数与前面余数为 0 的数的和刚好为 3 的倍数,故不符合题意,如果余 下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为 3 的倍数不是质数,也不符合题意, 如果这 5 个数被 3 除的余数都不等于 3,则由抽屉原理,至少有 3 个数被 3 除的余数相同,这三个数的和是 3 的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在 5 个正整数符合题意,即至多有 4 个正整数符合题意. 8.已知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,且 | a1 ? 2a2 |?| a2 ? 2a3 |? ? ?| a2013 ? 2a1 | 证明: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 . 【证明】:观察可知 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 , 即 (2a2 ? a1 ) ? (2a3 ? a2 ) ? ? ? (2a2013 ? a2012 ) ? (2a1 ? a2013 ) ? 0 ……① 又 | a1 ? 2a2 |?| a2 ? 2a3 |? ? ?| a2013 ? 2a1 | ,不妨设 | a1 ? 2a2 |? t ,

则①可写为 kt ? (2013 ? k )t ? 0(0 ? k ? 2013, k ? N ) ,即 (2k ? 2013)t ? 0 , 又显然 2k ? 2013 ? 0 ,则有 t ? 0 ,于是有

a1 ? 2a2 , a2 ? 2a3 ,?, a2012 ? 2a2013 , a2013 ? 2a1 ,所以 a1 ? 22013 a1 ,即 a1 ? 0 .
也所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2013 ? 0 ,即证. 9.对于任意 ? ,求 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 的值. 【解】 32cos6 ? ? cos6? ? 6cos 4? ? 15cos 2? 1 ? c o s?2 3 ?32( )? c o s 6 ? ? 6 ? o? 4 c s 1?5 c o s 2 2

? 4 ( 1? c 3 s 2 o? ? ? 4 ?1 2 c 2 s 2 o? ?

3cos 2 ? ?

2

3?c o ? 2 3) ?( 3 c o s ? s ? 2

? 4 c o s 2 ? ) 2 6 c?o s 4 ? 10

15 cos

6 c o s 4 ? 4 ?6 ( 1 c ? s 4 ?) ? ? ? o

即求. ?cos 4 6

10.有一个 m ? n 的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重新排列,则新的数 表中每一行的数满足什么样的关系?请证明你的结论. 〖原题叙述〗:已知有 m ? n 个实数,排列成 m ? n 阶数阵,记作 {aij }m?n ,使得数阵中的每一行从左到右都是递增 的,即对意的 i ? 1, 2,3,? ,m ,当 j1 ? j2 时,都有 aij1 ? aij2 .现将 {aij }m?n 的每一列原有的各数按照从上到下递增

? 的顺序排列,形成一个新的 m ? n 阶数阵,记作 {aij }m?n ,即对任意的 i ? 1,2,3,?, n ,当 i1 ? i2 时,都有 ai? j ? ai?2 j .试 1 ? 判断 {aij }m?n 中每一行的 n 个数的大小关系,并说明理由. ? 【解】:数阵 {aij }m?n 中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,理由如下: ? 显然,我们要证明数阵 {aij }m?n 中每一行的 n 个数从左到右都是递增的,我们只需证明,
? 对于任意 i ? 1,2,3,?, m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,其中 j ? 1,2,3,?,(n ? 1) .
? 若存在一组 a? ? a? ( q ?1) ,令 ak ( q ?1) ? aik ( q ?1) ,其中 k ? 1,2,3,?, m,{i1 , i2 ,?, ik } ? {1,2,?, m} , pq p
则当 t ? p 时,都有 ait q ? ait ( q ?1) ? at?( q ?1) ? a? ( q ?1) ? a? .也即在 aiq (i ? 1,2,?, m) 中,至少有 p 个数小于 a? ,也 p pq pq

? 即 a? 在数阵 {aij }m?n 中的第 q 列中,至少排在第 p ? 1 行,与 a? 排在第 p 行矛盾. pq pq ? ? 所以对于任意的 i ? 1,2,?, m ,都有 aij ? ai?( j ?1) ,即数阵 {aij }m?n 中每一行的 n 个数从左到右都是递增的.

2013 年高水平大学(华约)自主选拔学业能力测试 物理探究
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 本试卷共七大题,满分 100 分。解答应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。 一、 (15 分) (1)质量约 1T 的汽车在 10s 内由静止加速到 60km/h。如果不计阻力,发动机的平均输出功 率约为多大? (2)汽车速度较高时,空气阻力不能忽略。将汽车简化为横截面积约 1m2 的长方体,并以此模型估算汽 车以 60km/h 行驶时为克服空气阻力所增加的功率。已知空气密度 ρ=1.3kg/m3。 (3)数据表明,上述汽车所受阻力与速度平方的关系如图所示。假定除空气阻力外,汽车行驶所受的其 它阻力与速度无关,估计其它阻力总的大小。

二、 (10 分)核聚变发电有望提供人类需要的丰富清洁能源。氢核聚变可以简化为 4 个氢核 ( 1 H )聚变 生成氦核( 2 He ) ,并放出 2 个正电子( 1 e )和 2 个中微子( 0 ve ) 。 (1)写出氢核聚变反应方程; (2)计算氢聚变生成一个氦核所释放的能量; (3)计算 1kg 氢完全聚变所释放的能量;它相当于多少质量的煤完全燃烧放出的能量? (1kg 煤完全燃烧放出的能量约为 3.7× 7 J)。 10 已知:m( 1 H )=1.6726216× -27kg,m( 2 He )=6.646477× -27kg, 10 10 m( 1 e )=9.109382× -31kg,m( 0 ve )≈0,c=2.99792458× 8m/s。 10 10
0
0

1

4

0

0

1

4

三、(15 分)明理同学平时注意锻炼身体,力量较大,最多能提起 m=50kg 的物体。一重物放置在倾角 θ=15° 的粗糙斜坡上,重物与斜坡间的摩擦因数为 μ=

3 ≈0.58。试求该同学向上拉动的重物质量 M 的最大值? 3

四、(15 分)如图,电阻为 R 的长直螺线管,其两端通过电阻可忽略的导线相连接。一个质量为 m 的小条形 磁铁从静止开始落入其中,经过一段距离后以速度 v 做匀速运动。假设小磁铁在下落过程中始终沿螺线管 的轴线运动且无翻转。 (1)定性分析说明:小磁铁的磁性越强,最后匀速运动的速度就越小; (2)小磁铁做匀速运动时在回路中产生的感应电动势约为多少?

五、(10 分)自行车胎打足气后骑着很轻快。由于慢撒气——缓慢漏气,车胎内气压下降了四分之一。求漏 掉气体占原来气体的比例 η。假设漏气过程是绝热的,一定质量的气体,在绝热过程中其压强 p 和体积 v 满足关系 pvγ=常量,式中参数 γ 是与胎内气体有关的常数。

六、(15 分)如图所示,在光学用直导轨型支架上,半径为 R 的球面反射镜放置在焦距为 f 的凸透镜右侧, 其中心位于凸透镜的光轴上,并可沿凸透镜的光轴左右调节。 (1)固定凸透镜与反射镜之间的距离 l,将一点光源放置于凸透镜的左侧光轴上,调节光源在光轴上的 位置,使该光源的光线经凸透镜——反射镜——凸透镜后,成实像于点光源处。问该点光源与凸透镜之间 的距离 d 可能是多少? (2)根据(1)的结果,若固定距离 d,调节 l 以实现同样的实验目的,则 l 的调节范围是多少?

七、(20 分)“顿牟缀芥”是两干多年前我国古人对摩擦起电现象的观察记录,经摩擦后带电的琥珀能吸起小 物体。现用下述模型分析探究。 在某处固定一个电荷量为 Q 的点电荷,在其正下方 h 处有一个原子。在点电荷产生的电场(场强为 E)作用 下,原子的负电荷中心与正电荷中心会分开很小的距离 l,形成电偶极子。描述电偶极子特征的物理量称 为电偶极矩 p,p=ql,这里 q 为原子核的电荷。实验显示,p=αE,α 为原子的极化系数,反映其极化的难 易程度。被极化的原子与点电荷之间产生作用力 F。在一定条件下,原子会被点电荷“缀”上去。 (1)F 是吸引力还是排斥力?简要说明理由; (2)若固定点电荷的电荷量增加一倍,力 F 如何变化,即求

F( 2 Q ) F(Q)

的值; 的值。

(3)若原子与点电荷间的距离减小一半,力 F 如何变化,即求

F( h / 2 ) F( h )

2013 年高水平大学自主选拔学业能力测试 物理探究答案及评分参考
评分说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分参考制订相应的评分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现计算错误而影响后继部分的结果时,原则上不重复扣分, 最后的结果不给分。 一、本题共 15 分。 (1)假设汽车启动时做匀加速运动,根据匀加速运动规律有

a?

v t



F=ma ② 在不计阻力的情况下,汽车的平均功率为

p?

1 Fv 2



联立①②③式并代入数据解得 P=1.4 × 4 W 10 ④ (2)假设汽车的截面积为 A,当汽车以一定速度运动时,将推动前方的空气使之获得相应的速度,则在 Δt 时间内,车前方以 A 为底、vΔt 为高的柱形空气获得的动能为

1 1 Ek ? mv 2 ? ?Av?t ? v 2 2 2
p? ?Ek 1 ? ?Av3 ?t 2




为使该空气柱在 Δt 时间内获得上述动能,车需增加的功率为

根据已知条件,车的截面积约为 1 m2,代入上式解得 P=3× 3 W 10 ⑦ (3)当汽车匀速运动时,牵引力与阻力平衡,由图可知 F=kv2+f 式中 F 为牵引力,f 为除空气阻力外的其它阻力之和,外推图线得 f=125 N 评分参考:第(1)问 4 分,①②③④式各 1 分; 第(2)问 7 分,⑤⑥式各 3 分,⑦式 1 分; 第(3)问 4 分。 二、本题共 10 分。 (1)4 1 H → 2 He +2 1 e +2 0 ve (2)一次反应中的质量亏损为
1 4 0
0

?m ? 4m(1 H ) ? m( 4H ) ? 2m( 0 e ) ①
1 2 e 1

相应放出能量为 △E=△mc2② 联立①②式并代入数据解得 △E=3.79× -12J 10 (3)1 kg 氢完全反应能放出能量

E?
代入数据得

1k g ? ?mc 2 ③ 4m(1 H )
1

E=5.67× 14 J④ 10 相当于完全燃烧的煤的质量约为

M=

5.67 ? 1014 =1.5× 7 kg 10 3.7 ? 10 7



评分参考:第(1)问 2 分;第(2)问 4 分;第(3)问 4 分,其中③式 2 分。 数值结果只要数量级正确即给分。 三、本题共 1 5 分。 设该同学拉动重物的力 F 的方向与斜面成角度 φ,根据力的平衡,在垂直于斜面的方向上有 FN+F sin φ-Mg cosθ=0 ① 式中 FN 是斜面对重物的支持力,其大小等于重物对斜面的正压力。 沿斜面的方向上有 Fcosφ-μFN- Mg sinθ=Ma ② 根据题意,重物刚能被拉动,加速度 a 近似为零,由牛顿运动定律 Fcosφ-μFN- Mg sinθ=0 ③ 联立①③式得

M?
令 ? ? tan ? ⑤ 联立④⑤式得

F cos? ? ? sin ? ④ ? g ? cos? ? sin?

M?

F cos(? ? ? ) ⑥ ? g sin(? ? ?)

要使质量最大,分子须取最大值,即 此时能拉动的重物的质量的最大值为

cos(? ? ? ) ? 1 , ? ? ? ⑦
M max ? F 1 ⑧ ? g sin(? ? ?)
3 , ? ? 30? ⑨ 3

由题给数据,知

tan ? ?

于是该同学能拉动的重物质量不超过 Mmax,有

M ? M max ?

mg 1 ? ? 2m ? 70.7kg ⑩ g sin(30? ? 15?)

评分参考:①②式各 3 分,得到⑦式 5 分,得到⑩式 4 分。 四、本题共 15 分。 (1)根据楞次定律,小磁铁的磁性越强,通过导线环的磁通量越大,因此下落过程中在导线环中产生的 感应电流越大,这些感应电流产生的磁场也越强,从而对小磁铁的阻碍也 越大,小磁铁向下运动的加速 度越小,因此其极限速度就越小。 (2)设小磁铁做匀速运动时,下落距离 h,在此过程中有 mgh≈Q ① 式中 Q 为小磁铁下落时在螺线管中产生的焦耳热,其大小为

Q?

E2 ?t R E2 h ? R v



式中 E 是感应电动势,Δt 是小磁铁通过距离 h 所需的时间。由于小磁铁匀速运动,因此有

mgh ?
联立①②③式得



E ? mgRv



评分参考:第(1)问 5 分:第(2)问 1 0 分,①式 4 分,②式 3 分,③式 2 分,④式 1 分。 五、本题共 10 分。

解法一:设原来气体压强为 p、体积为 V。绝热膨胀漏气后气体压强变为 p/,体积为 V/。根据题意有 P/=(1—1/4)p=3p/4① 漏气过程绝热,则有

p pV =p V 或 V ? ( / ) ? V ② p
γ / /γ
/

1

因此,漏出气体占原来气体的比例为

??

V / ?V V P/ 3 ? 1 ? / ? 1 ? ( )? ? 1 ? ( )? ③ / V V P 4

1

1

评分参考:②③式各 5 分。 解法二:设胎内原来气体质量为 m、压强为 P、体积为 V。漏气后变为质量 m/,压强 p/=3p/4,体积仍 为 V。 漏气过程绝热,可以设想,漏气前质量为 m/的气体占有体积 V1 ? 胎体积 V。于是有

m/ V ,经绝热过程而膨胀到整个轮 m

p(
由此得

m/ ? V ) ? p /V ? ① m
1 1

m/ p/ ? 3 ? ( ) ? ( )? ② m p 4
漏出气体占原有气体的比例为

m ? m/ m/ 3 ?? ?1? ? 1 ? ( )? ③ m m 4
评分参考:①②式各 3 分,③式 4 分。 六、本题共 15 分。 (1)可分下列三种情况讨论: 第一种情况:通过调节光源与透镜之间的 d 值(d>f),如右图所示。当 v+R=l 即:由光源发出的任意光线穿过透镜后,点光源成实像于透镜右侧光轴上的 C 点,而 C 点正好处在反射镜 的球心位置上,光线会沿反射镜的半径方向入射到它上面,并将沿同一路径 反射回去,所有这样的光线 都将会聚于光源所在点。由

1

解得

1 1 1 ? ? d v f fv f (l ? R) d? ? v? f l?R? f

第二种情况:调节左侧光源与透镜之间的 d 值(d<f),如右图所示。 当 v+R=l,v<0 即:由点光源发出的光线穿过透镜后,点光源成虚像于透镜左侧光轴上的 C 点,而 C 点正好处在反射 镜的球心位置上,光线会沿反射镜的半径方向入射到它上面,并将沿同一路径反射回去,所有这样的光线 都将会聚于光源所在点。由

1 1 1 ? ? d v f
解得

d?

fv f (l ? R) f (R ? l) ? ? v? f l ? R? f R? f ?l

第三种情况:如正好有条件 R=l,调节左侧光源与透镜之间的 d 值(d>f),右图所示。 当 V=R=l

即:由点光源发出的光线通过透镜后,点光源成实像于透镜右侧光轴上的 C 点,C 点正好处在反射镜的对 称中心,光线可被反射镜对称反射,再经凸透镜后,形成如图光路(由上到下或由下到上),也将会聚于光 源所在点。由

解得

1 1 1 ? ? d v f fv fR fl d? ? ? v? f R? f l? f fv f (l ? R) ? v? f l?R? f fv f (l ? R) f (R ? l) ? ? v? f l ? R? f R? f ?l

(2)对应于(1)中的三种情况。 对应于第一种情况,即: 根据 d>f,当 d ?

实现实验目的 l 可调节范围是:l>R+f 对应于第二种情况,即: 根据 d<f,当 d ?

实现实验目的 l 可调节范围是:l<R 对应于第三种情况,即: 根据 d>f,R=I, d ?

fv fR ? v? f R? f

实现实验目的需调节:l=R 评分参考:第(1)问 10 分,第 1 种情况和第 2 种情况各 4 分,第 3 种情况 2 分; 第(2)问 5 分,对应于第 1 种和第 2 种情况各 2 分,第 3 种情况 1 分。 七、本题共 20 分。 (1)F 为吸引力。理由:当原子极化时,与 Q 异性的电荷移向 Q,而与 Q 同性的电荷被排斥而远离 Q。 这样异性电荷之间的吸引力大于同性电荷的排斥力,总的效果是吸引。 (2)

F( 2 Q ) F(Q)
F( h / 2) F( h )

=4

(3)

? 25 ? 32

设电荷 Q 带正电(见图)。电荷 Q 与分离开距离 l 的一对异性电荷间的总作用力为

F?
1 4?? 0

kQ(?q) kQq ? 2hl 2kQql 2kQp ? ? kQq ?? ?? 3 ① 2 3 l l l h h (h ? ) 2 (h ? ) 2 (h 2 ? ) 2 2 2 4

这里 k ?

,而 p=ql 为原子极化形成的电偶极矩,式中负号表示吸引力。

实验显示,p=aE,而电荷 Q 在离它 h 处的原子所在地产生的电场大小为

E?

kQ h2



于是,电荷 Q 与极化原子之间的作用力为

F ??

?k 2Q 2
h5



它正比于固定电荷的平方, 反比于距离的五次方, 因此不管电荷 Q 的符号, 均产生吸引力; 电荷增加一倍, 力变为 4 倍;距离缩短一半,则力变为 32 倍。 评分参考:第(1)问 5 分,正确得出结论 2 分,理由 3 分。 第(2)问和第(3)问的结果各 3 分。 推理过程共 9 分。①式 5 分,②③各 2 分。

2013 自主招生北约华约物理考试题 1、如图所示,一质量为 M 、倾角为 θ 的光滑斜面,放置在光滑的水平面上,另一个质量为 m 的滑块从斜 面顶端释放,试求斜面的加速度。

2、如图所示,小球 A、B 带电量相等,质量均为 m,都用长 L 的绝缘细线挂在绝缘的竖直墙上 O 点,A 球靠 墙且其悬线刚好竖直,B 球悬线偏离竖直方向 θ 角而静止,此时 A、B 两球之间的库仑力为 F。由于外部原因 小球 B 的电量减小,使两球再次静止时它们之间的库仑力变为原来的一半,则小球 B 的电量减小为原来的
( )

A.1/2

B.1/4

C.1/8

D.1/16

3、如图,一个质量为 m 的圆环套在一根固定的水平直杆上环与杆的动摩擦因数为 μ,现给环一个向右的 初速度 v0,如果环在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力 F 的作用,已知 F=kv,(k 为常数,v 为 速度),试讨论在环的整个运动过程中克服摩擦力所做的功。(假设杆足够长,分 F=mg,F<mg,F>mg 三 种情况)

4、粗糙绝缘的水平面附近存在一个平行于水平面的电场,其中某一区域的电场线与 x 轴平行,且沿 x 轴 方向的电势 ? 与坐标值 x 的关系如下表格所示: 1 x/m φ/10 v
5

2 0.10 4.50

3 0.15 3.00

4 0.20 2.25

5 0.25 1.80

6 0.30 1.50

7 0.35 1.29

8 0.40 1.13

9 0.45 1.00
-7

0.05 9.00

根据上述表格中的数据可作出如下的 ?—x 图像。现有一质量为 0.10kg,电荷量为 1.0?10 C 带正电荷的滑 块(可视作质点) ,其与水平面的动摩擦因数为 0.20。问:

(1)由数据表格和图像给出的信息,写出沿 x 轴的电势 ? 与 x 的函数关系表达式。 (2)若将滑块无初速地放在 x=0.10m 处,则滑块最终停止在何处? (3)在上述第(2)问的整个运动过程中,它的加速度如何变化?当它位于 x=0.15m 时它的加速度多大? (电场中某点场强为 ?—x 图线上某点对应的斜率) (4)若滑块从 x=0.60m 处以初速度 v0 沿-x 方向运动,要使滑块恰能回到出发点,其初速度 v0 应为多大? 5、如图所示,有一个竖直固定在地面的透气圆筒,筒中有一劲度为 k 的轻弹簧,其下端固定,上端连接 一质量为 m 的薄滑块,圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER 流体,它对滑块的阻力可调。起初,滑块 静止,ER 流体对其阻力为 0,弹簧的长度为 L,现有一质量也为 m 的物体从距地面 2L 处自由落下,与滑 块碰撞(碰撞时间极短)后粘在一起向下运动,且向下运动的初速度为物体碰前速度的一半。为保证滑块 做匀减速运动,且下移距离为

2mg 时速度减为 0,ER 流体对滑块的阻力须随滑块下移而变。 (忽略空气阻 k

力)试求: (1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能 (2)滑块向下运动过程中加速度的大小 (3)滑块下移距离为 d 时 ER 流体对滑块阻力的大小

1

答案: a 2 ?

m sin ? cos? M ? m sin 2 ?

详解:本题涉及两个物体,它们的加速度关系复杂,但在垂直斜面方向上,大小是相等的。对两者列隔离 方程时,务必在这个方向上进行突破。 判断斜面的运动情况、滑块的运动情况。位移矢量示意图如图甲所示。根据运动学规律,加速度矢量 a1 和 a2 也具有这样的关系。

沿斜面方向、垂直斜面方向建 x 、y 坐标,可得: a1y = a2y ① 且:a1y = a2sinθ ② 隔离滑块和斜面,受力图如图乙所示:

对滑块,列 y 方向隔离方程,有: mgcosθ- N = ma1y ③ 对斜面,仍沿合加速度 a2 方向列方程,有: Nsinθ= Ma2 ④ 解①②③④式即可得 a2 。 2、 答案:C
详解:设两球的距离为 r,对 B 球悬线偏离竖直方向 θ 角而静止状态,画出受力分析图,则得,F/r=mg/L;小 球 B 的电量减小, 两球再次静止时, 距离为 r’, 画出受力分析图则得, F’/r’=mg/L; F’=F/2。 联立解得 r’=r/2。 由库仑定律,F=kq /r ,F’=kqq’/r’ ,联立解得 q’= q/8,选项 C 正确。
2 2 2

3、 答案:见详解 详解: (1)若 kv0=mg, 则 N=0,故 f=0, 所以 Wf =0 (2) kv0<mg, 则有 N+kv=mg, N 向上且随着速度的减小而增大, 也将增大, 若 则 f 环最终将静止, f=mv02/2 W (3)若 kV0>mg, 则有 N+mg=kv, 则 N 一开始向下且随着速度的减小而减小,当 N=0 时,f=0, 环最 终将做匀速运动且 v=mg/k 由动能定理,Wf=m(v02-v2)/2=mv02/2-m3g2/2k2

4、答案: (1) ? ?

4.5 ? 10 4 ; (2)滑块停止的位置为 x2=0.225m ; x

(3)整个运动过程中,它的加速度先减小后增大;当它位于 x=0.15m 时,a =0; (4) v 0 ? 详解: (1)由数据表格和图像可得,电势 ? 与 x 成反比关系,即 ? ?

3 2 ≈2.12m/s 2

4.5 ? 10 4 V x

(2)由动能定理 q(φ1-φ)-μmg(x-x1)=0,设滑块停止的位置为 x2,有 q(φ1-φ2)-μmg(x2-x1)=0 即 q(

4.5 ?104 4.5 ?10 4 )-μmg(x2-x)=0 x2 x 4.5 ?104 4.5 ?10 4 )-0.20× 0.10× 10(x2-0.1)=0 x2 0.1

代入数据有:1.0?10-7(

可解得 x2=0.225m(舍去 x2=0.1m) 。 (3)先做加速度减小的变加速运动,后做加速度增大的减速运动,即加速度先减小后增大。 当它位于 x=0.15m 时,图像上该点的切线斜率表示场强大小:E=△?/△x=2.0× 6N/C。滑块在该点的水平 10 合力 Fx=qE-μmg=2.0× 6× 10 1.0× -7N-0.20× 10 0.10× 10N=0。故滑块的加速度 a=Fx/m =0。

(4)设滑块到达的最左侧位置为 x1,则滑块由该位置返回到出发点的过程中,由动能定理 WF+Wf=△Ek= 0 ,有 q(φ1-φ)-μmg(x-x1)=0 代入数据有 1.0?10-7(

4.5 ?10 4 4.5 ?104 )-0.20× 0.10× 10(x-x1)=0 x1 0.6

可解得 x1=0.0375m(舍去 x1=0.6m) 。 再对滑块从开始运动到返回出发点的整个过程,由动能定理:-2μmg(x-x1)=02 代入数据有 2?0.20?0.10?10(0.60-0.0375)=0.5?0.10 v 0

1 mv0 2 2

可解得 v 0 ?

3 2 ≈2.12m/s 2

5、 答案: (1)

1 kL kL (2) ; (3) mg ? mgL ; ? kd 2 8m 4

详解: (1)设物体自由下落的末速度为 v0,由机械能守恒定律 mgL ? 得 v0 ?

1 2 mv0 2

2 gL

设碰后共同速度为 v1,由题设知 v1 ? 碰撞过程中系统损失的机械能为

1 2 gL 2

?E ?

1 2 1 1 mv0 ? 2mv12 ? mgL 2 2 2
2

(2)设加速度大小为 a,有 2as ? v1 得: a ?

kL 8m



(3)设弹簧弹力为 FN ,ER 流体对滑块的阻力为 FER 受力分析如图所示,

由牛顿第二定律

FN ? FER ? 2mg ? 2ma
而: FN ? kx

② ③ ④

x?d?

mg x k kL ? kd 4

联立①~④式解得: FER ? mg ?


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